考研數(shù)學(xué)必背公式.docx

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除高數(shù)概念基礎(chǔ)知識(shí)因式分解公式：an-bn=(a-b)( an-1+an-2b+abn-2+bn-1) ( n為正偶數(shù)時(shí))an-bn=(a+b)( an-1-an-2b+abn-2-bn-1) ( n為正奇數(shù)時(shí))an+bn=(a+b)( an-1-an-2b+-abn-2+bn-1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n=k=0nCnkakbn-k不等式：(1) a,b位實(shí)數(shù)，則2aba2+b2；aba+b；a-ba-b.(2) a1,a2,an0, 則 a1+a2+annna1a2an取整函數(shù)：x-1xx三角函數(shù)和差化積;積化和差(7)：sin+sin=2(sin+2)(cos-2) sincos=12(sin+2+cos-2)sin-sin=2(cos+2)(sin-2) coscos=12(cos+2+cos-2)cos+cos=2(cos+2)(cos-2) sinsin=-12(cos+2-cos-2)cos-cos=2(sin+2)(sin-2)重要三角公式1+tan2=sec2 1+cot2=csc2sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1tan=tantan1tantan cot=1cotcotcot+cottan2=1-cossin=sin1+cos=1-cos1+cos cot2=sin1-cos=1+cossin=1+cos1-cos萬(wàn)能公式：u=tanx2-x0,0,當(dāng)0|x- x0| 時(shí)，恒有|f(x)-A|0,0,當(dāng)0(x- x0) 時(shí)，恒有|f(x)-A|0,0,當(dāng)0( x0- x) 時(shí)，恒有|f(x)-A|0, X0,當(dāng)|x|X時(shí),恒有|f(x)-A|0, X0,當(dāng)xX時(shí),恒有|f(x)-A|0, X0,當(dāng)-xX時(shí),恒有|f(x)-A|0, N0,當(dāng)nN時(shí),恒有|Xn-A|0,使f(x)在U=x0x-x00,則存在x0的一個(gè)去心 鄰域，在該鄰域內(nèi)恒有f(x)0. (戴帽)若存在x0的一個(gè)去心鄰域，在該鄰域內(nèi)f(x)()0，且limxx0 f(x)=A()，則A0. 計(jì)算極限四則運(yùn)算：設(shè)limxx0 f(x)=A(),limxx0 f(x)=B(),則 limxx0 fxgx=AB. limxx0 fxgx=AB. limxx0 f(x)g(x)=AB (B0).等價(jià)無(wú)窮?。?）sinx 1-cosx12x2 arcsinx ax-1lnax tanx 1+x-1x xarctanx ln(1+x)ex-1 limnnn=1 , limnna=1, (a0) ,limx0+xlnxk=0 ,limx+xk-x=0 (0,k0)limnna1n+a2n+amn=maxai=1,2,m;ai0 洛必達(dá)法則：“00”型：limxx0 f(x)=0, limxx0 g(x)=0; f(x),g(x)在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0 limx x0f(x)g(x)=A或?yàn)? 則limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x) “”型：limxx0 f(x)=, limxx0 g(x)=; f(x),g(x)在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0 limxx0 f(x)g(x)=A或?yàn)? 則limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x)注洛必達(dá)法則能不能用，用了再說(shuō).數(shù)列極限存在準(zhǔn)則：1. 單調(diào)有界數(shù)列必收斂2.夾逼準(zhǔn)則：如果函數(shù)f(x),g(x)及h(x)滿足下列條件：(1) g(x)f(x)h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A,則limf(x)存在，且limf(x)=A.兩種典型放縮：maxuii=1nuinmaxui; nminuii=1nuinmaxui選取的依據(jù)是誰(shuí)在和式中去決定性作用 海涅定理（歸結(jié)原則）：設(shè)f(x)在 (x0, )內(nèi)有定義，則limxx0 f(x)=A存在對(duì)任何以x0為極限的數(shù)列xn（xnx0），極限limn f(xn)=A存在.連續(xù)的兩種定義：（1） limx0y=limx0fx0+x-fx0=0（2） limxx0fx=fx0間斷點(diǎn)：第一類：可去、跳躍；第二類：無(wú)窮、振蕩一元微分學(xué)定義導(dǎo)數(shù)定義式：f (x0)=dydxx=x0=limx0 fx0+x-f(x0)x=limxx0 fx-f(x0)x-x0微分定義式：若y=Ax+o(x),則dy=Ax.