第四章-平面向量-復(fù)習(xí)講義

第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算考綱了然于胸1了解向量的實(shí)際背景2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義要點(diǎn)梳理1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)如a，零向量長(zhǎng)度等于零的向量；其方向不確定記作0單位向量給定一個(gè)非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0.a0共線(平行)向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行向量a與b平行記作ab相等向量同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量與向量a反向且等長(zhǎng)的向量，叫做a的相反向量記作a2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0，若(a2b)(2ab)，則x的值為()A4 B8 C0 D25若平面向量b與向量a(1，2)的夾角是180，且|b|3，則b等于()A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3)6(2016九江模擬)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個(gè)向量集合，則PQ等于_7(2015高考新課標(biāo)卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.8ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.9已知a(1,0)，b(2,1)求(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？10(2016萊蕪一模)如圖，已知OCB中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，D是將分為21的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)a，.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求實(shí)數(shù)的值能力提升組11非零不共線向量、，且2xy，若 (R)，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是()Axy20 B2xy10 Cx2y20 D2xy2012(2016朝陽一模)在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為()A. B. C. D113在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是()A(0，) B(0，) C(，0) D(，0)14(2016成都市調(diào)研)設(shè)G為ABC的重心，若ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足22，則的值等于_15已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用考綱了然于胸1理解平面向量數(shù)量積的含義及物理意義；2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系要點(diǎn)梳理1向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，如圖所示，則AOB叫做向量a與b的夾角，也可記作a，b.(2)范圍：向量夾角的范圍是0，a與b同向時(shí)，夾角0；a與b反向時(shí)，夾角.(3)垂直關(guān)系：如果非零向量a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.2平面向量的數(shù)量積(1)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos ，記作ab，即ab|a|b|cos .(2)向量的投影：設(shè)為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 3平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a、b的夾角.向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|4平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)，則：(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：(ab)cacbc.質(zhì)疑探究：對(duì)于非零向量a、b、c.(1)若acbc，則ab嗎？(2)(ab)ca(bc)恒成立嗎？提示：(1)不一定有ab，因?yàn)閍cbcc(ab)0，即c與ab垂直，但不一定有ab.因此向量數(shù)量積不滿足消去律(2)因?yàn)?ab)c與向量c共線，(bc)a與向量a共線所以(ab)c與a(bc)不一定相等，即向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律5向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問題6平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識(shí)來解決(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積即WFs|F|s|cos (為F與s的夾角)小題查驗(yàn)1下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量(3)由ab0可得a或b.(4)(ab)ca(bc)(5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，A1 B2C3 D52(2015高考山東卷)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，ABC60，則()Aa2 Ba2 C.a2 D.a23已知|a|4，|b|3，a與b的夾角為120，則b在a方向上的投影為()A2 B. C2 D4設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.5已知向量a、b滿足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算(基礎(chǔ)型考點(diǎn)自主練透)方法鏈接向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos a，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.提醒(1)在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若abac(a)，則不一定得到bc.(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)題組集訓(xùn)1(2016南昌市模擬)已知向量e1(cos ，sin )，e2(2sin ，4cos )，則e1e2_.2(2016昆明市調(diào)研)已知向量a，b的夾角為120，且|a|1，|b|2，則向量ab在向量ab方向上的投影是_3(2016石家莊市質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB2，BC1，E為BC的中點(diǎn)，若F為該矩形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則的最大值為_考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(高頻型考點(diǎn)多角探明)考情聚焦平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題歸納起來常見的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1已知平面向量a，b的夾角為，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D為BC中點(diǎn)，則|等于()A2 B4C6 D82(2014北京高考)已知向量a，b滿足|a|1，b(2,1)，且ab(R)，則|_.角度二平面向量的夾角3向量a，b均為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則a，b的夾角為()A.B.C.D.4(2014江西高考)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.角度三平面向量的垂直5(2014重慶高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D.6在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，則k的值為_通關(guān)錦囊平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，則|a|.題組集訓(xùn)1(2016石家莊質(zhì)檢)已知向量a、b的夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|()A3 B2 C. D12(2016武漢調(diào)研)已知向量a，b，滿足|a|3，|b|2，且a(ab)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.考點(diǎn)三數(shù)量積的綜合應(yīng)用(重點(diǎn)型考點(diǎn)師生共研)【例】(1)已知向量a，b是夾角為60的兩個(gè)單位向量，向量ab(R)與向量a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為()A1 B1 C2 D0(2)(2016鄭州市質(zhì)檢)在ABC中，若2，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D直角三角形【名師說“法”】(1)若a，b為非零向量，則abab0；若非零向量a(x1，y)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.(2)一對(duì)向量垂直與向量所在的直線垂直是一致的，向量的線性運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算是求解向量問題的兩大途徑(3)向量垂直問題體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化，可用來解決幾何中的線線垂直問題跟蹤訓(xùn)練(1)(2016荊州質(zhì)檢)已知向量a與b的夾角是，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，則實(shí)數(shù)_.(2)(2016廈門質(zhì)檢)已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在的平面內(nèi)，且|，0，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、內(nèi)心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心易錯(cuò)警示8數(shù)量積的正負(fù)與向量夾角關(guān)系不清典例(2016江西省七校聯(lián)考)已知a(3,2)，b(2，1)，若向量ab與ab的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_易錯(cuò)分析此題易忽略1時(shí)，有 ab與a b同向防范措施向量數(shù)量積正負(fù)與向量夾角是鈍角、銳角不等價(jià)，如：mn0時(shí)，其m，n可為銳角，也可為0，mn0，其m，n可為鈍角，也可為.此類題要考慮m與n共線情況課堂小結(jié)【方法與技巧】1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧4向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題5以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法6向量的兩個(gè)作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題【失誤與防范】1(1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a0，a(a)00，a00；(2)0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系2ab0不能推出a或b，因?yàn)閍b0時(shí)，有可能ab.3abac(a)不能推出bc，即消去律不成立4注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià)5注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系；兩向量a，b夾角為銳角和ab0不等價(jià)課時(shí)活頁作業(yè)(二十六)基礎(chǔ)訓(xùn)練組1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，則x等于()A1 B C.D12(2015高考福建卷)已知非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D3設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|等于()A. B. C2 D104(2016西安質(zhì)檢)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D105ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，0，且|，則在方向上的投影為()A1 B2 C. D36(2014四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m_.7在四邊形ABCD中，(1,1)，則四邊形ABCD的面積為_8(2015高考天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則的最小值為_9已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120.(1)計(jì)算：|ab|，|4a2b|；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a2b)(kab)?10在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a(1，2)，又點(diǎn)A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)(0)(1)若a，且|，求向量；(2)若向量與向量a共線，當(dāng)k4，且tsin 取最大值4時(shí)，求.能力提升組11在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上取一點(diǎn)P，使有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(3,