（新課標）2020版高考數(shù)學總復習 第四章 第八節(jié) 正弦定理和余弦定理的實際應用練習 文 新人教A版.docx

第八節(jié)正弦定理和余弦定理的實際應用A組基礎題組1.已知A、B兩地間的距離為10 km,B、C兩地間的距離為20 km,現(xiàn)測得ABC=120,則A,C兩地間的距離為()A.10 kmB.103 kmC.105 kmD.107 km答案D如圖所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-21020cos 120=700,所以AC=107(km).2.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案C如圖,ACD=30,ABD=75,AD=60 m,在RtACD中,CD=ADtanACD=60tan30=603 m,在RtABD中,BD=ADtanABD=60tan75=602+3=60(2-3)m,BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)m.3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點間的距離是()A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里答案A如圖所示,易知在ABC中,AB=20海里,CAB=30,ACB=45,根據(jù)正弦定理得BCsin30=ABsin45,解得BC=102海里.4.地面上有兩座相距120 m的塔,在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫?在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?,且在兩塔底連線的中點O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?則兩塔的高度分別為()A.50 m,100 mB.40 m,90 mC.40 m,50 mD.30 m,40 m答案B設高塔高H m,矮塔高h m,在O點望高塔塔頂?shù)难鼋菫?則tan =H120,tan 2=h120,根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有H120=2h1201-h1202.因為在兩塔底連線的中點O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?所以在O點望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?-.由tan =H60,tan2-=h60,得H60=60h.聯(lián)立解得H=90,h=40.即兩座塔的高度分別為40 m,90 m.5.如圖所示,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得BCD=15,BDC=30,CD=30,并在點C測得塔頂A的仰角為60,則塔高AB等于()A.56B.153C.52D.156答案D在BCD中,CBD=180-15-30=135.由正弦定理得BCsin30=CDsin135,所以BC=152.在RtABC中,AB=BCtanACB=1523=156.故選D.6.一船自西向東勻速航行,上午10時到達燈塔P的南偏西75,距燈塔68海里的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度為海里/小時.答案1762解析如圖,由題意知MPN=75+45=120,PNM=45.在PMN中,MNsin120=PMsin45,MN=683222=346海里.又由M到N所用的時間為14-10=4小時,此船的航行速度v=3464=1762海里/小時.7.江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面上,在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺底部所連的線成30角,則兩條船相距m.答案103解析由題意畫示意圖,如圖,OM=AOtan 45=30(m),ON=AOtan 30=3330=103(m),在MON中,由余弦定理得,MN=900+300-23010332=300=103(m).8.如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角,在山坡的A處測得DAC=15,沿山坡前進50 m到達B處,又測得DBC=45,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos =.答案3-1解析由DAC=15,DBC=45可得BDA=30,DBA=135,BDC=90-(15+)-30=45-,由三角形內(nèi)角和定理可得DCB=180-(45-)-45=90+,在ABD中,根據(jù)正弦定理可得50sin30=DBsin15,即DB=100sin 15=100sin(45-30)=252(3-1),則在BCD中,由正弦定理得25sin45=252(3-1)sin(90+),即25sin45=252(3-1)cos,解得cos =3-1.9.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角MAN=60,C點的仰角CAB=45以及MAC=75,從C點測得MCA=60.已知山高BC=100 m,求山高MN.解析由題意得,AC=2BC=1002 m.在MAC中,CMA=180-75-60=45.由正弦定理得ACsin45=AMsin60AM=1003 m.在AMN中,MNAM=sin 60,所以MN=100332=150 m.10.如圖,在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲監(jiān)測點,B、C兩點到A的距離分別為20千米和50千米,某時刻,B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號,8秒后A、C同時接到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.(1)設A到P的距離為x千米,用x表示B、C到P的距離,并求x的值;(2)求P到海防警戒線AC的距離.解析(1)依題意,有PA=PC=x,PB=x-1.58=x-12.在PAB中,AB=20,cosPAB=PA2+AB2-PB22PAAB=x2+202-(x-12)22x20=3x+325x.同理,在PAC中,AC=50,cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=x2+502-x22x50=25x.因為cosPAB=cosPAC,所以3x+325x=25x,解得x=31.(2)作PDAC于點D(圖略).在ADP中,由cosPAD=2531,得sinPAD=1-cos2PAD=42131,所以PD=PAsinPAD=3142131=421.故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為421千米.B組提升題組1.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2 min,從D沿DC走到C用了3 min.若此人步行的速度為50 m/min,則該扇形的半徑的長度為()A.505 mB.507 mC.5011 mD.5019 m答案B設該扇形的半徑為r,連接CO.由題意,得CD=150(m),OD=100(m),CDO=60,在CDO中,由余弦定理得,CD2+OD2-CDODcos 60=OC2,即1502+1002-215010012=r2,解得r=507 m.2.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方的點A處測得水柱頂端的仰角為45,從點A向北偏東30方向前進100 m到達點B,在B點處測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m答案A如圖,設水柱高度是h m,水柱底端為C,則在ABC中,BAC=60,AC=h m,AB=100 m,BC=3h m,根據(jù)余弦定理得(3h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(舍負),故水柱的高度是50 m.3.已知臺風中心位于城市A東偏北(為銳角)度的150千米處,以v千米/小時沿正西方向快速移動,2.5小時后到達距城市A西偏北(為銳角)度的200千米處,若cos =34cos ,則v=.答案100解析示意圖如圖所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2200150cos(+),由正弦定理得150sin=200sin,所以sin =43sin .又cos =34cos ,sin2+cos2=1,解得sin =35,故cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入解得v=100.4.如圖所示,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃,要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).記AMN=.(1)將AN,AM用含的關系式表示出來;(2)如何設計(即AN,AM為多長時),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?解析(1)AMN=,在AMN中,由正弦定理,得MNsin60=ANsin=AMsin(120-),所以AN=433sin ,AM=433sin(120-).(2)AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP=163sin