高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.3二倍角的三角函數(shù)教案北師大版.docx

1.3 二倍角的三角函數(shù)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 “二倍角的三角函數(shù)”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的，它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具.通過對(duì)二倍角的推導(dǎo)知道，二倍角的內(nèi)涵是：揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律.通過推導(dǎo)還讓學(xué)生加深理解了高中數(shù)學(xué)由一般到特殊的化歸思想.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義. 本節(jié)課通過教師提出問題、設(shè)置情境及對(duì)和角公式中,關(guān)系的特殊情形=時(shí)的簡化，讓學(xué)生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系，同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會(huì)由一般到特殊的化歸思想.這一切教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去做,因?yàn)閿?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：“要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在具體情境中初步認(rèn)識(shí)對(duì)象的特征，獲得一些體驗(yàn)”. 在實(shí)際教學(xué)過程中不要過多地補(bǔ)充一些高技巧、高難度的練習(xí)，更不要再補(bǔ)充一些較為復(fù)雜的積化和差或和差化積的恒等變換，教材上把積化和差公式放在了習(xí)題上處理.三維目標(biāo)1.通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)二倍角公式,了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對(duì)二倍角公式的理解，培養(yǎng)運(yùn)算能力及邏輯推理能力,從而提高解決問題的能力.2.通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡、恒等證明.體會(huì)化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用.使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：二倍角公式推導(dǎo)及其應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)：如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進(jìn)行三角式化簡、求值、證明恒等式.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)請(qǐng)學(xué)生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學(xué)生默寫這六個(gè)公式.教師引導(dǎo)學(xué)生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當(dāng)兩角相等時(shí),兩角之和便為此角的二倍,那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?今天,我們進(jìn)一步探討一下二倍角的問題，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，應(yīng)解決哪些問題呢？由此展開新課.思路2.(問題導(dǎo)入)出示問題，讓學(xué)生計(jì)算，若sin=,(,),求sin2，cos2的值.學(xué)生會(huì)很容易看出：sin2=sin(+)=sincos+cossin=2sincos的，以此展開新課，并由此展開聯(lián)想推出其他公式.推進(jìn)新課新知探究提出問題還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？(請(qǐng)學(xué)生默寫出來，并由一名學(xué)生到黑板默寫)你寫的這三個(gè)公式中角,會(huì)有特殊關(guān)系=嗎？此時(shí)公式變成什么形式？在得到的C2公式中，還有其他表示形式嗎？細(xì)心觀察二倍角公式結(jié)構(gòu)，有什么特征呢？能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？讓學(xué)生填空：老師隨機(jī)給出等號(hào)一邊括號(hào)內(nèi)的角，學(xué)生回答等號(hào)另一邊括號(hào)內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).思考過公式的逆用嗎？想一想C2還有哪些變形？請(qǐng)思考以下問題：sin2=2sin嗎？cos2=2cos嗎？tan2=2tan嗎？活動(dòng)：問題,學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學(xué)生注意公式中的,，既然可以是任意角，怎么任意的？你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵(lì)學(xué)生大膽試一試.