中考數(shù)學(xué)幾何變換及試題匯編全套.doc

中考幾何變換專題復(fù)習(xí)（針對(duì)幾何大題的講解）幾何圖形問(wèn)題的解決，主要借助于基本圖形的性質(zhì)（定義、定理等）和圖形之間的關(guān)系(平行、全等、相似等）.基本圖形的許多性質(zhì)都源于這個(gè)圖形本身的“變換特征”，最為重要和最為常用的圖形關(guān)系“全等三角形”極多的情況也同樣具有“變換”形式的聯(lián)系.本來(lái)兩個(gè)三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和相互間的位置沒(méi)有直接關(guān)系，但是，在同一個(gè)問(wèn)題中涉及到的兩個(gè)全等三角形，大多數(shù)都有一定的位置關(guān)系（或成軸對(duì)稱關(guān)系，或成平移的關(guān)系，或成旋轉(zhuǎn)的關(guān)系（包括中心對(duì)稱）.這樣，在解決具體的幾何圖形問(wèn)題時(shí)，如果我們有意識(shí)地從圖形的性質(zhì)或關(guān)系中所顯示或暗示的“變換特征”出發(fā)，來(lái)識(shí)別、構(gòu)造基本圖形或圖形關(guān)系，那么將對(duì)問(wèn)題的解決有著極為重要的啟發(fā)和引導(dǎo)的作用.下面我們從變換視角以三角形的全等關(guān)系為主進(jìn)行研究.解決圖形問(wèn)題的能力，核心要素是善于從綜合與復(fù)雜的圖形中識(shí)別和構(gòu)造出基本圖形及基本的圖形關(guān)系，而“變換視角”正好能提高我們這種識(shí)別和構(gòu)造的能力.1已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論（均不要求證明）考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MNAD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)；再證明DAGDCG，得出AG=CG；再證出DMGFNG，得到MG=NG；再證明AMGENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG（3）結(jié)論依然成立還知道EGCG解答：（1）證明：在RtFCD中，G為DF的中點(diǎn)，CG=FD，同理，在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG證法一：連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MNAD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)在DAG與DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG，AG=CG；在DMG與FNG中，DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG，DMGFNG，MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在AMG與ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG，AG=EG，EG=CG證法二：延長(zhǎng)CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，在DCG與FMG中，F(xiàn)G=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，F(xiàn)MG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE與RtCBE中，MF=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC為直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG（3）解：（1）中的結(jié)論仍然成立即EG=CG其他的結(jié)論還有：EGCG點(diǎn)評(píng)：本題利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)2（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD于點(diǎn)F，EGAC于點(diǎn)G，CHBD于點(diǎn)H，試證明CH=EF+EG；（2）若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBD于點(diǎn)F，EGAC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CHBD于點(diǎn)H，則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；（3）如圖3，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，L在BD上，且BL=BC，連接CL，點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn)，EFBD于點(diǎn)F，EGBC于點(diǎn)G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；（4）觀察圖1、圖2、圖3的特性，請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形，使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結(jié)論，寫出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）要證明CH=EF+EG，首先要想到能否把線段CH分成兩條線段而加以證明，就自然的想到添加輔助線，若作CENH于N，可得矩形EFHN，很明顯只需證明EG=CN，最后根據(jù)AAS可求證EGCCNE得出結(jié)論（2）過(guò)C點(diǎn)作COEF于O，可得矩形HCOF，因?yàn)镠C=DO，所以只需證明EO=EG，最后根據(jù)AAS可求證COECGE得出猜想（3）連接AC，過(guò)E作EG作EHAC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明顯只需證明EG=CH，最后根據(jù)AAS可求證CHEEGC得出猜想（4）點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離的和（或差）等于這個(gè)等