可導(dǎo)的判別:(1) 必要條件:若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).(2) 充要條件:fx0存在 f+x0,f-x0都存在，且f+x0=f-x0.注通俗來(lái)說(shuō)就是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)；函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)且在該點(diǎn)連續(xù)，但在這點(diǎn)的某個(gè)鄰域未必連續(xù)；函數(shù)可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)可能連續(xù)，也可能震蕩間斷.可微的判別：limx0y-Axx=0，則f(x)可微。（一元函數(shù)可微即可導(dǎo)）計(jì)算幾個(gè)不常見(jiàn)的求導(dǎo)公式：(arccos x)=-11-x2 (arccot x)=-11+x2萊布尼茨公式：(uv)(n)= Cn0u(n)v+ C1 nu(n-1)v+Cnnuv(n)常見(jiàn)初等函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)：(ax)(n)=axlnna (1ax+b) (n)=-1nann!ax+bn+1 sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+n2) cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+n2) ln(ax+b) (n)=-1n-1ann-1!ax+bn (n1)構(gòu)造輔助函數(shù)：要證fx+xfx=0,只要構(gòu)造F(x)=f(x)x，證明Fx=0.十大定理最值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則mf(x)M,其中m,M分別為f(x)在a,b上的最小值和最大值.介值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，m,M是f(x)在該區(qū)間上的最小值和最大值，則對(duì)任意的m,M,a,b,使得f=.零點(diǎn)定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且滿足f(a)f(b)0,則y=f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)增加；若y=f(x)在區(qū)間I上有fx0,則y=f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)減少。零點(diǎn)問(wèn)題（方程根問(wèn)題）：零點(diǎn)定理（存在性）單調(diào)性（唯一性）幾何意義羅爾中值（構(gòu)造輔助函數(shù)F=0）拉格朗日、柯西中值（即為定理方程的根）費(fèi)馬定理（取原函數(shù)F(x)找極值f(x)=0）羅爾原話 若f(n)x=0至多k個(gè)根，則f(n-1)x=0至多k+1個(gè)根極值判定：（3）第一充分條件：設(shè)f(x)在x=x0處連續(xù)，在x0某去心領(lǐng)域 (x0,)可導(dǎo) 在x0的左鄰域fx0,則f(x0)是極小值在x0的左鄰域fx0,右鄰域fx0,則f(x0)是極大值 第二充分條件：設(shè)f(x)在x=x0處二階可導(dǎo)，且fx=0，fx00 若fx00,則fx在x0取得極小值 第三充分條件：設(shè)f(x)在x=x0處n階可導(dǎo)，且fmx0=0(m=1,2,n-1), fnx00 (n2)則n為偶數(shù)時(shí) fnx00時(shí),f(x)在x0取得極小值凹凸性判定：設(shè)f(x)在I上二階可導(dǎo), 若在I上fx0,則fx在I上是凹的若在I上fx0,則fx在I上是凸的補(bǔ)充定義：設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2,(0,1),有fx1+(1- ) x2f(x1)+(1- )f(x2),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的;則是凹的.拐點(diǎn)判定：（3）第一充分條件：設(shè)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù),在點(diǎn)x=x0的某去心鄰域 (x0,)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在,且在該點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)fx變號(hào),則點(diǎn)(x0,f(x0)為曲線上的拐點(diǎn).第二充分條件：設(shè)f(x)在x=x0處三階可導(dǎo)，且fx0=0,fx00,則（x0,f(x0)為拐點(diǎn).第三充分條件：設(shè)f(x)在x=x0處n階可導(dǎo)，且f(m)x0=0 (m=2,n-1), f(n)x00(n2),則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(x0,f(x0)為拐點(diǎn).