中考數(shù)學幾何變換及試題匯編全套.doc

中考幾何變換專題復習（針對幾何大題的講解）幾何圖形問題的解決，主要借助于基本圖形的性質(zhì)（定義、定理等）和圖形之間的關系(平行、全等、相似等）.基本圖形的許多性質(zhì)都源于這個圖形本身的“變換特征”，最為重要和最為常用的圖形關系“全等三角形”極多的情況也同樣具有“變換”形式的聯(lián)系.本來兩個三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和相互間的位置沒有直接關系，但是，在同一個問題中涉及到的兩個全等三角形，大多數(shù)都有一定的位置關系（或成軸對稱關系，或成平移的關系，或成旋轉的關系（包括中心對稱）.這樣，在解決具體的幾何圖形問題時，如果我們有意識地從圖形的性質(zhì)或關系中所顯示或暗示的“變換特征”出發(fā)，來識別、構造基本圖形或圖形關系，那么將對問題的解決有著極為重要的啟發(fā)和引導的作用.下面我們從變換視角以三角形的全等關系為主進行研究.解決圖形問題的能力，核心要素是善于從綜合與復雜的圖形中識別和構造出基本圖形及基本的圖形關系，而“變換視角”正好能提高我們這種識別和構造的能力.1已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點逆時針旋轉45，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將圖中BEF繞B點旋轉任意角度，如圖所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）考點：旋轉的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)。專題：壓軸題。分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG（2）結論仍然成立，連接AG，過G點作MNAD于M，與EF的延長線交于N點；再證明DAGDCG，得出AG=CG；再證出DMGFNG，得到MG=NG；再證明AMGENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG（3）結論依然成立還知道EGCG解答：（1）證明：在RtFCD中，G為DF的中點，CG=FD，同理，在RtDEF中，EG=FD，CG=EG（2）解：（1）中結論仍然成立，即EG=CG證法一：連接AG，過G點作MNAD于M，與EF的延長線交于N點在DAG與DCG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG，AG=CG；在DMG與FNG中，DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG，DMGFNG，MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在AMG與ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG，AG=EG，EG=CG證法二：延長CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，在DCG與FMG中，F(xiàn)G=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMGMF=CD，F(xiàn)MG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE與RtCBE中，MF=CB，EF=BE，MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC為直角三角形MG=CG，EG=MC，EG=CG（3）解：（1）中的結論仍然成立即EG=CG其他的結論還有：EGCG點評：本題利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)2（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EFBD于點F，EGAC于點G，CHBD于點H，試證明CH=EF+EG；（2）若點E在BC的延長線上，如圖2，過點E作EFBD于點F，EGAC的延長線于點G，CHBD于點H，則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想；（3）如圖3，BD是正方形ABCD的對角線，L在BD上，且BL=BC，連接CL，點E是CL上任一點，EFBD于點F，EGBC于點G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想；（4）觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據(jù)這一特性構造一個圖形，使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結論，寫出相關題設的條件和結論考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）要證明CH=EF+EG，首先要想到能否把線段CH分成兩條線段而加以證明，就自然的想到添加輔助線，若作CENH于N，可得矩形EFHN，很明顯只需證明EG=CN，最后根據(jù)AAS可求證EGCCNE得出結論（2）過C點作COEF于O，可得矩形HCOF，因為HC=DO，所以只需證明EO=EG，最后根據(jù)AAS可求證COECGE得出猜想（3）連接AC，過E作EG作EHAC