腰三角形腰上的高，很顯然過(guò)C作CEPF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求證CEPCNP，故CG=PFPN解答：（1）證明：過(guò)E點(diǎn)作ENGH于N（1分）EFBD，CHBD，四邊形EFHN是矩形EF=NH，F(xiàn)HENDBC=NEC四邊形ABCD是矩形，AC=BD，且互相平分DBC=ACBNEC=ACBEGAC，ENCH，EGC=CNE=90，又EC=EC，EGCCNE（3分）EG=CNCH=CN+NH=EG+EF（4分）（2）解：猜想CH=EFEG（5分）（3）解：EF+EG=BD（6分）（4）解：點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離的和（或差）等于這個(gè)等腰三角形腰上的高如圖，有CG=PFPN注：圖（1分）（畫一個(gè)圖即可），題設(shè)的條件和結(jié)論（1分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩形的性質(zhì)和判定，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造矩形和三角形全等來(lái)進(jìn)行證明3如圖1，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)（1）請(qǐng)你利用該圖1畫一對(duì)以點(diǎn)P為對(duì)稱中心的全等三角形；（2）請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：如圖2，在RtABC中，BAC=90，ABAC，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，過(guò)D作射線交AB于E，交CA延長(zhǎng)線于F，請(qǐng)猜想F等于多少度時(shí)，BE=CF（直接寫出結(jié)果，不必證明）；如圖3，在ABC中，如果BAC不是直角，而（1）中的其他條件不變，若BE=CF的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)寫出AEF必須滿足的條件，并加以證明考點(diǎn)：作圖復(fù)雜作圖；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。專題：證明題；開(kāi)放型。分析：（1）以P點(diǎn)為中心，依次做兩條相互交叉但長(zhǎng)度相等的線段，可得兩個(gè)全等三角形；（2）當(dāng)BE=CF時(shí)，F(xiàn)的結(jié)論成立；第2小題需要用到輔助線的幫助延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得FD=GD，連接BG，證明DCFDBG后推出F=G，CF=BG，從而證明BE=CF解答：解：（1）如圖：畫圖正確（2分）（2）F=45時(shí)，BE=CF（2分）答：若BE=CF的結(jié)論仍然成立，則AE=AF，AEF是等腰三角形（1分）證明：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得FD=GD，連接BG點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，DC=DB在DCF和DBG中DCFDBG（2分）F=G，CF=BG（1分）當(dāng)AEF是等腰三角形，AE=AF時(shí)，F(xiàn)=2，1=2，1=GBE=BGBE=CF（2分）點(diǎn)評(píng)：本題涉及全等三角形，等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)和判定，并考查學(xué)生的作圖能力，為綜合題型，難度中上4如圖，OP是AOB的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：根據(jù)要求作圖，此處我們可以分別做兩邊的垂線，這樣就可以利用AAS來(lái)判定其全等了先利用SAS來(lái)判定AEFAGF得出AFE=AFG，F(xiàn)E=FG再利用ASA來(lái)判定CFGCFD得到FG=FD所以FE=FD解答：解：在OP上任找一點(diǎn)E，過(guò)E分別做CEOA于C，EDOB于D如圖，（1）結(jié)論為EF=FD如圖，在AC上截取AG=AE，連接FGAD是BAC的平分線，1=2，在AEF與AGF中，AEFAGF（SAS）AFE=AFG，F(xiàn)E=FG由B=60，AD，CE分別是BAC，BCA的平分線，22+23+B=180，2+3=60又AFE為AFC的外角，AFE=CFD=AFG=2+3=60CFG=60即GFC=DFC，在CFG與CFD中，CFGCFD（ASA）FG=FDFE=FD（2）EF=FD仍然成立如圖，過(guò)點(diǎn)F分別作FGAB于點(diǎn)G，F(xiàn)HBC于點(diǎn)HFGE=FHD=90，B=60，且AD，CE分別是BAC，BCA的平分線，2+3=60，F(xiàn)是ABC的內(nèi)心GEF=BAC+3=60+1，F(xiàn)是ABC的內(nèi)心，即F在ABC的角平分線上，F(xiàn)G=FH（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊相等）又HDF=B+1（外角的性質(zhì)），GEF=HDF在EGF與DHF中，EGFDHF（AAS），F(xiàn)E=FD點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，HL等5如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點(diǎn)E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點(diǎn)P在AD上，PE、PF分別交AC于點(diǎn)G、H（1）求PEF的邊長(zhǎng)；（2）若PEF的邊EF在線段BC上移動(dòng)試猜想：PH與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：（1）要求PEF的邊長(zhǎng)，需構(gòu)造直角三角形，那么就過(guò)P作PQBC于Q利用PFQ的正弦值可求出PF，即PEF的邊長(zhǎng)；（2）猜想：PHBE=1利用ACB的正切值可求出ACB的度數(shù)，再由PFE=60，可得出HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3再把其中FH用PH表示，化簡(jiǎn)即可解答：解：（1）過(guò)P作PQBC于Q矩形ABCDB=90，即ABBC，又ADBC，PQ=AB=（1分）PEF是等邊三角形，PFQ=60在RtPQF中，PF=2 （3分）PEF的邊長(zhǎng)為2 PH與BE的數(shù)量關(guān)系是：PHBE=1 （4分）（2）在RtABC中，AB=，BC=3，1=30（5分）PEF是等邊三角形，2=60，PF=EF=2 （6分）2=1+3，3=30，1=3FC=FH （7分）PH+FH=2，BE+EF+FC=3，PHBE=1 （8分）注：每題只給了一種解法，其他解法按本評(píng)標(biāo)相應(yīng)給分點(diǎn)評(píng)：本題利用了矩形、平行線、等邊、等腰三角形的性質(zhì)，還有正切函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用的綜合知識(shí)很多6（2007牡丹江）已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），易證AE+CF=EF；當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：根據(jù)已知可以利用SAS證明ABECBF，從而得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，從而得出ABE=CBF=30，BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF同理圖2可證明是成立的，圖3不成立解答：解：ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，BEF為等邊三角形；AE=BE，CF=BF；AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立，圖3不成立證明圖2延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，則BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，F(xiàn)BE=60，ABC=120，F(xiàn)BC+ABE=60，F(xiàn)BC+KBC=60，KBF=FBE=60，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AECF=EF點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，這些方法要求學(xué)生能夠掌握并靈活運(yùn)用7用兩個(gè)全等的等邊ABC和ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一個(gè)含60角的三角尺與這個(gè)菱形重合，使三角尺有兩邊分別在AB、AC上，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（1）如圖1，當(dāng)三角尺的兩邊與BC、CD分別相交于點(diǎn)E、F時(shí)，觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？證明你的結(jié)論（2）如圖2，當(dāng)三角尺的兩邊與BC、CD的延長(zhǎng)線分別交于E、F時(shí)，你在（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）連接AC，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出AD=AC，D=ACB=60，DAC=60，求出CAE=DAF，證ACEADF即可；（2）連接AC，求出ADF=ACE=120，證ACEADF，推出DF=CE，根據(jù)BC=CD即可推出答案解答：（1）BE=CF，證明：連接AC，ADC、ABC是等邊三角形，AD=AC，D=ACB=60，DAC=60，F(xiàn)AE=60，CAE=DAF，在ACE和ADF中，ACEADF，CE=DF，四邊形ABCD是菱形，BC=CD，BE=CF（2）解：結(jié)論BE=CF仍成立，理由是：連接AC，由（1）知：AD=AC，F(xiàn)AD=CAE，等邊三角形ABC和等邊三角形ACD，ADC=ACB=60，ADF=ACE=120，在ACE和ADF中，ACEADF，DF=CE，CD=BC，BE=CF，即結(jié)論BE=CF仍成立點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，但有一定的難度8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，ABC=ADC=90，MAN=BAD（1）如圖1，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過(guò)程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長(zhǎng)線于M、N，試判斷這一過(guò)程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長(zhǎng)線于M、N，試判斷這一過(guò)程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換延長(zhǎng)MB到G，使BG=DN，連接AG目的就是要證明三角形AGM和三角形ANM全等將MN轉(zhuǎn)換成MG，那么這樣MN=BM+DN了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵三角形AMG和AMN中，只有一條公共邊AM，我們就要通過(guò)其他的全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AND中，已知了一組直角，BG=DN，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AN，1=2，那么1+3=2+3=MAN=BAD由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出MN=GM了（2）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換就應(yīng)該在BM上截取BG，使BG=DN，連接AG根據(jù)（1）的證法，我們可得出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BMBG=BEDN（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換就應(yīng)該在DN上截取DF，使DF=BM，連接AG根據(jù)（1）的證法，我們可得出DAF=BAM，AF=AM，那么MN=NF=DNDF=BNBM解答：解：（1）