廿一世紀的數(shù)學(xué)展望.ppt

廿一世紀的數(shù)學(xué)展望 丘成桐教授浙江大學(xué)哈佛大學(xué)二零零四年六月二十五日 社會現(xiàn)象 經(jīng)濟金融保險估值 病歷調(diào)查生物統(tǒng)計調(diào)查 都市規(guī)劃人口流動人口調(diào)查民意調(diào)查 文獻整理歷史研究 訊息科學(xué)網(wǎng)絡(luò)科學(xué) 物理現(xiàn)象 數(shù)學(xué)和工程科學(xué)乃是社會科學(xué)的基礎(chǔ)理論物理乃是工程科學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)乃是理論物理的基礎(chǔ) 人類科技愈進步愈能發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象種種繁複現(xiàn)象使人極度迷惘 例如 湍流問題 黑洞問題 但是主宰所有現(xiàn)象變化的只是幾個小數(shù)的基本定律 standardmodel 標準模型 統(tǒng)一了三個基本場 電磁場 弱力 強力但是重力場和這三個場還未統(tǒng)一 重力場由廣義相對論描述 是狹義相對論和牛頓力學(xué)的統(tǒng)一理論而形成的 這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創(chuàng)作 愛因斯坦方程是其中g(shù)ij是測度張量 引力場 tij是物質(zhì)張量rij是ricci曲率張量 弦理論企圖統(tǒng)一重力場和其他所有場 在廿一世紀 基本數(shù)學(xué)會遇到同樣的挑戰(zhàn) 基本數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一 只有在各門分支大統(tǒng)一時 所有分支才會放出燦爛的火花 每一門學(xué)問才會得到本質(zhì)上的瞭解 數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一將會比物理的大統(tǒng)一來得基本 也將由統(tǒng)一場論孕育而出 近代弦論的發(fā)展已經(jīng)成功的將微分幾何代數(shù)幾何群表示理論數(shù)論拓樸學(xué)相當重要的部份統(tǒng)一起來 數(shù)學(xué)已經(jīng)由此得到豐富的果實 大自然提供了極為重要的數(shù)學(xué)模型 以上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來的 但是數(shù)學(xué)家卻可以用自己的想像 在觀察的基礎(chǔ)上創(chuàng)造新的結(jié)構(gòu) 成功的新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)往往是幾代數(shù)學(xué)家的共同努力得出的成果 也往往是數(shù)學(xué)中幾個不同分支合併出來的火花 andrewwiles的工作是ellipticcurve和automorphicform representationtheory的大合併 幾何和數(shù)字 尤其是整數(shù) 可說是數(shù)學(xué)裏最直觀的對象 因此在大統(tǒng)一中起著最要緊的作用 廿世紀的數(shù)論學(xué)家通過代數(shù)幾何的方法已經(jīng)將整數(shù)方程的一部份與幾何結(jié)合 群表示理論亦逐漸與數(shù)論和幾何學(xué)結(jié)合 每次進步都有結(jié)構(gòu)性的變化 例如算術(shù)幾何的產(chǎn)生 在這廿年間 拓樸學(xué)和幾何已經(jīng)融合 三維空間和四維空間的研究非懂幾何不可 thurston的猜測 是在三維空間上引用幾何結(jié)構(gòu) 這些創(chuàng)作新結(jié)構(gòu)的理論有劃時代的重要性 正等如十九世紀引用riemansurface的概念一樣重要 分析和幾何亦逐漸融合 到目前為止 微分方程在複幾何和拓撲學(xué)上有傑出的貢獻 通過分析方法 陳氏類 hodge理論 atiyah singer指標定理和我們在復(fù)流型上搆造的kahler einstein度量 在代數(shù)幾何中解決了重要的問題 最近hamilton的ricciflow通過perelman的工作可能解決thurston的猜想 在四維空間上 donaldson利用taubes uhlenbeck的規(guī)範場上的存在性定理得到四維拓撲的突破 