微分幾何應(yīng)用曲率：y=y(x)在(x,y(x)處的曲率公式為k=y1+y232曲率半徑：R=1k曲率圓：X-2+Y-2=R2，=x-y1+y2y2，=y+1+y2y2一元積分學(xué)不定積分定義：設(shè)函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間I上，若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),對(duì)于該區(qū)間上任一點(diǎn)都有Fx=fx成立，則稱F(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，稱fxdx=F(x)+C為f(x)在區(qū)間I上的不定積分。原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)f(x)必有原函數(shù)F(x)；若間斷函數(shù)有原函數(shù)，也只能為振蕩間斷。定積分定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有定義，若存在定積分，則定積分bafxdx的值為曲邊梯形的面積(x軸上方取正，下方取負(fù)。定積分的精確定義：bafxdx=limni=1nfa+b-anib-an.注任意切分，任意取高定積分存在(可積)定理：充分條件fx在區(qū)間a,b上連續(xù) fx在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則abfxdx存在.必要條件可積函數(shù)必有界.定積分的性質(zhì)：(6)可拆性：無(wú)論a,b,c的大小，abfxdx=acfxx+cbfxdx保號(hào)性：若在a,b上f(x)g(x),則有bafxdxbagxdx特殊地，有abfxdxabfxdx.估值定理：設(shè)m,M分別是f(x)在a,b上的最小最大值，則有 m(b-a) abfxdxM(b-a)中值定理：設(shè)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得abfxdx=f(b-a).axftt、fx、fx的奇偶,周期,有界,單調(diào)關(guān)系（1） 奇偶性 可導(dǎo)fx奇，則fx偶；可導(dǎo)fx偶，則fx奇可積fx奇，則Fx=0xftt偶axftt偶；可積fx偶，則Fx=0xftt奇 axftt不定（2） 周期性可導(dǎo)fx以T為周期，則fx以T為周期；可積fx以T為周期，則Fx=axftt以T為周期0Tfxx=0（3） 有界性若fx在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)有界，則fx在(a,b)內(nèi)有界（4） 單調(diào)性無(wú)明確結(jié)論變限積分定義：當(dāng)定積分的上限變化、下限變化或上下限都變化時(shí)，稱該積分為變限積分.變限積分的性質(zhì)：(1) f(x)在a,b上可積，則F(x)= axftdt在a,b上連續(xù).(2) f(x)在a,b上連續(xù)，則F(x)= axftdt在a,b上可導(dǎo).(即只要變限積分F(x)= axftdt存在，就必然連續(xù).)變限積分求導(dǎo)公式：Fx=x1x2xftt=f2x2x-f1(x)1x.(x為”求導(dǎo)變量”，t為”積分變量”)反常積分通俗理解：破壞積分區(qū)間a,b的有界性破壞f(x)在a,b上的有界性無(wú)窮區(qū)間上的反常積分的概念和斂散性：a+fxx=limb+abfxx若,則收斂 若不,則發(fā)散 -bfxx=lima-abfxx若,則收斂 若不,則發(fā)散-+fxx=-cfxx+c+fxx (=+)均收斂,則收斂否則,發(fā)散 無(wú)界函數(shù)的反常積分的概念和斂散性：若b是f(x)的唯一奇點(diǎn),則abfxdx=lim0+ab-fxx若,則收斂 若不,則發(fā)散若c(a,b)是f(x)的唯一奇點(diǎn)，則abfxx=acfxx+cbfxx (=+)均收斂,則收斂否則,發(fā)散 計(jì)算基本積分公式：（24）湊微分：（復(fù)雜處理方法）換元法：（三角代換）（倒代換）（整體代換） 不定積分分部積分：（推廣）有理函數(shù)積分：N-L公式：（有原函數(shù)）分部積分：換元法： 定積分華氏(點(diǎn)火)公式： 區(qū)間再現(xiàn)公式：變限積分求導(dǎo)公式：積分幾何應(yīng)用均值：設(shè)xa,b,函數(shù)y(x)在a,b上的平均值為y=1b-aabyxx平面曲線弧長(zhǎng) (1)平面光滑曲線L由y=yxaxb給出，則L=ab1+yx2x (2) 平面光滑曲線L由參數(shù)式x=x(t)y=y(t) ,t給出， 則L=xt2+yt2t (3)平面光滑曲線L由r=r給出， 則L=r2+r2 (4)平面光滑曲線L由=fr (arb)給出， 則 L=ab1+rfr2r平面圖形面積：(1) S=aby1x-y2xx (2) S=12r12-r22旋轉(zhuǎn)曲面面積：(1)曲線y=y(x)在區(qū)間a,b上的曲線弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 S=2abyx1+yx2x (2)曲線 x=x(t)y=y(t) (t,xt0)在區(qū)間,上的曲線弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 S=2ytx2t+yt2t (3) 