第17章 勾股定理(知識歸納)

第17章 勾股定理(知識歸納) 1第17章勾股定理（知識歸納）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】 1、勾股定理的由來勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.原命題與逆命題、定理與逆定理判定一事情的句子，叫命題。 命題分類真命題和假命題，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題。 a2+b2=c2互逆定理歸納實際問題（判別直角三角形）實際問題（直角三角形邊長計算）勾股定理勾股定理的逆定理2如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.定理，用邏輯的方法判斷為正確并作為推理的根據(jù)的真命題叫做定理將某一定理的條件和結(jié)論互換所得的定理就是原來定理的逆定理如果一個定理的逆命題能被證明為真命題，那么它叫做原定理的逆定理。 此時，這兩個定理叫互逆定理，3.勾股數(shù)例如（ 3、 4、5），（ 5、 12、13），（ 6、 8、10），（ 7、 24、25）等一組一組的數(shù)，每一組都能滿足a2+b2=c2，因此它們都是勾股數(shù)（其中 3、 4、5是最簡單的一組勾股數(shù)）。 顯然，若直角三角形的邊長都為正整數(shù)，則這三個數(shù)便構(gòu)成一組勾股數(shù)；反之，每一組勾股數(shù)都能確定一個邊長是正整數(shù)的直角三角形。 常見的勾股數(shù) 3、 4、5； 5、 12、13； 8、 15、17； 7、 24、25； 9、 40、41.勾股數(shù)的規(guī)律 （1）（3，4，5）,（6，8，10）3n,4n,5n(n是正整數(shù)) 4、常見平方數(shù)121112?；144122?；169132?；196142?；225152?；256162?289172?；324182?；361192?；400202?；441212?；484222?529232?；576242?；625252?；676262?；729272? 5、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【知識鏈接】 一、直角三角形的定義有一個角為90度的三角形，就是直角三角形。 二、直角三角形的性質(zhì) （1）直角三角形兩個銳角互余； （2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； （3）在直角三角形中，如果有一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； （4）在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30； （5）在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2=c2.（勾股定理） （6）（h為斜邊上的高），外接圓半徑斜邊上的中線，內(nèi)切圓半徑 三、直角三角形的判定 （1）有一個角為90； （2）一邊上的中線等于這邊的一半； （3）若a2b2=c2，則以a、b、c為邊的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理） 四、直角三角形全等判定SSS、SAS、ASA、HL100以內(nèi)的勾股數(shù)a?+b?=c?（a表三短的直角邊，叫勾，b表三較長的直角邊，叫股，C表示斜邊，叫弦。 ）3較短直角邊a的平方，拆成另一直角邊b和斜邊c的和。 （即a?=b+c且a為奇數(shù)）把a的一半的平方分成減1和加1，即a=2n,b=n?-1=?2a?-1,c=n?+1=?2a?+1通式m?-n?,2mn,m?+n?(m、n均是正整數(shù)，mn)m?-n?=(m+n)(m-n)為奇數(shù)m?+n?=(m+n)?-2mn為奇數(shù)m?-n?、2mn為直角邊，m?+n?為斜邊3?=4+5互質(zhì)a=3，b=4，c=5a為偶數(shù)m偶n奇m=2,n=1a=3,b=4,c=5派生2a=6，b=8，c=103?-1=8(n=3)3?+1=10a=6,b=8,c=103a=9，b=12，c=154?-1=15(n=4)4?+1=17a=8,b=15,c=17m偶n奇m=4,n=1b=15,a=8,c=174a=12，b=16，c=20派生2a=16,b=30,c=34m奇n偶m=5,n=2b=21,a=20,c=295a=15，b=20，c=253a=24,b=45,c=51派生2b=42,a=40,c=586a=18，b=24，c=304a=32,b=60,c=683b=63,a=60,c=877a=21，b=28，c=355a=40,b=75,c=85m奇n偶m=7,n=2b=45,a=28,c=538a=24，b=32，c=40m奇n偶m=9,n=2b=77,a=36,c=859a=27，b=36，c=45m奇n偶m=7,n=4a=33,b=56,c=6510a=30，b=40，c=50m奇n偶m=9,n=4a=65,b=72,c=9711a=33，b=44，c=55m奇n偶m=7,n=6a=13,b=84,c=8512a=36，b=48，c=60奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)又斜邊m?+n?=(m+n)?-2mn直角邊2mn為偶數(shù)直角邊m?-n?=(m+n)(m-n)三邊不能同偶，同偶基本勾股數(shù)就不互質(zhì)了，即m+n偶數(shù)m、n不能同奇數(shù)、不能同偶m、n為一奇一偶13a=39，b=52，c=6514a=42，b=56，c=7015a=45，b=60，c=7516a=48，b=64，c=8017a=51，b=68，c=8518a=54，b=72，c=9019a=57，b=76，c=954較短直角邊a的平方，拆成另一直角邊b和斜邊c的和。 （即a?=b+c且a為奇數(shù)）把a的一半的平方分成減1和加1，即a=2n,b=n?-1=?2a?-1,c=n?+1=?2a?+1通式m?-n?,2mn,m?+n?(m、n均是正整數(shù)，mn)m?-n?=(m+n)(m-n)為奇數(shù)m?+n?=(m+n)?-2mn為奇數(shù)m?-n?、2mn為直角邊，m?+n?為斜邊5?=12+13互質(zhì)a=5，b=12，c=13a為偶數(shù)m奇n偶m=3,n=2a=5,b=12,c=13派生2a=10，b=24，c=265?-1=24(n=5)5?+1=25a=10,b=24,c=263a=15，b=36，c=39派生2a=20,b=48,c=524a=20，b=48，c=523a=30,b=72,c=785a=25，b=60，c=656?-1=35(n=6)6?+1=37a=12,b=35,c=37m偶n奇m=6,n=1b=35,a=12,c=376a=30，b=72，c=78派生2a=24,b=70,c=747a=35，b=84，c=917?=24+25互質(zhì)a=7，b=24，c=25m偶n奇m=4,n=3a=7,b=24,c=25派生2a=14，b=48，c=507?-1=48(n=7)7?+1=50a=14,b=48,c=503a=21，b=72，c=75派生2a=28,b=96,c=1004a=28，b=96，c=1008?-1=63(n=8)8?+1=65a=16,b=63,c=65m偶n奇m=8,n=1b=63,a=16,c=659?=40+41互質(zhì)a=9，b=40，c=41m奇n偶m=5,n=4a=9,b=40,c=41派生2a=18，b=80，c=829?-1=80(n=9)9?+1=82a=18,b=80,c=8211?=