2006數(shù)學三考研試題和答案.doc

2006年數(shù)學三試題分析、詳解和評注一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）（2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導,且，則（3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(1,2)處的全微分（4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 （5）設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . （8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在 （9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. （10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）. （）. （）. （） （11）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). （13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.（14）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) 三 、解答題：1523小題，共94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求() ；() .（16）（本題滿分7分） 計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.（17）（本題滿分10分） 證明：當時，. （18）（本題滿分8分）在坐標平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.() 求的方程；() 當與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值.（19）（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組 ，問為何值時線性相關(guān)?當線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.（21）（本題滿分13分）設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得；（）求及，其中為3階單位矩陣.（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).()求的概率密度；() ；().（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（）求的矩估計；（）求的最大似然估計1 【分析】將其對數(shù)恒等化求解. 【詳解】， 而數(shù)列有界，所以. 故 . 【評注】對于冪指函數(shù)的極限，總是將其化為指數(shù)函數(shù)后求解.完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第1講第2節(jié)【例23】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.30【例1.41】.2. 【分析】利用復合函數(shù)求導即可. 【詳解】由題設(shè)知，兩邊對求導得 ， 兩邊再對求導得 ，又，故 . 【評注】本題為抽象復合函數(shù)求導，注意計算的準確性. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第2講第2節(jié)【例11】，【例12】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.53【例2.18】（幾乎一樣）.3. 【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算. 【詳解】方法一：因為， ， 所以 . 方法二：對微分得 ，故 . 【評注】本題為基本題型. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第9講第1節(jié)【例12】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.162【例6.13】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.62【例6，例7】及練習.4.【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 于是有 ，而，所以.【評注】 本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示.完全類似例題見文登暑期輔導班線性代數(shù)第1講【例6】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.287【例2.12】.5【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則.完全類似例題見文登暑期輔導班概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3講【例5】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.431【例2.31】.442【例2.50】6, 【分析】利用樣本方差的性質(zhì)即可. 【詳解】因為 ， 所以 ，又因是的無偏估計量，所以 . 【評注】本題利用了樣本方差是總體的方差的無偏估計量，最好能熟記樣本均值和方差的性質(zhì)和運算.完全類似例題見文登暑期輔導班概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5講【例1】和【例2】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.487【例5.1】.488【例5.2】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.247【例4】及練習.7.【分析】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當時，故應(yīng)選(). 【評注】 對于題設(shè)條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日中值定理求解：因為，所以單調(diào)增加，即，又，則，即.定義一般教科書均有，類似例題見數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.129【例5.1】，P.151【（）】.8 【分析】從入手計算，利用導數(shù)的左右導數(shù)定義判定的存在性. 【詳解】由知，.又因為在處連續(xù)，則 . 令，則. 所以存在，故本題選（C）. 【評注】本題聯(lián)合考查了函數(shù)的連續(xù)性和左右導數(shù)的定義，屬基本題型. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第2講第1節(jié)【例2】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.46【例2.2】.9【分析】 可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】 由收斂知收斂，所以級數(shù)收斂，故應(yīng)選().或利用排除法：取，則可排除選項（），（）；取，則可排除選項（）.故（）項正確.【評注】 本題主要考查級數(shù)收斂的性質(zhì)和判別法，屬基本題型.完全類似例題見數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）.232習題八（2（3）題），考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.74【例1，例2】及練習.10.【分析】 利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于是對應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應(yīng)選().【評注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對應(yīng)齊次微分方程的通解.相關(guān)性質(zhì)和定理見數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.219.11【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應(yīng)的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因為），若，則.