上述工作和donaldson uhlenbeck yau在yang mills的工作都與弦理論息息相關(guān) 事實上弦理論提供了極為重要的訊息 使得古典的代數(shù)幾何得到新的突破 我們期望弦理論 代數(shù)幾何 幾何分析將會對四維拓撲有更深入的暸解 在二十一世紀的數(shù)學(xué)里 三維的雙曲空間會變得如黎曼曲面一樣重要 數(shù)學(xué)會進入一個盡情享受低維空間特殊性質(zhì)的局面 在代數(shù)幾何上 二維 三維和四維流型將會有更徹底的理解 我們希望hodge猜測會得到圓滿的解決 從而得知一個拓撲子流型什么時候可以由代數(shù)子流型來表示 同樣的問題也適用于vectorburdle上 由弦理論得到的啟示 有些特殊的子流形或可代替代數(shù)流型 現(xiàn)在舉一個理論物理 數(shù)學(xué)和應(yīng)用科學(xué)上的共同而重要的問題 基本物理上的hierachy問題 是一個scale的問題 引力場和其他力場的scale相差極遠 如何統(tǒng)一 如何解釋 在古典物理 微分方程 微分幾何和各類分析中亦有不同scale如何融合的問題 在統(tǒng)計物理和高能物理中 用到所謂renormalizationgroup的方法 是非穩(wěn)定系統(tǒng)的一個重要工具 如何用基本的方法去處理不同scale是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個重要問題 純數(shù)學(xué)將會是處理不同度量的主要工具 而事實上 純數(shù)學(xué)本身亦有不同度量的問題 在微分方程 或微分幾何遇到奇異點或在研究漸近分析時 blowingup分析是一個很重要的工具 而這種blowingup的工具亦是代數(shù)幾何中最有效的工具 在非綫性微分方程中 我們需要更進一步的做定性和定量的分析來研究由blowingup得出來的結(jié)果 因此對不同scale的量得到進一步的認識 微分幾何的張量分析 曲率張量 在multiscale分析中應(yīng)該會有重要的應(yīng)用 因為即使在同一點上 有不同方向的變化 而此種變化亦應(yīng)當受到scale的影響 當一個圖 graph 逼近一個幾何圖形或微分方程的解時 multiscale分析極為重要 如何解決這些問題無論在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)都是重要的問題 我希望研究離散數(shù)學(xué)的學(xué)者亦注意到這一點 近代弦論發(fā)現(xiàn)有不同的量子場論可以互相同構(gòu) isomorphic 然而scale剛好相反因此一個強couplingconstant的理論可以同另一個弱couplingconstant的理論同構(gòu) 而後者可以從漸近分析理論來計算 由於r 這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結(jié)構(gòu) 使得我們可以用擾動性 perturbationanalysis 的方法去計算非擾動的場論 在數(shù)學(xué)上得到驚人的結(jié)果 更要注意到的一點是時空的結(jié)構(gòu)可能因此有基本上的觀念的改變 極小的空間不再有意義 時空的量子化描述需要更進一步的探討 物理學(xué)家和幾何學(xué)家都希望能夠找尋一個幾何結(jié)構(gòu)來描述這個量子化的空間 有不少學(xué)者建議用矩陣模式來解釋這種現(xiàn)象 雖然未能達到目標但已得到美妙的數(shù)學(xué)現(xiàn)象 約在兩百年前 gauss發(fā)現(xiàn)gauss曲率的觀念而理解到內(nèi)蘊幾何時 就感歎到空間的觀念與時而變 和人類對大自然的瞭解有密切的關(guān)係 這二十年來 超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數(shù)學(xué)的發(fā)展 在實驗上雖然尚未發(fā)現(xiàn)超對稱 但在數(shù)學(xué)上卻起著凝聚各門分枝的能力 我們寧可相信在極高的能量時 超對稱確實存在 但如何看待超對稱在現(xiàn)實時空中的殘餘 應(yīng)當會是現(xiàn)代應(yīng)用物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要命題 舉例來說 在超對稱的結(jié)構(gòu)中 