曲線y=y(x)在區(qū)間a,b上的曲線弧段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 S=2abx1+yx2x旋轉(zhuǎn)體體積： (1)曲線y=y(x)與x=a,x=b(ab)及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積 V=aby2xx (2) 曲線y=y1(x)0與y=y2x0及x=a,x=b(ab)所及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積 V=aby12x-y22xx (3)曲線y=y(x)與x=a,x=b(0ab)及x軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積 V=2abxyxx (4)曲線y=y1(x)與y=y2x及x=a,x=b(0ab)所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積 V=2abxy1x-y2xx多元微分基本概念1.極限的存在性：若二元函數(shù)f(x,y)在x0,y0的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，且(x,y)以任意方式(不考慮無(wú)定義點(diǎn))趨于x0,y0時(shí)，f(x,y)均趨向于A，則limxx0yy0fx=A.2.連續(xù)性：如果limxx0yy0fx=fx0,y0，則稱f(x,y)在點(diǎn)x0,y0處連續(xù).3.偏導(dǎo)數(shù)存在性：fxx0,y0=limx0fx0+x,y0-fx0,y0x fyx0,y0=limy0fx0,y0+y-fx0,y0y 2 14.可微：全增量z=fx0+x,y0+y-fx0,y0 5 4 線性增量z=Ax+By 3 6 若極限limx0y0z-Ax+Byx2+y2=0,則稱z=fx,y在x0,y0處可微.5.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性 :用定義法求fxx0,y0, fyx0,y0 用公式法求fxx,y, fyx,y,并計(jì)算limxx0yy0fxx,y，limxx0yy0fyx,y 若=，則z=fx,y在x0,y0處的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。6.fx,y0在x=x0處連續(xù)limxx0fx,y0存在; fx0,y在y=y0處連續(xù)limyy0fx0,y存在 計(jì)算多元函數(shù)微分遵循鏈?zhǔn)椒▌t隱函數(shù)求導(dǎo)法 設(shè)函數(shù)Fx,y,z在P0x0,y0,z0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且Fx0,y0,z0=0，F(xiàn)zx0,y0,z00，則 Fx,y,z在點(diǎn)P0x0,y0,z0的某鄰域內(nèi)恒能確定唯一的連續(xù)函數(shù)z=fx,y，且滿足 :z0=fx0,y0 ; Fx,y,fx,y0 ; z=fx,y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 zx=-Fxx,y,zFzx,y,z ; zy=-Fyx,y,zFzx,y,z 多元函數(shù)極值必要條件：設(shè)z=fx,y在點(diǎn)x0,y0處取得極值，且fx,y在點(diǎn)x0,y0處存在偏導(dǎo)數(shù)，則必有fxx0,y0=0, fyx0,y0=0充分條件：設(shè)z=fx,y在點(diǎn)x0,y0有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)(x0,y0)是fx,y的駐點(diǎn)，記A=fxxx0,y0，B=fxyx0,y0,C=fyyx0,y0則=B2-AC0極值A(chǔ)0極小值0非極值 =0不能確定，方法失效條件極值：求 z=fx,y在條件x,y=0下的極值(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)Fx,y,=fx,y+x,y (2) 構(gòu)造方程組Fx=0Fy=0F=0 ，解出所有的(x,y)(3) 求備選點(diǎn)，其中最大值、最小值即為所求最值在某區(qū)域D上的最值：（1） 求出f(x,y)在D內(nèi)所有可疑點(diǎn)處的函數(shù)值；（2） 求出f(x,y)在D的邊界上的最值；（3） 比較所有的函數(shù)值，得出最值常微分方程基礎(chǔ)概念1.未知函數(shù)是一元函數(shù)的是常微分方程，多元函數(shù)的是偏微分方程2.未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為微分方程的階3.通解和特解通解中的獨(dú)立常數(shù)個(gè)數(shù)與階數(shù)相同，不含任意常數(shù)的解是特解4.線性微分方程：通解=全部解；非線性:通解全部解5.對(duì)于二階線性齊次方程，設(shè)y1x,y2x,y3x是該方程的解,則C1y1x+C2y2x+C3y3x也是該方程的解的充要條件是C1+C2+C3=0；對(duì)于二階線性非齊次方程，設(shè)y1x,y2x,y3x是該方程的解,則C1y1x+C2y2x+C3y3x也是該方程的解的充要條件是C1+C2+C3=1一階微分方程thorough adj. 徹底的；詳盡的變量可分離型：yx=fx