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明顯只需證明EG=CH，最后根據(jù)AAS可求證CHEEGC得出猜想（4）點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高，很顯然過C作CEPF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求證CEPCNP，故CG=PFPN解答：（1）證明：過E點作ENGH于N（1分）EFBD，CHBD，四邊形EFHN是矩形EF=NH，F(xiàn)HENDBC=NEC四邊形ABCD是矩形，AC=BD，且互相平分DBC=ACBNEC=ACBEGAC，ENCH，EGC=CNE=90，又EC=EC，EGCCNE（3分）EG=CNCH=CN+NH=EG+EF（4分）（2）解：猜想CH=EFEG（5分）（3）解：EF+EG=BD（6分）（4）解：點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高如圖，有CG=PFPN注：圖（1分）（畫一個圖即可），題設的條件和結論（1分）點評：此題主要考查矩形的性質(zhì)和判定，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造矩形和三角形全等來進行證明3如圖1，點P是線段MN的中點（1）請你利用該圖1畫一對以點P為對稱中心的全等三角形；（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：如圖2，在RtABC中，BAC=90，ABAC，點D是BC邊中點，過D作射線交AB于E，交CA延長線于F，請猜想F等于多少度時，BE=CF（直接寫出結果，不必證明）；如圖3，在ABC中，如果BAC不是直角，而（1）中的其他條件不變，若BE=CF的結論仍然成立，請寫出AEF必須滿足的條件，并加以證明考點：作圖復雜作圖；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。專題：證明題；開放型。分析：（1）以P點為中心，依次做兩條相互交叉但長度相等的線段，可得兩個全等三角形；（2）當BE=CF時，F(xiàn)的結論成立；第2小題需要用到輔助線的幫助延長FD到點G，使得FD=GD，連接BG，證明DCFDBG后推出F=G，CF=BG，從而證明BE=CF解答：解：（1）如圖：畫圖正確（2分）（2）F=45時，BE=CF（2分）答：若BE=CF的結論仍然成立，則AE=AF，AEF是等腰三角形（1分）證明：延長FD到點G，使得FD=GD，連接BG點D是BC邊中點，DC=DB在DCF和DBG中DCFDBG（2分）F=G，CF=BG（1分）當AEF是等腰三角形，AE=AF時，F(xiàn)=2，1=2，1=GBE=BGBE=CF（2分）點評：本題涉及全等三角形，等腰梯形的相關性質(zhì)和判定，并考查學生的作圖能力，為綜合題型，難度中上4如圖，OP是AOB的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由考點：全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：根據(jù)要求作圖，此處我們可以分別做兩邊的垂線，這樣就可以利用AAS來判定其全等了先利用SAS來判定AEFAGF得出AFE=AFG，F(xiàn)E=FG再利用ASA來判定CFGCFD得到FG=FD所以FE=FD解答：解：在OP上任找一點E，過E分別做CEOA于C，EDOB于D如圖，（1）結論為EF=FD如圖，在AC上截取AG=AE，連接FGAD是BAC的平分線，1=2，在AEF與AGF中，AEFAGF（SAS）AFE=AFG，F(xiàn)E=FG由B=60，AD，CE分別是BAC，BCA的平分線，22+23+B=180，2+3=60又AFE為AFC的外角，AFE=CFD=AFG=2+3=60CFG=60即GFC=DFC，在CFG與CFD中，CFGCFD（ASA）FG=FDFE=FD（2）EF=FD仍然成立如圖，過點F分別作FGAB于點G，F(xiàn)HBC于點HFGE=FHD=90，B=60，且AD，CE分別是BAC，BCA的平分線，2+3=60，F(xiàn)是ABC的內(nèi)心GEF=BAC+3=60+1，F(xiàn)是ABC的內(nèi)心，即F在ABC的角平分線上，F(xiàn)G=FH（角平分線上的點到角的兩邊相等）又HDF=B+1（外角的性質(zhì)），GEF=HDF在EGF與DHF中，EGFDHF（AAS），F(xiàn)E=FD點評：此題考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，HL等5如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H（1）求PEF的邊長；（2）若PEF的邊EF在線段BC上移動試猜想：PH與BE有什么數(shù)量關系？