泰勒公式及應(yīng)用論文.docVIP

畢業(yè)論文題 目： 泰勒公式及應(yīng)用 學(xué)生姓名： 陸連榮 學(xué)生學(xué)號(hào)： 0805010325 系 別： 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 屆 別： 2012屆 指導(dǎo)教師： 向 偉 目錄摘 要(1)關(guān)鍵詞(1)Abstract(1)Key words(1) 前言：(1)1泰勒公式(2) 1.1帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式(2) 1.2帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式(2) 1.3帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式(2) 1.4帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式(3)2 泰勒公式的應(yīng)用(3) 2.1利用泰勒公式求極限(3) 2.2利用泰勒公式證明不等式及中值問題(5) 2.3 利用泰勒公式討論積分及級(jí)數(shù)的斂散性(8) 2.4利用泰勒公式求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(11) 2.5研究泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用(12)結(jié)語(12)致謝(13)參考文獻(xiàn)(13) 泰勒公式及應(yīng)用學(xué)生：陸連榮指導(dǎo)教師：向偉淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系摘 要；泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，而且在求極限、證明不等式、討論級(jí)數(shù)及積分的斂散性、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、證明中值公式、求解導(dǎo)數(shù)問題及在近似計(jì)算等中都有極其重要的作用.在本文中上述所列的幾個(gè)作用都有論述，但著重論述泰勒公式在求極限、級(jí)數(shù)及積分的斂散性判斷、證明不等式及中值公式與求解導(dǎo)數(shù)問題中的作用。關(guān)鍵詞：泰勒公式；應(yīng)用；級(jí)數(shù)；斂散性 Taylor formula and its application Student: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal UniversityAbstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylors formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函數(shù)的增量,自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。我們可以使用泰勒公式, 來很好的解決某些問題, 如求某些極限, 判斷級(jí)數(shù)及積分的斂散性, 求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、證明中值公式、求解導(dǎo)數(shù)問題及在近似計(jì)算等中都有極其重要的作用.在本文中上述所列的幾個(gè)不等式及中值公式與求解導(dǎo)數(shù)這幾個(gè)方面的具體應(yīng)用方法。1 泰勒公式1.1 帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得: 它的余項(xiàng)為,稱為拉格朗日余項(xiàng)。當(dāng)時(shí)，得到泰勒公式： 稱為（帶有拉格朗日余項(xiàng)的）麥克勞林公式。1.2 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至階導(dǎo)數(shù),則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn)有：當(dāng)時(shí)，上式稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公式。1.3 帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù),令,則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn),在和之間至少存在一個(gè)使得：其中就是泰勒公式的積分型余項(xiàng)。1.4帶有柯西型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),令,則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)有： 當(dāng)時(shí)，又有 其中,都稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng)。2 泰勒公式的應(yīng)用2.1 利用泰勒公式求極限 應(yīng)用泰勒公式求極限時(shí),常用到的展開式有：； ； ； ； 上述展開式中的符號(hào)表示當(dāng)時(shí),它是一個(gè)較高階的無窮小,亦即有:;根據(jù)這個(gè)定義容易驗(yàn)證:當(dāng)時(shí)有: ； ； ； ； 。 例1 求的極限。 分析：此為型極限，若用羅比塔法則很麻煩。這時(shí)可將和分別用其泰勒展開式代替，則可簡化此比式。 解:利用展開式:，,由此可得: ，所以: 。 例2 求極限。 分析：此式分子含有根號(hào)項(xiàng)，用洛比達(dá)法則也可以求解，不過比較繁瑣。若使用泰勒公式可以將問題大大簡化。 解：將、在點(diǎn)的麥克勞林公式展開到項(xiàng)得： ， ，則原式= = =。 例3 求極限。 解：由于，從而有。 總結(jié)：用泰勒公式計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是利用等價(jià)無窮小的替代來計(jì)算極限。我們知道，當(dāng)時(shí)，等，這種等價(jià)無窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展開至一次項(xiàng)，有些問題用泰勒公式和我們已經(jīng)熟知的等價(jià)無窮小法相結(jié)合，問題又能進(jìn)一步簡化。 2.2 利用泰勒公式證明不等式及中值問題 如果函數(shù)的二階及二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界則用泰勒公式去證明這些不等式。 例1 設(shè)，證明當(dāng)時(shí)成立,且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。 證明：在上二階可導(dǎo)，且有 ；以及 ；于是，對(duì)應(yīng)用在處的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式得： ，注意到上式最后一項(xiàng)是非負(fù)的且僅當(dāng)時(shí)為.所以，且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。 例2 設(shè)函數(shù)在上二次可微，且，試證：存在一點(diǎn)，使。 分析：在上二次可微，且最小值，所以在內(nèi)一定有極值點(diǎn)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，題中可知二次可微，從這點(diǎn)我們可以想到使用泰勒公式，而要證明的結(jié)論中右邊是一個(gè)常數(shù)，故選在最小值點(diǎn)處泰勒展開。 解：不妨設(shè)為在上的最小值點(diǎn),則，在處的泰勒公式： ，是介于與之間的某個(gè)值。當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故綜上，存在一點(diǎn)使。 例3 設(shè)，且，證明。 證明：由知：，又存在,故連續(xù), 所以，所以，因?yàn)槎A可導(dǎo),所以在點(diǎn)處二階泰勒公式成立,在與之間, 因?yàn)?