彈塑性力學(xué)-第九章

彈塑性力學(xué) 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 第九章塑性極限分析 第九章塑性極限分析 9 1梁的彈塑性分析9 2梁和剛架的極限分析9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 9 0緒論 荷載增加到某一數(shù)值不再繼續(xù)增加 而結(jié)構(gòu)的變形仍會(huì)繼續(xù)產(chǎn)生的狀態(tài) 極限狀態(tài)的重要性質(zhì) 1 應(yīng)變率的彈性部分恒為零 即塑性流動(dòng)時(shí)的應(yīng)變率是純塑性應(yīng)變率 2 極限狀態(tài)的唯一性 即極限狀態(tài)與加載歷史無(wú)關(guān) 也與初始狀態(tài)無(wú)關(guān) 1 當(dāng)加載方式確定時(shí) 極限荷載是唯一確定的 2 當(dāng)極限荷載給定時(shí) 極限狀態(tài)是唯一的 極限狀態(tài) 極限荷載 極限狀態(tài)相應(yīng)的荷載 極限承載能力 9 1梁的彈塑性分析 兩個(gè)基本假定 1 平截面假定 梁的橫截面變形之后仍然保持平面 2 只有截面上的正應(yīng)力是主要的 其它應(yīng)力分量都可忽略 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題 9 1梁的彈塑性分析 一 矩形截面梁的理想彈塑性純彎曲 9 1 9 2 截面上的應(yīng)力關(guān)系 離中性軸距離為y的一點(diǎn)的應(yīng)變 9 3 曲率 小變形情況 9 3 撓度 ydy ydy 9 1梁的彈塑性分析 1 截面先處于彈性階段 圖a 9 5 截面慣性矩 9 6 代入 9 2 代回 9 5 9 7 9 1梁的彈塑性分析 2 上下最外層的應(yīng)力最先達(dá)到屈服 圖 b 代回 9 5 9 8 彈性極限彎矩 曲率 9 9 9 10 9 1梁的彈塑性分析 3 M Me 塑性區(qū)向截面內(nèi)擴(kuò)展 圖 c 9 11 彈塑性交界 即 9 12 9 13 9 1梁的彈塑性分析 3 M Me 塑性區(qū)向截面內(nèi)擴(kuò)展 圖 c 9 14 4 0 截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài) 圖 d 常見(jiàn)的截面形狀系數(shù) 截面形狀系數(shù) 9 1梁的彈塑性分析 引入無(wú)量綱的量 9 14 9 16 簡(jiǎn)化 當(dāng)截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài) m 1 5 后 曲率可以任意增長(zhǎng) 這時(shí)可將截面看作一個(gè)鉸 稱為塑性鉸 塑性鉸的待征 1 鉸上作用彎矩 彎矩值保持為極限彎矩 2 鉸的轉(zhuǎn)角 可以任意增大 但必須同彎矩的方向一致 9 1梁的彈塑性分析 二 卸載情形 殘余曲率和殘余應(yīng)力 9 17 9 18 M K完全服從彈性規(guī)律 殘余曲率 卸載前一時(shí)刻的曲率與M 的關(guān)系 卸載過(guò)程中的M K彈性規(guī)律 9 15 9 1梁的彈塑性分析 9 19 殘余應(yīng)力 圖9 5梁內(nèi)的殘余應(yīng)力 9 1梁的彈塑性分析 三 橫向彎曲的彈塑性分析 9 20 A點(diǎn)B點(diǎn)將首先進(jìn)入塑性 P Pe后 在x 處梁分為兩段考慮 交界線為 x 0處的彈性域 9 1梁的彈塑性分析 三 橫向彎曲的彈塑性分析 進(jìn)入塑性區(qū)域的梁段占整梁的1 3 固定端的彈性區(qū)域完全消失 Ps即梁的極限荷載 求撓度 各 9 1梁的彈塑性分析 三 橫向彎曲的彈塑性分析 曲率方程 懸臂梁達(dá)到塑性極限荷載時(shí) 撓度還是彈性量級(jí)的 9 2梁和剛架的極限分析 一 梁的極限分析 M K曲線假設(shè) 圖9 8 圖9 8理想剛塑性模型 開(kāi)始梁內(nèi)彎矩按彈性超靜定梁計(jì)算 