并證明你猜想的結論考點：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：（1）要求PEF的邊長，需構造直角三角形，那么就過P作PQBC于Q利用PFQ的正弦值可求出PF，即PEF的邊長；（2）猜想：PHBE=1利用ACB的正切值可求出ACB的度數(shù)，再由PFE=60，可得出HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3再把其中FH用PH表示，化簡即可解答：解：（1）過P作PQBC于Q矩形ABCDB=90，即ABBC，又ADBC，PQ=AB=（1分）PEF是等邊三角形，PFQ=60在RtPQF中，PF=2 （3分）PEF的邊長為2 PH與BE的數(shù)量關系是：PHBE=1 （4分）（2）在RtABC中，AB=，BC=3，1=30（5分）PEF是等邊三角形，2=60，PF=EF=2 （6分）2=1+3，3=30，1=3FC=FH （7分）PH+FH=2，BE+EF+FC=3，PHBE=1 （8分）注：每題只給了一種解法，其他解法按本評標相應給分點評：本題利用了矩形、平行線、等邊、等腰三角形的性質(zhì)，還有正切函數(shù)等知識，運用的綜合知識很多6（2007牡丹江）已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)當MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），易證AE+CF=EF；當MBN繞B點旋轉到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明考點：全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：根據(jù)已知可以利用SAS證明ABECBF，從而得出對應角相等，對應邊相等，從而得出ABE=CBF=30，BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關系，即可推出AE+CF=EF同理圖2可證明是成立的，圖3不成立解答：解：ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，BEF為等邊三角形；AE=BE，CF=BF；AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立，圖3不成立證明圖2延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，則BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，F(xiàn)BE=60，ABC=120，F(xiàn)BC+ABE=60，F(xiàn)BC+KBC=60，KBF=FBE=60，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關系是AECF=EF點評：本題主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，這些方法要求學生能夠掌握并靈活運用7用兩個全等的等邊ABC和ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一個含60角的三角尺與這個菱形重合，使三角尺有兩邊分別在AB、AC上，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉（1）如圖1，當三角尺的兩邊與BC、CD分別相交于點E、F時，觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？證明你的結論（2）如圖2，當三角尺的兩邊與BC、CD的延長線分別交于E、F時，你在（1）中的結論還成立嗎？請說明理由考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）連接AC，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出AD=AC，D=ACB=60，DAC=60，求出CAE=DAF，證ACEADF即可；（2）連接AC，求出ADF=ACE=120，證ACEADF，推出DF=CE，根據(jù)BC=CD即可推出答案解答：（1）BE=CF，證明：連接AC，ADC、ABC是等邊三角形，AD=AC，D=ACB=60，DAC=60，F(xiàn)AE=60，CAE=DAF，在ACE和ADF中，ACEADF，CE=DF，四邊形ABCD是菱形，BC=CD，BE=CF（2）解：結論BE=CF仍成立，理由是：連接AC，由（1）知：AD=AC，F(xiàn)AD=CAE，等邊三角形ABC和等邊三角形ACD，ADC=ACB=60，ADF=ACE=120，在ACE和ADF中，ACEADF，DF=CE，CD=BC，BE=CF，即結論BE=CF仍成立點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生熟練地運用性質(zhì)進行推理的能力，題目比較典型，但有一定的難度8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，ABC=ADC=90，MAN=BAD（1）如圖1，將MAN繞著A點旋轉，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不用證明；（2）如圖2，將MAN繞著A點旋轉，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；（3）如圖3，將MAN繞著A點旋轉，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不用證明考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉的性質(zhì)。