證明：延長(zhǎng)MB到G，使BG=DN，連接AGABG=ABC=ADC=90，AB=AD，ABGADNAG=AN，BG=DN，1=41+2=4+2=MAN=BADGAM=MAN又AM=AM，AMGAMNMG=MNMG=BM+BGMN=BM+DN（2）MN=BMDN證明：在BM上截取BG，使BG=DN，連接AGABC=ADC=90，AD=AB，ADNABG，AN=AG，NAD=GAB，MAN=MAD+MAG=DAB，MAG=BAD，MAN=MAG，MANMAG，MN=MG，MN=BMDN（3）MN=DNBM點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；本題中通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒(méi)有明確的全等三角形時(shí)，要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形9（2010義烏市）如圖1，已知ABC=90，ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，連接QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，EBF=30，猜想QFC=60；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想QFC的度數(shù)，并加以證明；（3）已知線段AB=2，設(shè)BP=x，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形。專題：探究型。分析：（1）EBF與ABE互余，而ABE=60，即可求得EBF的度數(shù)；利用觀察法，或量角器測(cè)量的方法即可求得QFC的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，證明BAP=EAQ，進(jìn)而得到ABPAEQ，證得AEQ=ABP=90，則BEF=180AEQAEB=1809060=30，QFC=EBF+BEF；（3）過(guò)點(diǎn)F作FGBE于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QHBC，根據(jù)ABPAEQ得到：設(shè)QE=BP=x，則QF=QE+EF=x+2點(diǎn)Q到射線BC的距離y=QH=sin60QF=（x+2），即可求得函數(shù)關(guān)系式解答：解：（1）EBF=30；（1分）QFC=60；（2分）（2）QFC=60 （1分）解法1：不妨設(shè)BPAB，如圖1所示BAP=BAEEAP=60EAP，EAQ=QAPEAP=60EAP，BAP=EAQ （2分）在ABP和AEQ中AB=AE，BAP=EAQ，AP=AQ，ABPAEQ（SAS） （3分）AEQ=ABP=90 （4分）BEF=180AEQAEB=1809060=30QFC=EBF+BEF=30+30=60 （5分）（事實(shí)上當(dāng)BPAB時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）解法2：設(shè)AP交QF于MQMP為AMQ和FMP共同的外角QMP=Q+PAQ=APB+QFC，由ABPAEQ得Q=APB，由旋轉(zhuǎn)知PAQ=60，QFC=PAQ=60，（3）在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FGBE于點(diǎn)GABE是等邊三角形，BE=AB=2由（1）得EBF=30在RtBGF中，BG=，BF=2EF=2 （1分）ABPAEQQE=BP=x，QF=QE+EF=x+2 （2分）過(guò)點(diǎn)Q作QHBC，垂足為H在RtQHF中，y=QH=sin60QF=（x+2）（x0）即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：y=x+ （3分）點(diǎn)評(píng)：本題把圖形的旋轉(zhuǎn)，與三角形的全等，三角函數(shù)，以及函數(shù)相結(jié)合，是一個(gè)比較難的題目10（2009北京）在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E，將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF（如圖1）（1）在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P1不與C重合）時(shí)，連接EP1；繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EG1判斷直線FG1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EP2，將線段EP2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC2判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在的條件下，設(shè)CP1=x，SP1FG1=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：探究型。分析：（1）說(shuō)明P1EC按要求旋轉(zhuǎn)后得到的G1EF全等，再結(jié)合P1CE=G1FE=90去說(shuō)明；按照要求畫出圖形，由圖形即可得出答案；（2）當(dāng)點(diǎn)P1在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合已知說(shuō)明CE=4，且由四邊形FECH是正方形，得CH=CE=4，再根據(jù)題設(shè)可得G1F=xP1H=x4，進(jìn)而可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)P1在線段CH上時(shí)，同理可得FG1=x，P1H=4x，進(jìn)而可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)P1與點(diǎn)H重合時(shí)，說(shuō)明P1FG1不存在，再作綜合說(shuō)明即可本題第二問(wèn)較難學(xué)生不明確點(diǎn)P1的幾種位置情況，因而不能討論本題考查圖形變換和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，而且代數(shù)和幾何結(jié)合，有一定難度注意的問(wèn)題：一是函數(shù)關(guān)系式不止一種，二是自變量的取值范圍要正確畫出（1）觀察圖形可知重疊三角形ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則這個(gè)三角形底邊上的高為，所以重疊三角形ABC的面積=；（2）由折疊的性質(zhì)和已知可知：AD=AD=m，BD=BD=8m，所以AB=BC=82m，AB邊上的高=（4m），所以重疊三角形ABC的面積=（82m）（4m）=（4m）2；當(dāng)D為AB邊中點(diǎn)時(shí)“重疊三角形”不存在，故m4而當(dāng)D在AB的點(diǎn)處，即AD=時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C恰在矩形DEFG邊上，符合題意；當(dāng)AD時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C就在矩形DEFG外了，這與已知不符，故m，因此m的取值范圍為m4解答：解：（1）直線FG1與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直證明：如圖1，設(shè)直線FG1與直線CD的交點(diǎn)為H線段EC、EP1分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90依次得到線段EF、EG1，P1EG1=CEF=90，EG1=EP1，EF=ECG1EF=90P1EF，P1EC=90P1EF，G1EF=P1ECG1EFP1ECG1FE=P1CEECCD，P1CE=90，G1FE=90度EFH=90度FHC=90度FG1CD按題目要求所畫圖形見(jiàn)圖1，直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直（2）四邊形ABCD是平行四邊形，B=ADCAD=6，AE=1，tanB=，DE=5，tanEDC=tanB=可得CE=4由（1）可得四邊形EFCH為正方形CH=CE=4如圖2，當(dāng)P1點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)G1=CP1=x，P1H=x4，SP1FG1=FG1P1H=y=x22x（x4）如圖3，當(dāng)P1點(diǎn)在線段CH上（不與C、H兩點(diǎn)重合）時(shí)，F(xiàn)G1=CP1=x，P1H=4x，SP1FG1=FG1P1H=y=x2+2x（0x4）當(dāng)P1點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即x=4時(shí)，P1FG1不存在綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是y=x22x（x4）或y=x2+2x（0x4）點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)解、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法11已知：如圖1四邊形ABCD是菱形，AB=6，B=MAN=60繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)MAN，邊AM與射線BC相交于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），邊AN與射線CD相交于點(diǎn)F（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：BE=CF；（2）設(shè)BE=x，ADF的面積為y當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域；（3）連接BD，如果以A、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求線段BE的長(zhǎng)考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：（1）連接AC，通過(guò)證明ABEACF（ASA）即可得出BE=CF；（2）過(guò)點(diǎn)A作AHCD，垂足為H，先根據(jù)勾股定理求出AH的長(zhǎng)，又CF=BE=x，DF=6x，根據(jù)三角形的面積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)題意畫出圖形，并連接BD，先根據(jù)四邊形BDFA是平行四邊形，證出BAE為直角，在RtABE中，B=60，BEA=30，AB=6，繼而即可求出BE的長(zhǎng)解答：解：（1）連接AC（如圖1）由四邊形ABCD是菱形，B=60，易得：BA=BC，BAC=DAC=60，ACB=ACD=60ABC是等邊三角形AB=AC又BAE+MAC=60，CAF+MAC=60，BAE=CAF在ABE和ACF中，BAE=CAF，AB=AC，B=ACF，ABEACF（ASA）BE=CF（2）過(guò)點(diǎn)A作AHCD，垂足為H（如圖2）在RtADH中，D=60，DAH=9060=30，.又CF=BE=x，DF=6x，SADF=DFAH，即（0x6）（3）如圖3，連接BD，易得當(dāng)四邊形BDFA是平行四邊形時(shí)，AFBDFAD=ADB=30DAE=6030=30，BAE=12030=90在RtABE中，B=60，BEA=30，AB=6易得：BE=2AB=26=12點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，是一道綜合題，有一定難度，關(guān)鍵是對(duì)這些知識(shí)的熟練掌握以便靈活運(yùn)用翻折圖形題一一填空題（共9小題）1（2003昆明）已知：如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)O，寫出一組相等的線段_（不包括AB=CD和AD=BC）2（2006荊門）如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折疊至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ，則PQ=_3有一張矩形紙片ABCD，AB=5，AD=3，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)4（2004荊州）如圖一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，其長(zhǎng)AD為a，寬AB為b（ab），在BC邊上選取一點(diǎn)M，將ABM沿AM翻折后B至B的位置，若B為長(zhǎng)方形紙片ABCD的對(duì)稱中心，則的值為_(kāi)5如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC，AD=12，AC=13，BC=14則AB=_6如圖所示，把一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，已知AB=6、BC=8，則BF=_7如圖，取一張長(zhǎng)方形紙片，它的長(zhǎng)AB=10cm，寬BC=cm，然后以虛線CE（E點(diǎn)在AD上）為折痕，使D點(diǎn)落在AB邊上，則AE=_cm，DCE=_8（2008莆田）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD=2AB，若沿過(guò)點(diǎn)D的折痕DE將A角翻折，使點(diǎn)A落在BC上的A1處，則EA1B=_度9一張長(zhǎng)方形的紙片如圖示折了一角，測(cè)得AD=30cm，BE=20cm，BEG=60，則折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)二選擇題（共9小題）10如圖，明明折疊一張長(zhǎng)方形紙片，翻折AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，量得AB=8cm，BC=10cm，則EC=（）A3B4C5D611如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一點(diǎn)，AD=DB，DEAB，垂足為E，CD等于（）cmABCD12有一張矩形紙片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F（如圖），則CF的長(zhǎng)為（）A1B1CD13如圖，一張四邊形紙片ABCD，ADBC，將ABC對(duì)折使BC落在AB上，點(diǎn)C落在AB上點(diǎn)F處，此時(shí)我們可得到BCEBFE，再將紙片沿AE對(duì)折，D點(diǎn)剛好也落在點(diǎn)F上，由此我們又可得到一些結(jié)論，下述結(jié)論你認(rèn)為正確的有（）AD=AF；DE=EF=EC；AD+BC=AB；EFBCAD；AEB=90；S四邊形ABCD=AEBEA3個(gè)B4個(gè)C5個(gè)D6個(gè)14如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，BC交AD于O給出下列結(jié)論：BC平分ABD；ABOCDO；AOC=120；BOD是等腰三角形其中正確的結(jié)論有（）ABCD15如圖，一張平行四邊形紙片，ABBC，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且EFBC，若沿EF剪開(kāi)，能得到兩張菱形紙片，則AB與BC間的數(shù)量關(guān)系為（）AAB=2BCBAB=3BCCAB=4BCD不能確定16如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使點(diǎn)C落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)F，有下列幾個(gè)說(shuō)法：BED=BCD；DBF=BDF；BE=BC；AB=DE其中正確的個(gè)數(shù)為（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)17如圖，已知BC為等腰三角形紙片ABC的底邊，ADBC，AD=BC將此三角形紙片沿AD剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，若把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形，則得到的四邊形是（）A只能是平行四邊形B只能為菱形C只能為梯形D可能是矩形18如圖，直角梯形紙片ABCD中，DCB=90，ADBC，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，折痕為CF若AD=2，BC=5，則AF：FB的值為（）ABCD三解答題（共9小題）19如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使C點(diǎn)落在C，且BC與AD交于E點(diǎn)，試判斷重疊部分的三角形BED的形狀，并證明你的結(jié)論20（綜合探究題）有一張矩形紙片ABCD中，其中AD=4cm，上面有一個(gè)以AD為直徑的半圓，正好與對(duì)邊BC相切，如圖（1），將它沿DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上，如圖（2）所示，這時(shí)，半圓露在外面的面積是多少？21已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE，AE=10在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=ACAP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22矩形折疊問(wèn)題：如圖所示，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，重合部分是什么圖形，試說(shuō)明理由（1）若AB=4，BC=8，求AF（2）若對(duì)折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的長(zhǎng)23（2011深圳）如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對(duì)角線BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC交AD于點(diǎn)G（1）求證：AG=CG；（2）如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，求EM的長(zhǎng)24一張長(zhǎng)方形紙片寬AB=8 cm，長(zhǎng)BC=10 