規(guī)範場和電磁場會與完全不相關(guān)的子流形理論同構(gòu) 是否意味著這種日常能見的場論可以用不同的手法來處理 種種不同的現(xiàn)象顯示 弦論 幾何 群表示理論逐漸會與算術(shù)幾何接近 在所謂arakelov理論中 除了在複數(shù)上定義的代數(shù)空間外 還需要考慮特微為p的代數(shù)空間 才能夠?qū)λ阈g(shù)空間有完滿的瞭解 是否表示它們能夠幫助我們瞭解現(xiàn)實界的問題 由此觀之 數(shù)論上的l函數(shù)和birch swinnerton dyer猜測有沒有其他解釋 現(xiàn)在用一個簡單的例子來解釋上述duality的現(xiàn)象 例子 laplace算子我們要求在上定義 zn是一個lattice rn而l必定要在這個lattice的對偶中 zn 的對偶是這個對偶在弦論中起相當重要的作用 在fourier分析和數(shù)論中也已得重要的發(fā)揮 在l2 t 上的譜 spectrum 是它的譜分解全部可以算出如果f r r則如果我們有辦法用分析方法算出f 則可以得到traceformula 舉例來說f x exp tx exp t 的核函數(shù)可以算出為因此 poissonformula 數(shù)論上的基本公式 traceformula automorphicform 群表示理論 數(shù)論 這個torus的對偶正是弦理論對偶的基礎(chǔ) 現(xiàn)代數(shù)論的一個最重要的環(huán)節(jié)叫l(wèi)anglands理論 也有對偶的問題 與代數(shù)幾何和表示理論有密切的關(guān)係 希望能夠與這一系列的想法也掛鈎 symmetry 對稱 群的觀念小群 如鏡對稱如雪花的對稱連續(xù)群 李群 物理上用途非緊離散群 在數(shù)論和幾何上的用途無限維對稱 規(guī)範場中的規(guī)範群種種不同對稱的觀唸在廿世紀後半期的理論科學(xué)有基本貢獻 dulality比symmetry更廣義 不同理論的基本同構(gòu)將是廿一世紀的一個重要命題 對稱的觀念可說是基本科學(xué)中最基本的工具 但是運用之妙存乎一心在于作者的經(jīng)驗和直觀 廿一世紀基本科學(xué)的基本命題 如何將對稱的物理基本現(xiàn)象與非對稱的世界聯(lián)合 symmetrybreaking眾生色相何由而生 基本的物理定律是timesymmetric的 為何我們擔憂時光消逝 因為直觀世界是timesymmetric的 由timesymmetric的定律來解釋直觀世界是現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理的一個重要問題 熱力第二基本定理說randomness隨時間而增entropyincreasewithtime這是一個奇妙的定理 到如今還未得到徹底的瞭解 時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目 rogerpenrose和hawking都花了很多時間討論 這是因為einstein方程對時間來說是對稱的 然而在現(xiàn)實世界 時間是不對稱的 熵的研究在現(xiàn)代物理和現(xiàn)代數(shù)學(xué)都起了極重要的作用 湍流的問題 將是其中一個例子 流體力學(xué)中的奇異點和boundarylayer都需要大量的理論投入 需不需要引力場方程來幫忙解釋 在某種意義下 基本的方程式或基本的物理現(xiàn)象 用數(shù)學(xué)形式表達出來時 是用等式來表達 但往往在澈底研究這種等式以前 不等式會産生 同時起著無比的重要性 波浪的重疊 最後產(chǎn)生的可以是極為光滑的波 如何控制這種現(xiàn)象要依靠好的不等式 也是一切分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)的精華 superposition是線性方程的特微 在研究非線性integrable方程時 也由非線性的superposition 一般而言 我們有沒有辦法由少數(shù)的解來產(chǎn)生新的解是一個重要的問題 非線性現(xiàn)象是二十一世紀的研究物件 由stationary的物理現(xiàn)象到dynamical的物理現(xiàn)象 我們會遇到極為困擾而又刺激的數(shù)學(xué)問題 在方程的觀點來說 橢圓方程過渡到拋物型 到雙曲型到混合型的方程組 有極度睏難的奇異點處理問題 在物理上有震波的處理問題 既要研究估值 又要研究物理意義 又希望大型計算機能夠幫忙 