分析：（1）可通過構建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉換延長MB到G，使BG=DN，連接AG目的就是要證明三角形AGM和三角形ANM全等將MN轉換成MG，那么這樣MN=BM+DN了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關鍵三角形AMG和AMN中，只有一條公共邊AM，我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn)，在三角形ABG和AND中，已知了一組直角，BG=DN，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AN，1=2，那么1+3=2+3=MAN=BAD由此就構成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出MN=GM了（2）按照（1）的思路，我們應該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉換就應該在BM上截取BG，使BG=DN，連接AG根據(jù)（1）的證法，我們可得出DN=BG，GM=MN，那么MN=GM=BMBG=BEDN（3）按照（1）的思路，我們應該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉換就應該在DN上截取DF，使DF=BM，連接AG根據(jù)（1）的證法，我們可得出DAF=BAM，AF=AM，那么MN=NF=DNDF=BNBM解答：解：（1）證明：延長MB到G，使BG=DN，連接AGABG=ABC=ADC=90，AB=AD，ABGADNAG=AN，BG=DN，1=41+2=4+2=MAN=BADGAM=MAN又AM=AM，AMGAMNMG=MNMG=BM+BGMN=BM+DN（2）MN=BMDN證明：在BM上截取BG，使BG=DN，連接AGABC=ADC=90，AD=AB，ADNABG，AN=AG，NAD=GAB，MAN=MAD+MAG=DAB，MAG=BAD，MAN=MAG，MANMAG，MN=MG，MN=BMDN（3）MN=DNBM點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；本題中通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉換是解題的關鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構建與已知和所求條件相關聯(lián)全等三角形9（2010義烏市）如圖1，已知ABC=90，ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60得到線段AQ，連接QE并延長交射線BC于點F（1）如圖2，當BP=BA時，EBF=30，猜想QFC=60；（2）如圖1，當點P為射線BC上任意一點時，猜想QFC的度數(shù)，并加以證明；（3）已知線段AB=2，設BP=x，點Q到射線BC的距離為y，求y關于x的函數(shù)關系式考點：旋轉的性質(zhì)；全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形。專題：探究型。分析：（1）EBF與ABE互余，而ABE=60，即可求得EBF的度數(shù)；利用觀察法，或量角器測量的方法即可求得QFC的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，證明BAP=EAQ，進而得到ABPAEQ，證得AEQ=ABP=90，則BEF=180AEQAEB=1809060=30，QFC=EBF+BEF；（3）過點F作FGBE于點G，過點Q作QHBC，根據(jù)ABPAEQ得到：設QE=BP=x，則QF=QE+EF=x+2點Q到射線BC的距離y=QH=sin60QF=（x+2），即可求得函數(shù)關系式解答：解：（1）EBF=30；（1分）QFC=60；（2分）（2）QFC=60 （1分）解法1：不妨設BPAB，如圖1所示BAP=BAEEAP=60EAP，EAQ=QAPEAP=60EAP，BAP=EAQ （2分）在ABP和AEQ中AB=AE，BAP=EAQ，AP=AQ，ABPAEQ（SAS） （3分）AEQ=ABP=90 （4分）BEF=180AEQAEB=1809060=30QFC=EBF+BEF=30+30=60 （5分）（事實上當BPAB時，如圖2情形，不失一般性結論仍然成立，不分類討論不扣分）解法2：設AP交QF于MQMP為AMQ和FMP共同的外角QMP=Q+PAQ=APB+QFC，由ABPAEQ得Q=APB，由旋轉知PAQ=60，QFC=PAQ=60，（3）在圖1中，過點F作FGBE于點GABE是等邊三角形，BE=AB=2由（1）得EBF=30在RtBGF中，BG=，BF=2EF=2 （1分）ABPAEQQE=BP=x，QF=QE+EF=x+2 （2分）過點Q作QHBC，垂足為H在RtQHF中，y=QH=sin60QF=（x+2）（x0）即y關于x的函數(shù)關系式是：y=x+ （3分）點評：本題把圖形的旋轉，與三角形的全等，三角函數(shù)，以及函數(shù)相結合，是一個比較難的題目10（2009北京）在平行四邊形ABCD中，過點C作CECD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90得到線段EF（如圖1）（1）在圖1中畫圖探究：當P為射線CD上任意一點（P1不與C重合）時，連接EP1；繞點E逆時針旋轉90得到線段EG1判斷直線FG1與直線CD的位置關系，并加以證明；當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連接EP2，將線段EP2繞點E逆時針旋轉90得到線段EC2判斷直線C1C2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在的條件下，設CP1=x，SP1FG1=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題。