三次函數(shù)與四次函數(shù).doc

三次函數(shù)與四次函數(shù)大連市紅旗高中 王金澤 在初中，已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，到了高中又系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和深化了二次函數(shù)，三次函數(shù)是繼二次函數(shù)后接觸的新的多項(xiàng)式函數(shù)類型，它是二次函數(shù)的發(fā)展，和二次函數(shù)類似也有“與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等類似問(wèn)題。三次函數(shù)是目前高考尤其是文科高考的熱點(diǎn)，不僅僅如此，通過(guò)深化對(duì)三次函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以解決四次函數(shù)問(wèn)題。2008年高考有多個(gè)省份出現(xiàn)了四次函數(shù)高考題，本文的目的就是，對(duì)三次函數(shù)做個(gè)重點(diǎn)的歸納，并且闡述在四次函數(shù)中的應(yīng)用第一部分：三次函數(shù)的圖象特征、以及與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（根的個(gè)數(shù)）、極值情況三 次 函 數(shù) 圖 象說(shuō) 明a對(duì)圖象的影響可以根據(jù)極限的思想去分析當(dāng)a0時(shí)，在+右向上 伸展，-左向下伸展。當(dāng)a0時(shí)，在+右向下伸展，-左向上伸展。(可以聯(lián)系二次函數(shù)a對(duì)開(kāi)口的影響去聯(lián)想三次函數(shù)右側(cè)伸展情況)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)若,且，既兩個(gè)極值異號(hào)；圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)與x軸有二個(gè)交點(diǎn) 若,且，既有一個(gè)極值為0，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)1。存在極值時(shí)即,且，既兩個(gè)極值同號(hào)，圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。2。不存在極值，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)圖象也與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。1.根的個(gè)數(shù)三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，二次函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為：=，(1) 若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2) 若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3) 若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4) 若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說(shuō)明(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與X軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）.(3)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且.(4)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與X軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且. 2.極值情況：三次函數(shù)（a0）,導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，二次函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為：=，(1) 若，則在上為增函數(shù)；(2) 若，則在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中. 證明：, =，(1) 當(dāng) 即時(shí)，在 R上恒成立， 即在為增函數(shù). (2) 當(dāng) 即時(shí)，解方程，得由得或，在和上為增函數(shù).由得，在上為減函數(shù).總結(jié)以上得到結(jié)論:三次函數(shù),(1) 若，則在R上無(wú)極值；(2) 若，則在R上有兩個(gè)極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.由此三次函數(shù)的極值要么一個(gè)也沒(méi)有，要么有兩個(gè)?！纠}1】：（2005全國(guó)二卷）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求的極值；（）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)解：（I） 若，則當(dāng)x變化時(shí)，變化情況如下表：x100極大值極小值 所以f(x)的極大值是，極小值是 （II）函數(shù) 由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有，所以曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知： 當(dāng)f(x)的極大值，即時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上； 當(dāng)f(x)的極小值，即時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上 所以當(dāng)時(shí)，曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。（也可以直接用，）變式訓(xùn)練：a為何值時(shí)f（x）的圖象與直線y=1恰有一個(gè)交點(diǎn)分析：令 極大值，或極小值第二部分：在四次函數(shù)中的應(yīng)用由于四次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為三次函數(shù)，所以四次函數(shù)的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問(wèn)題【例題2】(2008湖南文) 已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn), 所以有三個(gè)互異的實(shí)根. 設(shè)則 當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù); 當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù); 當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù); 所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值. 因?yàn)橛腥齻€(gè)不同實(shí)根, 所以且. 即,且,解得且故. （II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí), 有三個(gè)極值點(diǎn). 不妨設(shè)為（），則 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是, 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則, 或, 若,則.由（I）知，,于是 若,則且.由（I）知， 又當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，. 因此, 當(dāng)時(shí)，所以且即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述, 的取值范圍是.總結(jié)：四次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是三次函數(shù)，有三個(gè)極值點(diǎn)說(shuō)明三次函數(shù)有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根?？梢詺w結(jié)為三次函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，可以利用第一部分很好的解決【例題3】(2008江西文)已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）因?yàn)?令得 由時(shí)，在根的左右的符號(hào)如下表所示極小值極大值極小值所以的遞增區(qū)間為 的遞減區(qū)間為 （2）由（1）得到， 要使的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，只要或， 即或.只要我們掌握了三次函數(shù)的這些性質(zhì)，在高考中無(wú)論是主觀題還是客觀題，都能找到明確的解題思路，解題過(guò)程也簡(jiǎn)明扼要。四次函數(shù)問(wèn)題,應(yīng)該先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化