如果學(xué)生想到,會(huì)有相等這個(gè)特殊情況，教師就此進(jìn)入下一個(gè)問題，如果學(xué)生沒想到這種特殊情況，教師適當(dāng)點(diǎn)撥進(jìn)入問題，然后找一名學(xué)生到黑板進(jìn)行簡化，其他學(xué)生在自己的坐位上簡化.教師再與學(xué)生一起集體訂正黑板上的書寫，最后學(xué)生都不難得出以下式子，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試一下，對(duì)得出的結(jié)論給出解釋.這個(gè)過程教師要舍得花時(shí)間，充分地讓學(xué)生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意義.同時(shí)開拓學(xué)生的思維空間，為學(xué)生將來遇到的3或3等角的探究附設(shè)類比聯(lián)想的源泉.sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos（S2）;cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2(C2);tan(+)=(T2).這時(shí)教師適時(shí)地向?qū)W生指出，我們把這三個(gè)公式分別叫作二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角”.教師適時(shí)提出問題，點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合sin2+cos2=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式.這時(shí)教師點(diǎn)出，這些公式都叫作倍角公式（用多媒體演示）.倍角公式給出了的三角函數(shù)與2的三角函數(shù)之間的關(guān)系.問題,教師指導(dǎo)學(xué)生，這組公式用途很廣，并與學(xué)生一起觀察公式的特征，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2的三角函數(shù)的一次式，右邊是的三角函數(shù)的二次式，即左到右升冪縮角，右到左降冪擴(kuò)角.二倍角的正弦是單項(xiàng)式，余弦是多項(xiàng)式，正切是分式.問題,因?yàn)檫€沒有應(yīng)用，對(duì)公式中的含義學(xué)生可能還理解不到位，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并初步感性認(rèn)識(shí)到：()這里的“倍角”專指“二倍角”,遇到“三倍角”等名詞時(shí),“三”字等不可省去；()通過二倍角公式,可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)；()二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；()公式(S2),(C2)中的角沒有限制，都是R.但公式(T2)需在+和k+(kZ)時(shí)才成立，這一條件限制要引起學(xué)生的注意.但是當(dāng)=k+,kZ時(shí),雖然tan不存在,此時(shí)不能用此公式，但tan2是存在的,故可改用誘導(dǎo)公式.問題,填空是為了讓學(xué)生明了二倍角的相對(duì)性，即二倍角公式不僅限于2是的二倍的形式,其他如4是2的二倍,是的二倍,3是的二倍,是的二倍，-是-的二倍等,所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等.問題,本組公式的靈活運(yùn)用還在于它的逆用以及它的變形用，這點(diǎn)教師更要提醒學(xué)生引起足夠的注意.如:sin3cos3=sin6，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80，cos22-sin22=cos4，2tan=tan2(1-tan2)等等.問題,一般情況下:sin22sin,cos22cos,tan22tan.若sin2=2sin,則2sincos=2sin,即sin=0或cos=1,此時(shí)=k(kZ).若cos2=2cos,則2cos2-2cos-1=0,即cos=(cos=舍去).若tan2=2tan,則2tan,tan=0.結(jié)合tan1,=k(kZ).解答：（略）.應(yīng)用示例思路1例1 已知tan=,求tan2的值.解:tan2=.例2 設(shè)是第二象限角,已知cos=-0.6,求sin2,cos2和tan2的值.解:因?yàn)槭堑诙笙藿?所以sin0,tan0.由于cos=-0.6,故sin=0.8.可得sin2=2sincos=-0.96,cos2=2cos2-1=2(-0.6)2-1=-0.28,tan2=.例3 在ABC中,已知AB=AC=2BC(如圖1),求角A的正弦值.圖1解:作ADBC于D,設(shè)BAD=,那么A=2.因?yàn)锽D=BC=AB,所以sin=.因?yàn)?2,所以0,于是cos=,故sinA=sin2=.4.要把半徑為R的半圓形木料截成長方形(如圖2),應(yīng)怎樣截取,才能使長方形面積最大?圖2解:如圖2,設(shè)圓心為O,長方形面積為S,AOB=,則AB=Rsin,OB=Rcos,S=(Rsin)2(Rcos)=2R2sincos=R2sin2.當(dāng)sin2取最大值,即sin2=1時(shí),截面面積最大.不難推出=時(shí),長方形截面面積最大,最大截面面積等于R2.例5 已知sin2=,求sin4,cos4,tan4的值.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)，注意二倍角公式的選用，領(lǐng)悟“倍角”是相對(duì)的這一換元思想.讓學(xué)生體會(huì)“倍”的深刻含義，它是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的.本題中的已知條件給出了2的正弦值.由于4是2的二倍角,因此可以考慮用倍角公式.