專題：探究型。分析：（1）說明P1EC按要求旋轉后得到的G1EF全等，再結合P1CE=G1FE=90去說明；按照要求畫出圖形，由圖形即可得出答案；（2）當點P1在線段CH的延長線上時，結合已知說明CE=4，且由四邊形FECH是正方形，得CH=CE=4，再根據(jù)題設可得G1F=xP1H=x4，進而可得y與x之間的函數(shù)關系式；當點P1在線段CH上時，同理可得FG1=x，P1H=4x，進而可得y與x之間的函數(shù)關系式；當點P1與點H重合時，說明P1FG1不存在，再作綜合說明即可本題第二問較難學生不明確點P1的幾種位置情況，因而不能討論本題考查圖形變換和動點問題，而且代數(shù)和幾何結合，有一定難度注意的問題：一是函數(shù)關系式不止一種，二是自變量的取值范圍要正確畫出（1）觀察圖形可知重疊三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，則這個三角形底邊上的高為，所以重疊三角形ABC的面積=；（2）由折疊的性質(zhì)和已知可知：AD=AD=m，BD=BD=8m，所以AB=BC=82m，AB邊上的高=（4m），所以重疊三角形ABC的面積=（82m）（4m）=（4m）2；當D為AB邊中點時“重疊三角形”不存在，故m4而當D在AB的點處，即AD=時，點B和點C恰在矩形DEFG邊上，符合題意；當AD時，點B和點C就在矩形DEFG外了，這與已知不符，故m，因此m的取值范圍為m4解答：解：（1）直線FG1與直線CD的位置關系為互相垂直證明：如圖1，設直線FG1與直線CD的交點為H線段EC、EP1分別繞點E逆時針旋轉90依次得到線段EF、EG1，P1EG1=CEF=90，EG1=EP1，EF=ECG1EF=90P1EF，P1EC=90P1EF，G1EF=P1ECG1EFP1ECG1FE=P1CEECCD，P1CE=90，G1FE=90度EFH=90度FHC=90度FG1CD按題目要求所畫圖形見圖1，直線G1G2與直線CD的位置關系為互相垂直（2）四邊形ABCD是平行四邊形，B=ADCAD=6，AE=1，tanB=，DE=5，tanEDC=tanB=可得CE=4由（1）可得四邊形EFCH為正方形CH=CE=4如圖2，當P1點在線段CH的延長線上時，F(xiàn)G1=CP1=x，P1H=x4，SP1FG1=FG1P1H=y=x22x（x4）如圖3，當P1點在線段CH上（不與C、H兩點重合）時，F(xiàn)G1=CP1=x，P1H=4x，SP1FG1=FG1P1H=y=x2+2x（0x4）當P1點與H點重合時，即x=4時，P1FG1不存在綜上所述，y與x之間的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍是y=x22x（x4）或y=x2+2x（0x4）點評：本題著重考查了二次函數(shù)解、圖形旋轉變換、三角形全等、探究垂直的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求較高考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法11已知：如圖1四邊形ABCD是菱形，AB=6，B=MAN=60繞頂點A逆時針旋轉MAN，邊AM與射線BC相交于點E（點E與點B不重合），邊AN與射線CD相交于點F（1）當點E在線段BC上時，求證：BE=CF；（2）設BE=x，ADF的面積為y當點E在線段BC上時，求y與x之間的函數(shù)關系式，寫出函數(shù)的定義域；（3）連接BD，如果以A、B、F、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求線段BE的長考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：（1）連接AC，通過證明ABEACF（ASA）即可得出BE=CF；（2）過點A作AHCD，垂足為H，先根據(jù)勾股定理求出AH的長，又CF=BE=x，DF=6x，根據(jù)三角形的面積公式即可列出函數(shù)關系式；（3）根據(jù)題意畫出圖形，并連接BD，先根據(jù)四邊形BDFA是平行四邊形，證出BAE為直角，在RtABE中，B=60，BEA=30，AB=6，繼而即可求出BE的長解答：解：（1）連接AC（如圖1）由四邊形ABCD是菱形，B=60，易得：BA=BC，BAC=DAC=60，ACB=ACD=60ABC是等邊三角形AB=AC又BAE+MAC=60，CAF+MAC=60，BAE=CAF在ABE和ACF中，BAE=CAF，AB=AC，B=ACF，ABEACF（ASA）BE=CF（2）過點A作AHCD，垂足為H（如圖2）在RtADH中，D=60，DAH=9060=30，.