cm，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE），求EC的長(zhǎng)25在如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB）中，將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）過(guò)E作EPAD交AC于P，求證：2AE2=ACAP；（3）若AE=8cm，ABF的面積為9cm2，求ABF的周長(zhǎng)26（2010涼山州）有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)（但不與頂點(diǎn)重合），若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=m，AD=n，BE=x（1）求證：AF=EC；（2）用剪刀將該紙片沿直線EF剪開(kāi)后，再將梯形紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方梯形記作EEBC當(dāng)x：n為何值時(shí)，直線EE經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D27（2011蘭州）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長(zhǎng)；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=ACAP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一填空題（共9小題）1（2003昆明）已知：如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)O，寫出一組相等的線段OA=OE或OB=OD或AB=ED或CD=ED或BC=BE或AD=BE（不包括AB=CD和AD=BC）考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）。專題：開(kāi)放型。分析：折疊前后的對(duì)應(yīng)邊相等，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得到多組線段相等解答：解：由折疊的性質(zhì)知，ED=CD=AB，BE=BC=AD，ABDEDB，EBD=ADB，由等角對(duì)等邊知，OB=OD點(diǎn)評(píng)：本題答案不唯一，本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊求解2（2006荊門）如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折疊至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ，則PQ=考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）。分析：由折疊的性質(zhì)知BPQ=C=90，利用直角三角形中的cosPBN=BN：PB=1：2，可求得PBN=60，PBQ=30，從而求出PQ=PBtan30=解答：解：CBQ=PBQ=PBC，BC=PB=2BN=1，BPQ=C=90cosPBN=BN：PB=1：2PBN=60，PBQ=30PQ=PBtan30=點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解3有一張矩形紙片ABCD，AB=5，AD=3，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為2考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）。專題：計(jì)算題。分析：由矩形的性質(zhì)可知，AD=BC，由折疊可知DE=BC，故AD=DE，DEA=45，可得FEC=45，可知FC=CE=DB=ABAD解答：解：由折疊的性質(zhì)可知EAD=DAB=45，ADE=90，DEA=45，F(xiàn)EC=45，F(xiàn)C=CE=DB=ABAD=53=2故本題答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)折疊前后對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，關(guān)鍵是推出特殊三角形4（2004荊州）如圖一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，其長(zhǎng)AD為a，寬AB為b（ab），在BC邊上選取一點(diǎn)M，將ABM沿AM翻折后B至B的位置，若B為長(zhǎng)方形紙片ABCD的對(duì)稱中心，則的值為考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）。分析：連接CB由于B為長(zhǎng)方形紙片ABCD的對(duì)稱中心，ABC是矩形的對(duì)角線由折疊的性質(zhì)知可得ABC三邊關(guān)系求解解答：解：連接CB由于B為長(zhǎng)方形紙片ABCD的對(duì)稱中心，ABC是矩形的對(duì)角線由折疊的性質(zhì)知，AC=2AB=2AB=2b，sinACB=AB：AC=1：2，ACB=30cotACB=cot30=a：b=點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解5如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC，AD=12，AC=13，BC=14則AB=15考點(diǎn)：勾股定理。分析：根據(jù)垂直關(guān)系在RtACD中，利用勾股定理求CD，已知BC，可求BD，在RtABD中，利用勾股定理求AB解答：解：ADBC，在RtACD中，CD=5，BC=14，BD=BCCD=9，在RtABD中，AB=15故答案為：15點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用關(guān)鍵是利用垂直的條件構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解6如圖所示，把一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，已知AB=6、BC=8，則BF=考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)我們可得出AB=ED，A=E=90，又有一組對(duì)應(yīng)角，因此就構(gòu)成了全等三角形判定中的AAS的條件兩三角形就全等，從而設(shè)CF為x，解直角三角形ABF可得出答案解答：解：根據(jù)題意可得：AB=DE，A=E=90，又AFB=EFD，ABFEDF（AAS）AF=EF，設(shè)BF=x，則AF=FE=8x，在RtAFB中，可得：BF2=AB2+AF2，即x2=62+（8x）2，解得：x=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查翻折變換的知識(shí)，有一定的難度，注意判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件7如圖，取一張長(zhǎng)方形紙片，它的長(zhǎng)AB=10c