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文檔簡介
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系培優(yōu)練習(xí)一、選擇題1. 關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為()A. 2B. 0C. 1D. 2或02. 若實數(shù)a,b(ab)分別滿足方程a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,則ba+ab的值為()A. 452B. 492C. 452或2D. 492或23. 關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正,關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正,給出三個結(jié)論:這兩個方程的根都負根;(m-1)2+(n-1)22;-12m-2n1,其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個二、解答題4. 如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個實數(shù)根,且其中一個根為另一個根的2倍,那么稱這樣的方程為“倍根方程”.例如,一元二次方程x2-6x+8=0的兩個根是2和4,則方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,則c= _ ;(2)若(x-2)(mx-n)=0(m0)是“倍根方程”,求代數(shù)式4m2-5mn+n2的值;(3)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)是“倍根方程”,求a,b,c之間的關(guān)系5. 已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0 (1)求證:方程有兩個實數(shù)根;(2)當(dāng)k為何值時,此方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù);(3)我們定義:若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數(shù)根x1、x2(x1x2),滿足2x1x20時,x1=1,x2=-1k0,不符合題意;當(dāng)-1k0時,x1=-1k,x2=1,2x1x22-1k3,解得-12k-13;當(dāng)k-1時,x1=-1k,x2=1,由2x1x23,得2-k3,解得-3k-2不符合題意舍去,綜上所述:于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有兩個“夢想根”,k的范圍是:-12k-13或-3k-2【解析】1. 解:設(shè)方程的兩根為x1,x2,根據(jù)題意得x1+x2=0,所以a2-2a=0,解得a=0或a=2,當(dāng)a=2時,方程化為x2+1=0,=-40,y1y2=2m0,y1+y2=-2n0,x1+x2=-2m0,這兩個方程的根都為負根,正確;由根判別式有:=b2-4ac=4m2-8n0,=b2-4ac=4n2-8m0,4m2-8n0,4n2-8m0,m2-2n0,n2-2m0,m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+22,(m-1)2+(n-1)22,正確;由根與系數(shù)關(guān)系可得2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1,由y1、y2均為負整數(shù),故(y1+1)(y2+1)0,故2m-2n-1,同理可得:2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1,得2n-2m-1,即2m-2n1,故正確故選:D根據(jù)題意,以及根與系數(shù)的關(guān)系,可知兩個整數(shù)根都是負數(shù);根據(jù)根的判別式,以及題意可以得出m2-2n0以及n2-2m0,進而得解;可以采用根與系數(shù)關(guān)系進行解答,據(jù)此即可得解本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系,以及一元二次方程的根的判別式,有一定的難度,注意總結(jié)4. 解:(1)一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,x1+x2=3,x1x2=c,即x1+2x1=3,2x12=c,c=2,故答案為:2;(2)解方程(x-2)(mx-n)=0(m0)得,x1=2,x2=nm方程兩根是2倍關(guān)系,x2=1,當(dāng)x2=1時,x2=nm=1,即m=n,代入代數(shù)式4m2-5mn+n2=0,當(dāng)x2=4時,x2=nm=4,即n=4m,代入代數(shù)式4m2-5mn+n2=0綜上所述,4m2-5mn+n2=0;(3)根據(jù)“倍根方程”的概念設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根為t和2t原方程可以改寫為a(x-t)(x-2t)=0,ax2+bx+c=ax2-3atx+2at2,c=2at2b=-3at解得2b2-9ac=0a,b,c之間的關(guān)系是2b2-9ac=0(1)由一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”,得到x1+2x1=3,2x12=c,即可得到結(jié)論;(2)解方程(x-2)(mx+n)=0(m0)得,x1=2,x2=nm.2由方程兩根是2倍關(guān)系,得到x2=1或43,代入解方程即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)“倍根方程”的概念得到原方程可以改寫為a(x-t)(x-2t)=06,解方程即可得到結(jié)論本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根時,x1+x2=-ba,x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程5. (1)根據(jù)方程的判別式,可得答案
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