本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉二倍角的應(yīng)用，理解二倍角的相對(duì)性，教師大膽放手，可讓學(xué)生自己獨(dú)立探究完成.解:由,得2.又sin2=,cos2=-=-=-.于是sin4=sin2(2)=2sin2cos2=2(-)=-;cos4=cos2(2)=1-2sin22=1-2()2=;tan4=(-)=-.點(diǎn)評(píng)：學(xué)生由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法，但要提醒學(xué)生注意,在解題時(shí)注意優(yōu)化問題的解答過程，使問題的解答簡捷、巧妙,規(guī)范，并達(dá)到熟練掌握的程度.本節(jié)公式的基本應(yīng)用是高考的熱點(diǎn).變式訓(xùn)練1.不查表,求值:sin15+cos15.解:原式=.點(diǎn)評(píng)：本題在兩角和與差的學(xué)習(xí)中已經(jīng)解決過，現(xiàn)用二倍角公式給出另外的解法，讓學(xué)生體會(huì)它們之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)變化的魅力.2.(2007高考海南,寧夏卷,9)若,則cos+sin的值為( )A.- B.- C. D.答案:C3.(2007高考重慶卷,6)下列各式中,值為的是( )A.2sin15-cos15 B.cos215-sin215C.2sin215-1 D.sin215+cos215答案:B例6 證明=tan.活動(dòng)：教師先讓學(xué)生思考一會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮聰明才智，戰(zhàn)勝它，并力爭一題多解.教師可點(diǎn)撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時(shí)幾種方法會(huì)同時(shí)使用等.對(duì)找不到思考方向的學(xué)生，教師點(diǎn)出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時(shí)引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)曾用到“1”的代換，對(duì)“1”的妙用大家深有體會(huì)，這里可否在“1”上做做文章？待學(xué)生探究解決方法后，可找?guī)讉€(gè)學(xué)生到黑板書寫解答過程，以便對(duì)照點(diǎn)評(píng)給學(xué)生以啟發(fā).點(diǎn)評(píng)時(shí)對(duì)能夠善于運(yùn)用所學(xué)的新知識(shí)解決問題的學(xué)生給予贊揚(yáng)；對(duì)暫時(shí)找不到思路的學(xué)生給予點(diǎn)撥,鼓勵(lì).強(qiáng)調(diào)“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過程中就會(huì)起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中，萬萬不要忽視它.證明:方法一:左邊=tan=右邊,所以,原式成立.方法二:左邊=右邊.所以，原式成立.方法三:左邊=tan=右邊.所以，原式成立.點(diǎn)評(píng)：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復(fù)雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角，這是我們今天剛剛學(xué)習(xí)的；第三，證題中注意對(duì)數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谔骄恐凶屑?xì)體會(huì)這點(diǎn).在這道題中通常用的幾種方法都用到了，不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)范才是.思路2例1 求sin10sin30sin50sin70的值.活動(dòng)：本例是一道靈活應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，但也是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一道好題.本題需要公式的逆用，逆用公式的先決條件是認(rèn)識(shí)公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開，正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運(yùn)用公式.教學(xué)中教師可讓學(xué)生充分進(jìn)行討論探究，不要輕易告訴學(xué)生解法，可適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生需要做怎樣的變化，又需怎樣應(yīng)用二倍角公式,并點(diǎn)撥學(xué)生結(jié)合誘導(dǎo)公式思考.學(xué)生經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導(dǎo)公式把10，30，50，70正弦的積化為20,40,60,80余弦的積,其中60是特殊角,很容易發(fā)現(xiàn)40是20的2倍,80是40的2倍,故可考慮逆用二倍角公式.解:原式=cos80cos60cos40cos20=.點(diǎn)評(píng)：二倍角公式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，又是解答許多數(shù)學(xué)問題的重要模型和工具，具有靈活多變，技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)，要注意在訓(xùn)練中細(xì)心體會(huì)其變化規(guī)律.