高維空間的非綫性波和各種物理幾何的關(guān)繫將會影響這幾十年的應(yīng)用數(shù)學(xué) 其中有孤立子的現(xiàn)象 有震波現(xiàn)象 多種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現(xiàn)象 方程帶有隨機變數(shù)時的處理將會是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要題目 很多古典的方法或近代物理的方法應(yīng)當可以應(yīng)用到離散問題上去 大型的網(wǎng)絡(luò)極為復(fù)雜 如何有傚的傳播訊息 如何尋找資料 提供暸數(shù)學(xué)極有意義的問題 圖像處理和計算幾何更是一個電腦 幾何 組合數(shù)學(xué)結(jié)合的好地方 在醫(yī)學(xué)上有重要的貢獻 自動控製論和上述種種應(yīng)用都會結(jié)合 要得到最有傚的用途需要數(shù)學(xué)傢密切合作 在某種意義下 基本的方程式或基本的物理現(xiàn)象 用數(shù)學(xué)形式表達出來時 是用等式來表達 但往往在澈底研究這種等式以前 不等式會産生 同時起著無比的重要性 波浪的重疊 最後產(chǎn)生的可以是極為光滑的波 如何控制這種現(xiàn)象要依靠好的不等式 也是一切分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)的精華 研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法 當微分方程和幾何和組合數(shù)學(xué) 真正大統(tǒng)一時 應(yīng)用數(shù)學(xué)會有大進步 有宏大胸襟的數(shù)學(xué)家會在前進途徑上創(chuàng)造新的結(jié)構(gòu)來因應(yīng)這個統(tǒng)一的使命 來瞭解不同的數(shù)學(xué)分枝 數(shù)學(xué)在工業(yè)上的應(yīng)用 工業(yè)問題 科學(xué)觀察實驗 統(tǒng)計 分析處理 理論 模型 計算 程序 單靠程序和計算的數(shù)學(xué)即使有短暫的生長力量 不會有深遠的影響 如何解釋由計算得出來的現(xiàn)象 如何與物理和工程的現(xiàn)象相吻合 如何利用計算結(jié)果作有意義的預(yù)測 乃是計算數(shù)學(xué)的目標 因此理想的應(yīng)用數(shù)學(xué)家 應(yīng)該有數(shù)學(xué)家的根基 有物理學(xué)家和工程學(xué)家的眼光和觸角 數(shù)學(xué)提供應(yīng)用數(shù)學(xué)幾個重要工具概率 隨機分析組合理論代數(shù) coding理論 幾何 圖像處理 壓縮 由於應(yīng)用科學(xué)的產(chǎn)生 所有連續(xù)性的數(shù)學(xué)理論或存在性定理 都有定量的逼近問題 因此產(chǎn)生很多有意義的新的數(shù)學(xué) 物理 生物 化學(xué) 工程將會提供大量有意義的問題和新的觀念 好的應(yīng)用數(shù)學(xué)家需要融合各種的科學(xué) 經(jīng)費不是唯一的問題 七零年代 應(yīng)用數(shù)學(xué)家堅持分家 這是由於聘請教授的觀點不同和經(jīng)費收入不同所致的毛病 分家的結(jié)果 1 數(shù)學(xué)家比較注重純科學(xué)的命題 尤其理論物理提供了豐富的題材和方法 給予數(shù)學(xué)新的生命 雖然搞分析數(shù)學(xué)和組合數(shù)學(xué)的教授也接觸應(yīng)用數(shù)學(xué) 但是接觸並非全面性的 用時往往缺乏應(yīng)用能力 相反交流也不多 在四零年代 五零年代培養(yǎng)出來的應(yīng)用數(shù)學(xué)家大都是一流的數(shù)學(xué)家vonneumannc c lincourantfederichstokerglimmlaxkellermoser 主要發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的美 研究所為courantinstututem i t caltech stanfordberkeley yale 2 應(yīng)用數(shù)學(xué)家則極力提倡應(yīng)用 認為很多傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練是不必要的 在工業(yè)