，所以，所以，即。 例4 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù), 試證: 使得： 。 證明：記，泰勒展開式，在兩端同時(shí)取上的積分,即 。 注意右端第二項(xiàng)積分為，第三項(xiàng)的積分由于導(dǎo)數(shù)有界值性, 積分第一中值定理成立, 使得，從而有：，命題成立。 例5 設(shè)函數(shù)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且,證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使。 證明:由麥克勞林公式,得： ，其中在與之間。分別令，并將所得兩式相減得： ，由的連續(xù)性知在上有最大值和最小值。則有: ，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知至少存在一點(diǎn)，使： ，從而命題得證。2.3 利用泰勒公式討論積分及級(jí)數(shù)的斂散性在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí)，通常選取廣義積分進(jìn)行比較，在此通過研究無窮小量的階來有效地選擇中的值，從而判定的斂散性，我們要注意到如果收斂，則也收斂。 例1 研究廣義積分的斂散性。 解： 由泰勒公式得: ，選取，因?yàn)?，而，所以收斂?例2 研究廣義積分的斂散性。 解：因?yàn)?所以是瑕點(diǎn)。由比較判別法可知，則時(shí)，收斂；時(shí)，發(fā)散。因?yàn)椋?， ，所以，因?yàn)?，所以廣義積分發(fā)散。 例3 設(shè)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 分析：由條件“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”可想到使用泰勒公式，又由條件易推得：，這將使在點(diǎn)的泰勒展開式更加簡單，便于利用比較判別法判斂。 解：由及在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可知： ，將在的某領(lǐng)域內(nèi)展開成二階泰勒公式：，在與之間又由題設(shè)在屬于含點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)小閉區(qū)間上連續(xù)，因此存在，使，于是 ,令，則。因?yàn)槭諗浚式^對(duì)收斂。 注1 若條件“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”，改為“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)有界”，結(jié)論照樣成立。 例4 討論級(jí)數(shù)的斂散性。 解: 因?yàn)? ， ，故時(shí)有： ，而收斂；所以級(jí)數(shù)也收斂。 總結(jié)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法:及都為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。1. 若收斂,當(dāng)時(shí),有收斂。 2.若發(fā)散,當(dāng)時(shí)，有發(fā)散。2.4 利用泰勒公式求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)在此我們討論的是一元函數(shù)的泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 。首先我們要先來看一個(gè)定理： 定理1 若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階的導(dǎo)數(shù)，則有 : （1） （1） 式稱為一元函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒公式，其中。 要點(diǎn)：當(dāng)在點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，由定理1可推出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)有泰勒展開式，據(jù)此，若求出 在點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)值，則求出，為此可將在點(diǎn)作泰勒展開。 例1 設(shè)，求。 解：因?yàn)?，兩邊積分得:由此可得的泰勒展開式: ，從而: 。令 ，則上式可改寫為: 。綜上，我們有：為自然數(shù)時(shí)，且: 2.5 研究泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用這里所討論的是利用泰勒公式求函數(shù)值的近似值，利用的帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林展開式得函數(shù)的近似計(jì)算式為： ，其誤差是余項(xiàng)。 例1 計(jì)算的值，使誤差不超過. 解：先寫出帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林展開式： ,其中 ，在與之間。令,使，;則取即可。因此，其誤差。結(jié)語泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)斂散性的判斷、不等式的證明、中值問題以及行列式的計(jì)算等方面有重要的應(yīng)用。通過本文對(duì)極限計(jì)算、斂散性的判斷、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、中值問題以及不等式的證明等幾個(gè)方面的論述，我們可以了解到高階（二階及二階以上）導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，不妨先把函數(shù)在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說，一般是展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇展開點(diǎn)（展開點(diǎn)未必一定是具體數(shù)值點(diǎn)，有時(shí)以為佳）。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。致謝 本文是在我的導(dǎo)師向偉的精心指導(dǎo)和悉心關(guān)懷下完成的。在這里我首先要感謝的就是向老師，感謝他對(duì)我的精心培養(yǎng)與指導(dǎo)，感謝他對(duì)我的關(guān)心和照顧。他那嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)的治學(xué)態(tài)度，認(rèn)真的教學(xué)科研作風(fēng)，正直坦蕩的為人處世原則，以及對(duì)待學(xué)生誨人不倦、平易近人的做人品格深深感染了我，導(dǎo)師的言傳身教已經(jīng)并將繼續(xù)對(duì)學(xué)生的專業(yè)發(fā)展和為人處世起到極為重要的作用。同時(shí)，感謝淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)系的所有教導(dǎo)過、幫助過我的師長。最后，我要向我的同學(xué)和朋友表示深深的感謝,有了他們的關(guān)心和幫助,我才能一步一步度過難關(guān)。感謝我的同學(xué)董婷，丁美玲，感謝你們的探討與幫助。參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.227-228 .2劉玉璉.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1988.214.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第二版)M.高等教育出版社,1991.P182. 4裘兆泰,王承國,章仰文,數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)M.北京:科學(xué)出版社,2004.117-120