例2 在ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.活動(dòng)：這是本節(jié)課本上最后一個(gè)例題，結(jié)合三角形，具有一定的綜合性,同時(shí)也是和與差公式的應(yīng)用問題.教師可引導(dǎo)學(xué)生注意在三角形的背景下研究問題,會(huì)帶來一些隱含的條件,如A+B+C=,0A,0B,0C,就是其中的一個(gè)隱含條件.可先讓學(xué)生討論探究，教師適時(shí)點(diǎn)撥.學(xué)生探究解法時(shí)教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系.由于對(duì)2A+2B與A,B之間關(guān)系的看法不同會(huì)產(chǎn)生不同的解題思路,所以學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的解法，不過它們都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用，本質(zhì)上沒有區(qū)別.不論學(xué)生的解答正確與否，教師都不要直接干預(yù).在學(xué)生自己嘗試解決問題后,教師可與學(xué)生一起比較各種不同的解法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的歸納總結(jié).基礎(chǔ)較好的班級(jí)還可以把求tan(2A+2B)的值改為求tan2C的值.解：方法一:在ABC中,由cosA=,0A,得sinA=.所以tanA=,tanA=,又tanB=2,所以tan2B=.于是tan(2A+2B)=.方法二:在ABC中,由cosA=,0A,得sinA=.所以tanA=.又tanB=2,所以tan(A+B)=.于是tan(2A+2B)=tan2(A+B)=.點(diǎn)評(píng)：以上兩種方法都是對(duì)倍角公式、和角公式的聯(lián)合運(yùn)用,本質(zhì)上沒有區(qū)別,其目的是為了鼓勵(lì)學(xué)生用不同的思路去思考,以拓展學(xué)生的視野.變式訓(xùn)練1.(2007廣東東莞)設(shè)向量a=(cos,)的模為,則cos2等于( )A.- B.- C. D.解析:由|a|=,得cos2+=,cos2=,cos2=2cos2-1=2-1=-.答案:B2.化簡：.解：原式=cot2.知能訓(xùn)練(2007四川卷,17)已知cos=,cos(-)=,且0,(1)求tan2的值;(2)求.解:(1)由cos=,0,得sin=.tan=.于是tan2=(2)由0,得0-.又cos(-)=,sin(-)=.由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=+.=.點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角恒等變形的主要基本公式,三角函數(shù)值的符號(hào),已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力.作業(yè)課本習(xí)題32 A組14.課題小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了什么？有哪些收獲？對(duì)前面學(xué)過的兩角和公式有什么新的認(rèn)識(shí)？對(duì)三角函數(shù)式子的變化有什么新的認(rèn)識(shí)？怎樣用二倍角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明.2.教師畫龍點(diǎn)睛：本節(jié)課要理解并掌握二倍角公式及其推導(dǎo)，明白從一般到特殊的思想，并要正確熟練地運(yùn)用二倍角公式解題.在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，一個(gè)題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達(dá)到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的.設(shè)計(jì)感想1.新課改的核心理念是：以學(xué)生發(fā)展為本.本節(jié)課的設(shè)計(jì)流程從回顧探索應(yīng)用，充分體現(xiàn)了“學(xué)生主體、主動(dòng)探索、培養(yǎng)能力”的新課改理念，體現(xiàn)“活動(dòng)、開放、綜合”的創(chuàng)新教學(xué)模式.本節(jié)在學(xué)生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在這個(gè)活動(dòng)過程中，由一般化歸為特殊的基本數(shù)學(xué)思想方法就深深地留在了學(xué)生記憶中.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)流程還是比較流暢的.2.縱觀本教案的設(shè)計(jì)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二倍角后就是應(yīng)用，至于如何訓(xùn)練二倍角公式正用，逆用，變形用倒成了次要的了.而學(xué)生從探究活動(dòng)過程中學(xué)會(huì)了怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，又發(fā)現(xiàn)了怎樣逆用公式及活用公式，那才是深層的，那才是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教育的最終目的.3.