中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略例談.docx

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略例談湖北省鶴峰縣五里民族中心學(xué)校 周雙照如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC的面積的最大值一、背景出處此題是2012年恩施州數(shù)學(xué)中考試題的壓軸題，題干文字精煉，圖形外觀簡(jiǎn)潔，設(shè)問(wèn)由淺入深，內(nèi)涵十分豐富. 本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)、一次函數(shù)、平行四邊形、垂線、平行線、函數(shù)解析式、點(diǎn)的坐標(biāo)、面積、一元二次方程、軸對(duì)稱求最短路徑等初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí).壓軸題一般由三個(gè)或四個(gè)小問(wèn)題組成，這幾個(gè)問(wèn)題一般都是漸進(jìn)式，層層遞進(jìn).命題的基本思路是：立足教材，聚焦中考，力求創(chuàng)新.本題的原題是人教版九年級(jí)“二次函數(shù)”這一章中一個(gè)傳統(tǒng)練習(xí)題（新老教材都有）：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是（1，0），（3，0），求這條拋物線的對(duì)稱軸.壓軸題是中考試題的“制高點(diǎn)”，學(xué)生通過(guò)對(duì)此題的研究，就會(huì)明確中考?jí)狠S題編寫的規(guī)律，從而能挑戰(zhàn)中考?jí)狠S題，攻克“制高點(diǎn)”.這對(duì)提高學(xué)生解題能力和應(yīng)試能力，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.二、題目立意1 已知條件已知條件有三個(gè)： 拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點(diǎn)；拋物線與y軸交于點(diǎn)N；拋物線頂點(diǎn)為D.需要解答的問(wèn)題有四個(gè).2 難點(diǎn)的位置 第（2）問(wèn)學(xué)生能想到作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N，求出N（6，3）的思路； 第（3）問(wèn)建立方程模型； 第（4）問(wèn)建立函數(shù)模型.3 估計(jì)難度難度系數(shù)為0.4.4 易錯(cuò)點(diǎn)解答（3）題時(shí)，要對(duì)點(diǎn)E所在的位置進(jìn)行分類討論，以防漏解5 隱含條件由拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，可得設(shè)直線為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）可得 由點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小，可作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N，則N（6，3），由（1）得D（1，4），故可求出直線DN的函數(shù)關(guān)系式. 由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），因點(diǎn)E在直線AC上，可設(shè)E（x，x+1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，知F（x，x+3），又因F在拋物線上，可得x+3=x2+2x+3；當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，可知F（x，x1），由F在拋物線上可得x1=x2+2x+3. 由P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC的面積的最大值，可知要將APC采用割補(bǔ)的方法，過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），可得P（x，x2+2x+3）6 關(guān)鍵點(diǎn)第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是解方程組必須準(zhǔn)確，因后面三個(gè)問(wèn)題都與第（1）問(wèn)的計(jì)算結(jié)果有直接聯(lián)系；第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N，則N（6，3）；第（3）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是懂得關(guān)于“平行四邊形的存在性問(wèn)題解題策略”；第（4）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是建立函數(shù)模型.7 知識(shí)立意縱觀近幾年的中考試題，很多省市的中考?jí)狠S題通常以平面直角坐標(biāo)系為背景，借助拋物線，要么考查點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的幾何圖形面積（周長(zhǎng)、線段長(zhǎng)）的函數(shù)關(guān)系式或者其最值計(jì)算、定值證明；要么考查如何確定等腰三角形或者相似三角形、特殊的平行四邊形的某個(gè)頂點(diǎn)的位置；要么考查分類討論下的分段函數(shù).本題以教材中的練習(xí)題為基礎(chǔ)，讓學(xué)生循序而上，運(yùn)用通性通法縱深探究.第（1）問(wèn)考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；第（2）問(wèn)考查圖形變換求最短路徑；第（3）問(wèn)求平行四邊形的某個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)；第（4）問(wèn)求面積的最值.后兩問(wèn)有新意，思維量高.8 能力立意從能力立意上看，通過(guò)學(xué)生觀察、猜想、聯(lián)想、計(jì)算、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷了問(wèn)題的初步理解、深入探究、解決與回顧的過(guò)程，逐步發(fā)展了學(xué)生的動(dòng)手操作、探究問(wèn)題、合情推理和初步演繹推理的能力.三、解題策略我根據(jù)波利亞的怎樣解題，自創(chuàng)了“四個(gè)什么”解題術(shù)，即“求什么”、“是什么”、“差什么”、“找什么”.第（1）問(wèn)求什么：求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式.是什么：是用待定系數(shù)法進(jìn)行解題題型.差什么：差方程組.找什么：找建立方程組所需點(diǎn)的坐標(biāo).第（2）問(wèn)求什么：求點(diǎn)的縱坐標(biāo).是什么：是軸對(duì)稱求最短路徑題型.差什么：差使MN+MD的值最小的方法.找什么：根據(jù)自編口訣：“和最小，對(duì)稱找，化折為直是技巧”,此問(wèn)就很容易找出其解答的方法了.第（3）問(wèn)求什么：判斷以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？是什么：是屬存在性問(wèn)題模式.差什么：差建立方程模型的條件.找什么：根據(jù)存在性問(wèn)題模式的解題思路、結(jié)合平行四邊形的判定方法去尋找建立模型的條件.第（4）問(wèn)求什么：求APC的面積的最大值.是什么：是根據(jù)函數(shù)求最值問(wèn)題.差什么：差建立函數(shù)模型的條件.找什么：一般采用分割的方法把APC的面積表示出來(lái).