最大彎矩截面A處 9 2梁和剛架的極限分析 一 梁的極限分析 最大正彎矩截面B處 點(diǎn)A B都變成塑性鉸 Ps是塑性極限荷載 對(duì)于一個(gè)n次的超靜定梁 當(dāng)梁內(nèi)出現(xiàn)n十1個(gè)塑性鉸時(shí) 就可成為一個(gè)幾何可變機(jī)構(gòu) 對(duì)應(yīng)的荷載即是極限荷載 9 2梁和剛架的極限分析 一 梁的極限分析 1 機(jī)動(dòng)法 假設(shè)可能破損的機(jī)構(gòu) 令外載在這個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所做的功與塑性鉸在同一過(guò)程中所做的內(nèi)力功相等 可以求得要形成這個(gè)機(jī)構(gòu)所需的外載 內(nèi)力功 外力功 內(nèi)力功 外力功 2 靜力法 在彎矩可能是最大的一些截面處 使彎矩達(dá)到屈服條件 M Ms 使結(jié)構(gòu)成為一個(gè)機(jī)構(gòu) 然后利用平衡方程求得整個(gè)結(jié)構(gòu)的彎距分布 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 右圖是一個(gè)平面框架 設(shè)各截面的塑性極限彎矩Ms相同 受水平力3P及豎直力2P的作用 求結(jié)構(gòu)能承受的最大荷載P值 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 機(jī)動(dòng)法 9 2梁和剛架的極限分析 對(duì)機(jī)構(gòu) a 對(duì)機(jī)構(gòu) b 對(duì)機(jī)構(gòu) c 對(duì)機(jī)構(gòu) d 取最小的P為Ps 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 靜力法 先取2 3及4成鉸作為機(jī)構(gòu) 按虛功原理得 點(diǎn)5處水平力 考慮柱45的平衡 再考慮柱12的平衡 違反屈服條件 減小P至原值的1 12 結(jié)構(gòu)很安全 不成為機(jī)構(gòu) 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 取1 2及4成鉸作為機(jī)構(gòu) 考慮柱45的平衡 沒(méi)有超過(guò)屈服條件 按虛功原理 9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 尋求結(jié)構(gòu)所能承受外力P的最大乘子S 機(jī)動(dòng)場(chǎng) 運(yùn)動(dòng)可能場(chǎng) 是一組滿足運(yùn)動(dòng)約束條件的位移場(chǎng) 和截面轉(zhuǎn)角 i 并且外力P在 上做正功 機(jī)動(dòng)乘子 靜力場(chǎng) 靜力許可場(chǎng) 它是一組滿足平衡方程和不違背屈服條件的彎炬分布Mi0 與它平衡的外力為S0P S0稱為靜力乘子 真實(shí)極限狀態(tài)的外力 SP 9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 上限定理 真實(shí)的安全乘子S是最小的機(jī)動(dòng)乘子 下限定理 真實(shí)的安全乘子S是最大的靜力乘子 9 21 如果找到一個(gè)乘子既滿足機(jī)動(dòng)場(chǎng) 也滿足靜力場(chǎng) 則上述定理保證它是真實(shí)的安全乘子 SP是極限荷載 否則可以分別求得它的上限和下限 并改進(jìn)這些上下限 以得到極限荷載的一個(gè)可靠估計(jì) 9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 上限定理證明 9 22 9 23 以機(jī)動(dòng)場(chǎng)為虛位移 將真實(shí)應(yīng)力和外力場(chǎng)作用在機(jī)動(dòng)場(chǎng) 按虛功原理 按機(jī)動(dòng)乘