【培優(yōu)練習(xí)】《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》（數(shù)學(xué)人教九上）.docx

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系培優(yōu)練習(xí)一、選擇題1. 關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則a的值為()A. 2B. 0C. 1D. 2或02. 若實(shí)數(shù)a，b(ab)分別滿(mǎn)足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，則ba+ab的值為()A. 452B. 492C. 452或2D. 492或23. 關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，給出三個(gè)結(jié)論：這兩個(gè)方程的根都負(fù)根；(m-1)2+(n-1)22；-12m-2n1，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)二、解答題4. 如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”.例如，一元二次方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根是2和4，則方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，則c= _ ；(2)若(x-2)(mx-n)=0(m0)是“倍根方程”，求代數(shù)式4m2-5mn+n2的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)是“倍根方程”，求a，b，c之間的關(guān)系5. 已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0 (1)求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；(3)我們定義：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1、x2(x1x2)，滿(mǎn)足2x1x20時(shí)，x1=1，x2=-1k0，不符合題意；當(dāng)-1k0時(shí)，x1=-1k，x2=1，2x1x22-1k3，解得-12k-13；當(dāng)k-1時(shí)，x1=-1k，x2=1，由2x1x23，得2-k3，解得-3k-2不符合題意舍去，綜上所述：于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有兩個(gè)“夢(mèng)想根”，k的范圍是：-12k-13或-3k-2【解析】1. 解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，根據(jù)題意得x1+x2=0，所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，當(dāng)a=2時(shí)，方程化為x2+1=0，=-40，y1y2=2m0，y1+y2=-2n0，x1+x2=-2m0，這兩個(gè)方程的根都為負(fù)根，正確；由根判別式有：=b2-4ac=4m2-8n0，=b2-4ac=4n2-8m0，4m2-8n0，4n2-8m0，m2-2n0，n2-2m0，m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+22，(m-1)2+(n-1)22，正確；由根與系數(shù)關(guān)系可得2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1，由y1、y2均為負(fù)整數(shù)，故(y1+1)(y2+1)0，故2m-2n-1，同理可得：2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1，得2n-2m-1，即2m-2n1，故正確故選：D根據(jù)題意，以及根與系數(shù)的關(guān)系，可知兩個(gè)整數(shù)根都是負(fù)數(shù)；根據(jù)根的判別式，以及題意可以得出m2-2n0以及n2-2m0，進(jìn)而得解；可以采用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答，據(jù)此即可得解本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的根的判別式，有一定的難度，注意總結(jié)4. 解：(1)一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，c=2，故答案為：2；(2)解方程(x-2)(mx-n)=0(m0)得，x1=2，x2=nm方程兩根是2倍關(guān)系，x2=1，當(dāng)x2=1時(shí)，x2=nm=1，即m=n，代入代數(shù)式4m2-5mn+n2=0，當(dāng)x2=4時(shí)，x2=nm=4，即n=4m，代入代數(shù)式4m2-5mn+n2=0綜上所述，4m2-5mn+n2=0；(3)根據(jù)“倍根方程”的概念設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根為t和2t原方程可以改寫(xiě)為a(x-t)(x-2t)=0，ax2+bx+c=ax2-3atx+2at2，c=2at2b=-3at解得2b2-9ac=0a，b，c之間的關(guān)系是2b2-9ac=0(1)由一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，得到x1+2x1=3，2x12=c，即可得到結(jié)論；(2)解方程(x-2)(mx+n)=0(m0)得，x1=2，x2=nm.2由方程兩根是2倍關(guān)系，得到x2=1或43，代入解方程即可得到結(jié)論；(3)根據(jù)“倍根方程”的概念得到原方程可以改寫(xiě)為a(x-t)(x-2t)=06，解方程即可得到結(jié)論本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程5. (1)根據(jù)方程的判別式，可得答案