解答：（1）由拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）得，解得，故拋物線為y=x2+2x+3又設(shè)直線為y=kx+n過(guò)點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）得，解得故直線AC為y=x+1；（2）如圖1，作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N，則N（6，3），由（1）得D（1，4），故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y=x+，當(dāng)M（3，m）在直線DN上時(shí)，MN+MD的值最小，則m=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3），F(xiàn)在拋物線上，x+3=x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）E（0，1）；當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x1）由F在拋物線上x1=x2+2x+3解得x=或x=E（，）或（，）綜上，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）PQ=（x2+2x+3）（x+1）=x2+x+2又SAPC=SAPQ+SCPQ=PQAG=（x2+x+2）3 =（x）2+面積的最大值為方法二：過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，如圖3，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）又SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x+1）（x2+2x+3）+（x2+2x+3+3）（2x）33=x2+x+3=（x）2+APC的面積的最大值為四、教學(xué)策略我根據(jù)教育學(xué)、心理學(xué)及新課程改革的新教學(xué)理念，自創(chuàng)了“初中數(shù)學(xué)五步教學(xué)法”.第一步：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣.老師可說(shuō)今天我們一起來(lái)挑戰(zhàn)中考?jí)狠S題，看哪些同學(xué)能挑戰(zhàn)成功？（教師可以準(zhǔn)備一些獎(jiǎng)品）第二步：自主探索，動(dòng)手動(dòng)腦.學(xué)生初次接觸壓軸題時(shí)，教師可以留給學(xué)生充足的探索時(shí)間，那是因?yàn)檎n堂一般是“七分等待，三分教學(xué)”.第三步：合作交流，質(zhì)疑辨惑.學(xué)生在展示自己的成果過(guò)程中，開展合作交流；學(xué)生在合作交流過(guò)程中，能夠質(zhì)疑辨惑.第四步：小結(jié)反思，理性升華.“編蘿織框，全在收口”，師生通過(guò)小結(jié)反思，學(xué)生所學(xué)的知識(shí)得到掌握，能力得到提升.第五步：課堂檢測(cè)，查漏補(bǔ)缺.教師通過(guò)提問(wèn)、板演、變式訓(xùn)練、自測(cè)題等多種形式來(lái)檢查教學(xué)效果，從而進(jìn)行查漏補(bǔ)缺.五、思想方法此題主要考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想及待定系數(shù)法、配方法等思想方法.第（1）問(wèn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；第（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N，當(dāng)M（3，m）在直線DN上時(shí)，MN+MD的值最小；第（3）需要分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3）和當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x1），然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；第（4）問(wèn)方法一：過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，如圖1設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段PQ=x2+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知SAPC=（x）2+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知APC的面積的最大值；方法二：過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G，如圖2設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知：SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x）2+， 所以由二次函數(shù)的最值的求法可知 APC的面積的最大值；六、變式拓展筆者從事教學(xué)30年，發(fā)現(xiàn)通過(guò)此題的原題進(jìn)行變式拓展的題目非常多，倍受命題者的青睞，現(xiàn)提供一組中考試題，希望同學(xué)們有所思、從而有所悟，悟出規(guī)律、悟出方法、悟出靈感、悟出思路，便會(huì)有所發(fā)現(xiàn)、有所提高、有所創(chuàng)新，最終達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一遍”的效果.變式拓展1：（十堰）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線頂點(diǎn)為E，EFx軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若MNC=90，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說(shuō)明理由菁優(yōu)變式拓展2：（孝感）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC面積的最大值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若P為拋物線在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQAC交x軸于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形（直接寫出結(jié)果，不寫求解過(guò)程）優(yōu)網(wǎng)變式拓展3：（山西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線lAC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)變式拓展4：（玉林）如圖，拋物線y=（x1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（1，0）（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）判斷CDB的形狀并說(shuō)明理由；（3）將COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0t3）得到QPEQPE與CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍優(yōu)網(wǎng)變式拓展5：（廣元）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求證：CB是ABE外接圓的切線；（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角