高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析

高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。 特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。 本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。 類型1解法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知數(shù)列滿足，求。 解由條件知分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，變式:（xx，全國(guó)I，個(gè)理22本小題滿分14分）已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,.（I）求a3,a5；（II）求a n的通項(xiàng)公式.解，即，將以上k個(gè)式子相加，得將代入，得，。 經(jīng)檢驗(yàn)也適合，類型2解法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例1:已知數(shù)列滿足，求。 解由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例2:已知，求。 解。 例3:（xx，全國(guó)I,理15）已知數(shù)列a n，滿足a1=1，(n2)，則a n的通項(xiàng)解由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，即，又，將以上n個(gè)式子相乘，得類型3（其中p，q均為常數(shù)，）。 解法（待定系數(shù)法）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 例1:已知數(shù)列中，求.解設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.例2:（xx，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_（key:）例3:（xx.福建.理22.）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列b n滿足證明數(shù)列b n是等差數(shù)列；（）證明（I）解是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列即（II）證法一，得即，得即是等差數(shù)列證法二同證法一，得，令得設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 （1）當(dāng)時(shí)，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，那么這就是說，當(dāng)時(shí)，等式也成立根據(jù) （1）和 （2），可知對(duì)任何都成立是等差數(shù)列（III）證明變式:遞推式。 解法只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異類型4（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q,r均為常數(shù)）。 解法一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得引入輔助數(shù)列（其中），得再待定系數(shù)法解決。 例1:已知數(shù)列中，,，求。 解在兩邊乘以得令，則,解之得所以例2:（xx，全國(guó)I,理22）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明解（I）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，利用（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q,r均為常數(shù)）的方法，解之得()將代入得S n=(4n2n)2n+1+=(2n+11)(2n+12)=(2n+11)(2n1)T n=()所以,=)=() 解法一(待定系數(shù)法)先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)這是新補(bǔ)充的方法，僅供學(xué)有余力的同學(xué)用對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。 若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。 解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 由，得，且，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。 把代入，得，。 把以上各式相加，得。 解法二（特征根法）補(bǔ)充的方法，供學(xué)有余力的同學(xué)看數(shù)列，的特征方程是。 ,。 又由，于是故例1:已知數(shù)列中，,，求。 解由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。 例2:（xx，福建,文,22）已知數(shù)列滿足（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列（I）證明是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（II）解由（I）得（III）證明，得即，得即是等差數(shù)列類型6遞推公式為與的關(guān)系式。 (或)解法這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。 例1已知數(shù)列前n項(xiàng)和. （1）求與的關(guān)系； （2）求通項(xiàng)公式.解 （1）由得于是所以. （2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以例2:（xx，陜西,理,20)已知正項(xiàng)數(shù)列a n，其前n項(xiàng)和S n滿足10S n=a n2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列a n的通項(xiàng)a n解:10S n=a n2+5an+6，10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10S n1=a n12+5an1+6(n2)，由得10a n=(a n2an12)+6(ana n1)，即(a n+a n1)(a na n15)=0a n+a n10，a na n1=5(n2)當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時(shí)，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，a n=5n3例3:(xx,江西,文,22）已知數(shù)列a n的前n項(xiàng)和S n滿足S nS n2=3求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式.解，兩邊同乘以，可得令又，。 類型7解法這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。 例1:設(shè)數(shù)列，求.解設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明 （1）若為的二次式，則可設(shè); (2)本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例2:（xx，山東,文,22,）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3()令()求數(shù)列()設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在,則說明理由。 解（）由已知得又是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列（II）由（I）知，將以上各式相加得（III）解法一存在，使數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列解法二存在，使數(shù)列是等差數(shù)列由（=1*ROMAN I）、（=2*ROMAN II）知，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列。 類型8解法這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。 例1已知數(shù)列中，求數(shù)列解由兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得。 例2:（xx，江西,理,21）已知數(shù)列 （1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a n.解用數(shù)學(xué)歸納法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明 （1）方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)n=1時(shí)，命題正確.2假設(shè)n=k時(shí)有則而又時(shí)命題正確.由1、2知，對(duì)一切nN時(shí)有方法二用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)n=1時(shí)，；2假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有即也即當(dāng)n=k+1時(shí)成立，所以對(duì)一切 （2）解法一所以,又b n=1，所以解法二由（I）知，兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，令,則或例3:（xx,山東,理,22）已知a1=2，點(diǎn)(a n,a n+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（）證明數(shù)列l(wèi)g(1+a n)是等比數(shù)列；（）設(shè)T n=(1+a1)(1+a2)(1+a n)，求T n及數(shù)列a n的通項(xiàng)；（）記b n=，求b n數(shù)列的前項(xiàng)和S n，并證明S n+=1解（）由已知，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列（）由（）知（*）=由（*）式得（），又，由得，又，類型9解法這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。 例1已知數(shù)列a n滿足，求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式。 解取倒數(shù)是等差數(shù)列，例2:（xx，江西,理,22,）（此題較難，涉及到數(shù)列，不等式的放縮法，數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真研究，體會(huì)）已知數(shù)列a n滿足a1，且a n （1）求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式； （2）證明對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2a n2n！解 （1）將條件變?yōu)?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得a n（n1）1 （2）證據(jù)1得，a1a2a n為證a1a2a n2顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)nN*，有31（）3用數(shù)學(xué)歸納法證明3式（i）n1時(shí)，3式顯然成立，（ii）設(shè)nk時(shí)，3式成立，即31（）則當(dāng)nk1時(shí)，31（）（）1（）（）1（）即當(dāng)nk1時(shí)，3式也成立故對(duì)一切n?N*，3式都成立利用3得，31（）11故2式成立，從而結(jié)論成立類型10（下面介紹的方法供學(xué)習(xí)程度較高，且有余力的同學(xué)參考用）解法如果數(shù)列滿足下列條件已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。 例1已知數(shù)列滿足性質(zhì)對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.解:數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第 （2）部分，則有即例2已知數(shù)列滿足對(duì)于都有 （1）若求 （2）若求 （3）若求 （4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列不存在？解作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根依定理2的第 （1）部分解答. (1)對(duì)于都有 (2)令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)4，時(shí)，. (3)令則對(duì)于 (4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第 （1）小題的解答過程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且2.當(dāng)（其中且N2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在.于是知當(dāng)在集合或且2上取值時(shí)，無窮數(shù)列都不存在.例3:（xx，重慶,文,22,）數(shù)列記（）求b 1、b 2、b 3、b4的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和解法一由已知,得,其特征方程為解之得,或,解法二（I）（II）因，故猜想因，（否則將代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾）故的等比數(shù)列.,解法三（）由得（）由所以解法四（）同解法一（）從而類型11或解法這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。 例（I）在數(shù)列中，求（II）在數(shù)列中，求類型12歸納猜想法解法數(shù)學(xué)歸納法例1:（xx，全國(guó)II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為S n，且方程x2an xa n0有一根為S n1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）a n的通項(xiàng)公式提示:1.為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式可得2.求出等,可猜想并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，本題主要考察一般數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式間的關(guān)系3.方程的根的意義(根代入方程成立)4.數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式(也可以把分開為,可得解()當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2()由題設(shè)(S n1)2an(S n1)a n0，即S n22Sn1a nS n0當(dāng)n2時(shí)，a nS nS n1，代入上式得S n1S n2S n10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想S n，n1，2，3，8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)n1時(shí)已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即S k，當(dāng)nk1時(shí)，由得S k1，即S k1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知S n對(duì)所有正整數(shù)n都成立10分于是當(dāng)n2時(shí)，a nS nS n1，又n1時(shí)，a