教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心，會(huì)學(xué)是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的推理特點(diǎn)，本節(jié)主要是教給學(xué)生“回顧公式、探索特殊情形、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推導(dǎo)公式、學(xué)習(xí)應(yīng)用”的探索創(chuàng)新式學(xué)習(xí)方法.這樣做增加了學(xué)生溫故知新的空間，增強(qiáng)了學(xué)生的參與意識(shí)，教給了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo),獲取新知的途徑，讓學(xué)生真正嘗試到探索的喜悅，真正成為教學(xué)的主體.學(xué)生會(huì)體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，產(chǎn)生一種成功感，從而提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一，三角函數(shù)主要有以下三個(gè)基本的恒等變換：代數(shù)變換,公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經(jīng)利用倍角公式進(jìn)行了簡單的化簡,求值及解決實(shí)際問題，本節(jié)將利用二倍角公式的逆用推導(dǎo)出半角公式,并用它來解決一些三角函數(shù)式的化簡,求值等.思路2.先讓學(xué)生寫出上節(jié)課學(xué)習(xí)的二倍角公式,接著出示課本例5讓學(xué)生探究,由此展開新課.推進(jìn)新課新知探究提出問題與有什么關(guān)系?如何建立cos與sin2之間的關(guān)系？sin2=，cos2=，tan2=這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)？通過上面的三個(gè)問題，你能感覺到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎?活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2,將公式中的用代替,解出sin2即可.教師對(duì)學(xué)生的討論進(jìn)行提問，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：是的二倍角.在倍角公式cos2=1-2sin2中,以代替2,以代替,即得cos=1-2sin2,所以sin2=在倍角公式cos2=2cos2-1中,以代替2,以代替,即得cos=2cos2-1,所以cos2=.將兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除,即得tan2=又根據(jù)正切函數(shù)的定義,得到tan;tan.這樣我們就得到另外兩個(gè)公式:tan;tan.以上我們得到的五個(gè)有關(guān)半角三角函數(shù)的公式,稱之為半角公式.在這些公式中,根號(hào)前面的符號(hào)由所在象限相應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)確定,如果所在象限無法確定,則應(yīng)保留根號(hào)前面的正,負(fù)兩個(gè)符號(hào).教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的式，可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點(diǎn)：(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù);(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的). 教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn),并告訴學(xué)生這些特點(diǎn)在三角恒等變形中將經(jīng)常用到.提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意.同時(shí)還要強(qiáng)調(diào),本例的結(jié)果還可表示為:sin=,cos=,tan=,并稱之為半角公式(不要求記憶),符號(hào)由所在象限決定. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異.因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個(gè)角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角恒等變換的重要特點(diǎn).代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換.討論結(jié)果：是的二倍角.sin2=.略(見活動(dòng)）.應(yīng)用示例思路1例1 已知cos=,求sin,cos,tan的值.活動(dòng)：此題考查半角公式的應(yīng)用，利用半角公式進(jìn)行化簡解題.教師提醒學(xué)生注意半角公式和倍角公式的區(qū)別，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系.解:sin=,cos=,tan=.點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)基本知識(shí)的考查，重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)系.變式訓(xùn)練(2005北京東城)已知為第二象限角,sin(-)=,則cos的值為( )A. B. C. D.解析:sin(-)=sin=.又為第二象限角,cos=-,cos=2cos2-1,而在第一,三象限,cos=.答案:C例2 已知sin2=-,2,求tan.解:因?yàn)?,故,是2的一半,運(yùn)用半角公式,有cos2=-,所以tan=.