又CF=BE=x，DF=6x，SADF=DFAH，即（0x6）（3）如圖3，連接BD，易得當四邊形BDFA是平行四邊形時，AFBDFAD=ADB=30DAE=6030=30，BAE=12030=90在RtABE中，B=60，BEA=30，AB=6易得：BE=2AB=26=12點評：本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，是一道綜合題，有一定難度，關鍵是對這些知識的熟練掌握以便靈活運用翻折圖形題一一填空題（共9小題）1（2003昆明）已知：如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，寫出一組相等的線段_（不包括AB=CD和AD=BC）2（2006荊門）如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC邊的中點，將C點折疊至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ，則PQ=_3有一張矩形紙片ABCD，AB=5，AD=3，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F，則CF的長為_4（2004荊州）如圖一張長方形紙片ABCD，其長AD為a，寬AB為b（ab），在BC邊上選取一點M，將ABM沿AM翻折后B至B的位置，若B為長方形紙片ABCD的對稱中心，則的值為_5如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC，AD=12，AC=13，BC=14則AB=_6如圖所示，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，已知AB=6、BC=8，則BF=_7如圖，取一張長方形紙片，它的長AB=10cm，寬BC=cm，然后以虛線CE（E點在AD上）為折痕，使D點落在AB邊上，則AE=_cm，DCE=_8（2008莆田）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD=2AB，若沿過點D的折痕DE將A角翻折，使點A落在BC上的A1處，則EA1B=_度9一張長方形的紙片如圖示折了一角，測得AD=30cm，BE=20cm，BEG=60，則折痕EF的長為_二選擇題（共9小題）10如圖，明明折疊一張長方形紙片，翻折AD，使點D落在BC邊的點F處，量得AB=8cm，BC=10cm，則EC=（）A3B4C5D611如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一點，AD=DB，DEAB，垂足為E，CD等于（）cmABCD12有一張矩形紙片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F（如圖），則CF的長為（）A1B1CD13如圖，一張四邊形紙片ABCD，ADBC，將ABC對折使BC落在AB上，點C落在AB上點F處，此時我們可得到BCEBFE，再將紙片沿AE對折，D點剛好也落在點F上，由此我們又可得到一些結論，下述結論你認為正確的有（）AD=AF；DE=EF=EC；AD+BC=AB；EFBCAD；AEB=90；S四邊形ABCD=AEBEA3個B4個C5個D6個14如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，BC交AD于O給出下列結論：BC平分ABD；ABOCDO；AOC=120；BOD是等腰三角形其中正確的結論有（）ABCD15如圖，一張平行四邊形紙片，ABBC，點E是AB上一點，且EFBC，若沿EF剪開，能得到兩張菱形紙片，則AB與BC間的數(shù)量關系為（）AAB=2BCBAB=3BCCAB=4BCD不能確定16如圖，把一張長方形紙片ABCD沿BD對折，使點C落在E處，BE與AD相交于點F，有下列幾個說法：BED=BCD；DBF=BDF；BE=BC；AB=DE其中正確的個數(shù)為（）A1個B2個C3個D4個17如圖，已知BC為等腰三角形紙片ABC的底邊，ADBC，AD=BC將此三角形紙片沿AD剪開，得到兩個三角形，若把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，則得到的四邊形是（）A只能是平行四邊形B只能為菱形C只能為梯形D可能是矩形18如圖，直角梯形紙片ABCD中，DCB=90，ADBC，將紙片折疊，使頂點B與頂點D重合，折痕為CF若AD=2，BC=5，則AF：FB的值為（）ABCD三解答題（共9小題）19如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使C點落在C，且BC與AD交于E點，試判斷重疊部分的三角形BED的形狀，并證明你的結論20（綜合探究題）有一張矩形紙片ABCD中，其中AD=4cm，上面有一個以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切，如圖（1），將它沿DE折疊，使A點落在BC上，如圖（2）所示，這時，半圓露在外面的面積是多少？21已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE，AE=10在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由22矩形折疊問題：如圖所示，把一張矩形紙片沿對角線折疊，重合部分是什么圖形，試說明理由（1）若AB=4，BC=8，求AF（2）若對折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的長23（2011深圳）如圖1，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C的位置，BC交AD于點G（1）求證：AG=CG；（2）如圖2，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，求EM的長24一張長方形紙片寬AB=8 cm，長BC=10 