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初三數(shù)學(xué)講義(19)存在性問題A 【專題精講】這類題目解法的一般思路是:假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果,就做出“存在”的判斷,導(dǎo)出矛盾,就做出不存在的判斷。 【典例精析】例1、如圖,梯形ABCD中,ABCD,ABC=90,AB=8,CD=6,BC = 4,AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合),連結(jié)DP,作PQDP,使得PQ交射線BC于點(diǎn)E,設(shè)AP=x若設(shè)BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;ABCDPQEABCD(備用圖1)若BC的長(zhǎng)可以變化,在現(xiàn)在的條件下,是否存在點(diǎn)P,使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C?若存在,求出相應(yīng)的AP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,并直接寫出當(dāng)BC的長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)時(shí),可以存在這樣的點(diǎn)P,使得PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)CABCD(備用圖2)例2、ABC中,AB30,AB把ABC放在平面直角坐標(biāo)系中,使AB的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O(如圖),ABC可以繞點(diǎn)O作任意角度的旋轉(zhuǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B在第一象限,縱坐標(biāo)是時(shí),求點(diǎn)B的橫坐標(biāo);(2)如果拋物線yax 2bxc(a0)的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,請(qǐng)你探究:當(dāng)a,b,c時(shí),A,B兩點(diǎn)是否都在這條拋物線上?并說(shuō)明理由;設(shè)b2am,是否存在這樣的m的值,使A,B兩點(diǎn)不可能同時(shí)在這條拋物線上?若存在,直接寫出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由B-1AOxC-111yA 【鞏固演練】例3、在ABC中,C90,AC3,BC4,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)E在斜邊AB上,過(guò)點(diǎn)E作直線與ABC的直角邊相交于點(diǎn)F,設(shè)AEx,AEF的面積為y(1)求線段AD的長(zhǎng);(2)若EFAB,當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量x的取值范圍)當(dāng)x取何值時(shí),y有最大值?并求其最大值;(3)若點(diǎn)F在直角邊AC上(點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合),點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng),試問:是否存在直線EF將ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在直線EF,求出x的值;若不存在直線EF,請(qǐng)說(shuō)明理由BADCBADC(備用圖)例4、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+c與x軸正半軸交于點(diǎn)F(16,0)、與y軸正半軸交于點(diǎn)E(0,16),邊長(zhǎng)為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,頂點(diǎn)C與點(diǎn)F重合;(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2) 如圖2,若正方形ABCD在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直,拋物線始終與邊AB交于點(diǎn)P且同時(shí)與邊CD交于點(diǎn)Q(運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合,點(diǎn)Q不與C、D兩點(diǎn)重合)。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,n) (m0)。 當(dāng)PO=PF時(shí),分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo);在j的基礎(chǔ)上,當(dāng)正方形ABCD左右平移時(shí),請(qǐng)直接寫出m的取值范圍; 當(dāng)n=7時(shí),是否存在m的值使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)。若存在,請(qǐng)求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。xACDEFBOQPyBO(D)yxF(C)E(A)OyxFE圖1圖2備用圖1、如圖1,在正方形ABCD中,AB=1,是以點(diǎn)B為圓心AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合),過(guò)E作AC所在圓的切線,交邊DC于點(diǎn)F石為切點(diǎn) 當(dāng) DEF45時(shí),求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn); 設(shè)AE=x, FC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;并寫出自變量的取值范圍; 如圖2,將DEF沿直線EF翻折后得 D1EF,當(dāng)EF=時(shí),討論AD1D與ED1F是否相似,如果相似,請(qǐng)加以證明;如果不相似,只要求寫出結(jié)論,不要求寫出理由。2、已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(10,0),B(8,),C(0,),點(diǎn)T在線段OA上(不與線段端點(diǎn)重合),將紙片折疊,使點(diǎn)A落在射線AB上(記為點(diǎn)A),折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)T,折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t,折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S;(1)求OAB的度數(shù),并求當(dāng)點(diǎn)A在線段AB上時(shí),S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí),求t的取值范圍;(3)S存在最大值嗎?若存在,求出這個(gè)最大值,并求此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.OxyADCnlBP3、如圖,已知直線l的解析式為yx6,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),平行于直線l的直線n從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持nl,直線n與y軸、x軸分別相交于C、D兩點(diǎn),線段CD的中點(diǎn)為P,以P為圓心,以CD為直徑在CD上方作半圓,半圓面積為S,當(dāng)直線n與直線l重合時(shí),運(yùn)動(dòng)結(jié)束(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;(3)直線n在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),半圓與直線l相切?是否存在這樣的t值,使得半圓面積SS梯形ABCD?若存在,求出t值,若不存在,說(shuō)明理由OxyADCnlBPEF備用圖4、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線L1:yx 2c與x軸交于B、C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)A,且ABC是等腰直角三角形(1)求c的值;(2)如圖,將ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90,得ABC,然后將拋物線L1平移,使它的頂點(diǎn)落在點(diǎn)C 處,得拋物線L2,它與y軸相交于點(diǎn)D,連接DC,試判斷四邊形BADC 的形狀,并說(shuō)明理由;OAByxC圖(3)將拋物線L2沿直線BC 向上或向下平移,記此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)為C,
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