例3 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用立方差公式進(jìn)行對(duì)公式變換化簡，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a3-b=(a-b)=+3ab(a-b).解完此題后,教師引導(dǎo)學(xué)生深挖本例的思想方法,由sinxcosx與sinxcosx之間的轉(zhuǎn)化,提升學(xué)生的運(yùn)算,化簡能力及整體代換思想.本題也可直接應(yīng)用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法往往適用于sin3xcos3x的化簡問題之中.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,sinxcosx=.sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是公式的變形、化簡、求值,注意公式的靈活運(yùn)用和化簡的方法.變式訓(xùn)練(2007高考浙江卷,12) 已知sin+cos=,且,則cos2的值是_.答案:-例4 已知=1,求證:=1.活動(dòng)：此題可從多個(gè)角度進(jìn)行探究,由于所給的條件等式與所要證明的等式形式一致,只是將A,B的位置互換了,因此應(yīng)從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方關(guān)系來減少函數(shù)的種類.從結(jié)構(gòu)上看,已知條件是a2+b2=1的形式,可利用三角代換.證法一:=1,cos4Asin2B+sin4Acos2B=sin2Bcos2B.cos4A(1-cos2B)+sin4Acos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.(cos2A-cos2B)2=0.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.=cos2B+sin2B=1.證法二:令=cos,=sin,則cos2A=cosBcos,sin2A=sinBsin.兩式相加,得1=cosBcos+sinBsin,即cos(B-)=1.B-=2k(kZ),即B=2k+(kZ).cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcos=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.=cos2B+sin2B=1.點(diǎn)評(píng):要善于從不同的角度來觀察問題,本例從角與函數(shù)的種類兩方面觀察,利用平方關(guān)系進(jìn)行了合理消元.變式訓(xùn)練在銳角ABC中,A,B,C是它的三個(gè)內(nèi)角,記S=,求證:S1.證明:S=又A+B90,90A90-B0.tanAtan(90-B)=cotB0.tanAtanB1.S1.思路2例1 已知sin2 010=-,求sin1 005,cos1 005,tan1 005的值.解:因?yàn)? 010=5360+210是第三象限的角,所以cos2 010=-.又1 005=2360+285是第四象限的角,所以sin1 005=-,cos1 005=,tan1 005=.例2 證明=tan().活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對(duì)于三角恒等式的證明，可從三個(gè)角度進(jìn)行推導(dǎo)：左邊右邊；右邊左邊；左邊中間條件右邊.教師可以鼓勵(lì)學(xué)生試著多角度的化簡推導(dǎo).注意式子左邊包含的角為x,三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切.解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan()=,由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以cos+sin,得.方法二：從左邊入手，分子分母運(yùn)用二倍角公式的變形，降倍升冪，得.由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得點(diǎn)評(píng)：本題考查的是半角公式的靈活運(yùn)用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓(xùn)練已知,(0,)且滿足:3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0,求+2的值.解法一:3sin2+2sin2=13sin2=1-2sin2,即3sin2=cos2,3sin2-2sin2=03sincos=sin2,2+2,得9sin4+9sin2cos2=1,即9sin2(sin2+cos2)=1,sin2=(0,),sin=.sin(+2)=sincos2+cossin2=sin3sin2+cos3sincos=3sin(sin2+cos2)=3=1.,(0,),+2(0,).+2=.解法二:3sin2+2sin2=1cos2=1-2sin2=3sin2,3sin2-2sin2=0sin2=sin2=3sincos,cos(+2)=coscos2-sinsin2=cos3sin2-sin3sincos=0.,(0,),+2(0,).+2=.解法三:由已知3sin2=cos2,sin2=sin2,兩式相除,得tan=cot2,tan=tan(-2).(0,),tan0.tan(-2)0.又(0,),-2.結(jié)合tan(-2)0,得0-2.由tan=tan(-2),得=-2,即+2=.例3 求證:.活動(dòng)：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法.證明:證法一:左邊=1-=右邊.原式成立.證法二:右邊=1-=左邊.原式成立.點(diǎn)評(píng)：此題