cm，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE），求EC的長25在如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB）中，將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）過E作EPAD交AC于P，求證：2AE2=ACAP；（3）若AE=8cm，ABF的面積為9cm2，求ABF的周長26（2010涼山州）有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點（但不與頂點重合），若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設AB=m，AD=n，BE=x（1）求證：AF=EC；（2）用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EEBC當x：n為何值時，直線EE經(jīng)過原矩形的頂點D27（2011蘭州）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由答案與評分標準一填空題（共9小題）1（2003昆明）已知：如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，寫出一組相等的線段OA=OE或OB=OD或AB=ED或CD=ED或BC=BE或AD=BE（不包括AB=CD和AD=BC）考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）。專題：開放型。分析：折疊前后的對應邊相等，結合矩形的性質(zhì)可得到多組線段相等解答：解：由折疊的性質(zhì)知，ED=CD=AB，BE=BC=AD，ABDEDB，EBD=ADB，由等角對等邊知，OB=OD點評：本題答案不唯一，本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊求解2（2006荊門）如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC邊的中點，將C點折疊至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ，則PQ=考點：翻折變換（折疊問題）。分析：由折疊的性質(zhì)知BPQ=C=90，利用直角三角形中的cosPBN=BN：PB=1：2，可求得PBN=60，PBQ=30，從而求出PQ=PBtan30=解答：解：CBQ=PBQ=PBC，BC=PB=2BN=1，BPQ=C=90cosPBN=BN：PB=1：2PBN=60，PBQ=30PQ=PBtan30=點評：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解3有一張矩形紙片ABCD，AB=5，AD=3，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F，則CF的長為2考點：翻折變換（折疊問題）。專題：計算題。分析：由矩形的性質(zhì)可知，AD=BC，由折疊可知DE=BC，故AD=DE，DEA=45，可得FEC=45，可知FC=CE=DB=ABAD解答：解：由折疊的性質(zhì)可知EAD=DAB=45，ADE=90，DEA=45，F(xiàn)EC=45，F(xiàn)C=CE=DB=ABAD=53=2故本題答案為：2點評：本題考查了折疊的性質(zhì)折疊前后對應角相等，對應線段相等，關鍵是推出特殊三角形4（2004荊州）如圖一張長方形紙片ABCD，其長AD為a，寬AB為b（ab），在BC邊上選取一點M，將ABM沿AM翻折后B至B的位置，若B為長方形紙片ABCD的對稱中心，則的值為考點：翻折變換（折疊問題）。分析：連接CB由于B為長方形紙片ABCD的對稱中心，ABC是矩形的對角線由折疊的性質(zhì)知可得ABC三邊關系求解解答：解：連接CB由于B為長方形紙片ABCD的對稱中心，ABC是矩形的對角線由折疊的性質(zhì)知，AC=2AB=2AB=2b，sinACB=AB：AC=1：2，ACB=30cotACB=cot30=a：b=點評：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解5如圖，在銳角三角形ABC中，ADBC，AD=12，AC=13，BC=14則AB=15考點：勾股定理。分析：根據(jù)垂直關系在RtACD中，利用勾股定理求CD，已知BC，可求BD，在RtABD中，利用勾股定理求AB解答：解：ADBC，在RtACD中，CD=5，BC=14，BD=BCCD=9，在RtABD中，AB=15故答案為：15點評：本題考查了勾股定理的運用關鍵是利用垂直的條件構造直角三角形，利用勾股定理求解6如圖所示，把一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，已知AB=6、BC=8，則BF=考點：翻折變換（折疊問題）。專題：數(shù)形結合。分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)我們可得出AB=ED，A=E=90，又有一組對應角，因此就構成了全等三角形判定中的AAS的條件兩三角形就全等，從而設CF為x，解直角三角形ABF可得出答案解答：解：根據(jù)題意可得：AB=DE，A=E=90，又AFB=EFD，ABFEDF（AAS）AF=EF，設BF=x，則AF=FE=8x，在RtAFB中，可得：BF2=AB2+AF2，即x2=62+（8x）2，解得：x=故答案為：點評：本題考查翻折變換的知識，有一定的難度，注意判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件7如圖，取一張長方形紙片，它的長AB=10c