故選（）.【評注】 本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.本題屬基本題型，相關(guān)定理見數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）.170定理1及.171條件極值的求法.12.【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().【評注】 對于向量組的線性相關(guān)問題，可用定義，秩，也可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有無非零解進行討論.完全類似例題及性質(zhì)見數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.309【例3.7】，幾乎相同試題見文登2006最新模擬試卷（數(shù)學一）.（11）.13【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（）.【評注】（）每一個初等變換都對應(yīng)一個初等矩陣，并且對矩陣施行一個初等行（列）變換，相當于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣.（）牢記三種初等矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系.完全類似例題及性質(zhì)見文登暑期輔導班線性代數(shù)第2講【例12】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.290【例2.19】.14.【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得，則，即.其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).【評注】 對于服從正態(tài)分布的隨機變量，在考慮它的概率時，一般先將標準化，即.完全類似例題見文登暑期輔導班概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2講【例7】和【例8】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.417【例2.7】.15. 【分析】第()問求極限時注意將作為常量求解，此問中含型未定式極限；第()問需利用第()問的結(jié)果，含未定式極限. 【詳解】() . () （通分） 【評注】本題為基本題型，注意利用洛必達法則求未定式極限時，要充分利用等價無窮小代換，并及時整理極限式，以使求解簡化. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第1講第2節(jié)【例21】，數(shù)學復習指南經(jīng)濟類P.32【例1.45（1）】，P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例1.40】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.8【例14】，P.9【例16】.16 【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可. 【詳解】積分區(qū)域如右圖.因為根號下的函數(shù)為關(guān)于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以 . 【評注】計算二重積分時，首先畫出積分區(qū)域的圖形，然后結(jié)合積分域的形狀和被積函數(shù)的形式，選擇坐標系和積分次序. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第10講第2節(jié)【例8】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.181【例7.2】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.65【例1】，P.66【例3】及練習.17.【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故當時，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.【評注】證明數(shù)值不等式一般需構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)，然后求導驗證的增減性，并求出區(qū)間端點的函數(shù)值（或極限值），作比較即得所證. 本題也可用拉格朗日中值定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明.完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第8講第2節(jié)【例4】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.242【例10.18】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.98【例11】，P.99【例13】及練習.18 【分析】()利用導數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；()利用定積分計算平面圖形的面積，確定參數(shù). 【詳解】() 設(shè)曲線的方程為，則由題設(shè)可得 ，這是一階線性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲線的方程為 . () 與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 ， 故. 【評注】本題涉及了導數(shù)和定積分的幾何意義，一階線性微分方程的求解，屬基本題型.完全類似例題見數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.136【例5.13】，P.149【例5.34】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.272【例15】及練習8.2.19. 【分析】因為冪級數(shù)缺項，按函數(shù)項級數(shù)收斂域的求法計算；利用逐項求導或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù). 【詳解】記，則. 所以當時，所給冪級數(shù)收斂；當時，所給冪級數(shù)發(fā)散；當時，所給冪級數(shù)為，均收斂，故所給冪級數(shù)的收斂域為在內(nèi)，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所給冪級數(shù)在處都收斂，且在 處都連續(xù)，所以在成立，即 ，. 【評注】本題冪級數(shù)是缺項冪級數(shù)，則應(yīng)采用函數(shù)項級數(shù)求收斂域的方法，屬基本題型. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第11講第2節(jié)【例12】，【例15】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.204【例8.13】，P.209【例8.18】，考研數(shù)學過關(guān)基礎(chǔ)題型（經(jīng)濟類）P.78【例6】，P.81【例9】及練習.20. 【分析】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)；用初等變換求極大線性無關(guān)組. 【詳解】記以為列向量的矩陣為，則 . 于是當時，線性相關(guān). 當時，顯然是一個極大線性無關(guān)組，且； 當時， ， 由于此時有三階非零行列式，所以為極大線性無關(guān)組，且. 【評注】本題屬常規(guī)題型.91年，00年和04年均考過. 完全類似例題見文登暑期輔導班線性代數(shù)第3講【例1,例2】，數(shù)學復習指南（經(jīng)濟類）P.306【例3.2】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（經(jīng)濟類）P.134【例3】.21.【分析】 由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣；由可得到和.【詳解】 ()因為矩陣的各行元素之和均為3，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應(yīng)的特征向量.對應(yīng)的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).()因為是實對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實對稱矩陣必可相似對角化，得. （）由()知 ，所以 . ，則.【評注】 本