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必修五模塊提升講義 第一講 解斜三角形【知識(shí)要點(diǎn)歸納】正弦定理 余弦定理公式變形應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理銳角三角函數(shù)【典例分析】例1、解下列三角形已知在中，求和；已知在中，求和；中，求和。例2、解下列三角形中，求和；中，的對(duì)邊分別為若且，則= 。例3、如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinx(A0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP=120。（I）求A , 的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？例4、在中，所對(duì)的邊分別為，已知，且，求。例5、設(shè)中的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，求。例6、中，所對(duì)的邊分別為，。求；若，求。例7、根據(jù)已知條件判斷三角形形狀。；，且?！菊n堂練習(xí)】1、在中，若，則為 ；若，則為 ；若且且，則為 。2、在中，則三角形為 。3、如圖，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，。求。ABC4、在中，證明下列各式：；。5、在中，是方程的兩根，且，求：角的度數(shù)；的長度；的面積。6、在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且。求的大小；若，試判斷的形狀。7、在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，設(shè)為的面積。滿足。求角的大?。磺蟮淖畲笾?。8、在中，。證明：；若，求的值。第二講 等差數(shù)列與等比數(shù)列基礎(chǔ)梳理【知識(shí)要點(diǎn)歸納】【典例分析】例1、求解下列問題已知為等差數(shù)列，則= ；已知為等差數(shù)列，且，則公差 ；已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則 。例2、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則= 。公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則等于 A.18 B.24 C.60 D.90例3、在等差數(shù)列中，求數(shù)列的前項(xiàng)和。例4、求解下列問題設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和為80，前項(xiàng)和為6560，且前項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比；在和之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的個(gè)數(shù)之積。例5、設(shè)等差數(shù)列滿足，。求的通項(xiàng)公式；求的前項(xiàng)和及使得最大的序號(hào)的值。例6、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求公差的取值范圍；指出中哪個(gè)最大，并說明理由。【課堂練習(xí)】1.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則公差= 。2.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 。3.已知等差數(shù)列中，。以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是 。4. 設(shè)（），則 。5. 若數(shù)列滿足：，（），則 ；前8項(xiàng)的和 。6. 在等差數(shù)列，的相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項(xiàng)。7. 已知等差數(shù)列中，求的前項(xiàng)和。8. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列。求的公比；求，求。9. 已知是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足，。求的通項(xiàng)公式；若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：（為正整數(shù)）。求數(shù)列的前項(xiàng)和。第三講 等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合例1、等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和。例2、一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。例3、已知實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是 。例4、在數(shù)列中，。設(shè)。證明：數(shù)列是等差數(shù)列。例5、已知數(shù)列滿足，。令，證明：是等比數(shù)列。例6、在數(shù)列中，且（，）。設(shè)（），證明：是等比數(shù)列?！菊n堂練習(xí)】1、等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 。2、給定正數(shù)，其中，若成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則一元二次方程（ ）A.無實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根 D.有兩個(gè)異號(hào)的相異的實(shí)數(shù)根 3、已知成等比數(shù)列，和都成等差數(shù)列，且，那么= 。4、已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則 。5、在數(shù)列中，。證明數(shù)列是等比數(shù)列。ABC12337136、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為是關(guān)于正自然數(shù)的二次函數(shù)，其圖像上有三個(gè)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并指出是否為等差數(shù)列，說明理由。第四講 求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和【要點(diǎn)歸納】一、求通項(xiàng)公式的方法1.累加法2.累乘法3.公式法4.減項(xiàng)做差法5.其他二、求和的方法1.公式法2.倒序相加3.錯(cuò)位相減4.裂項(xiàng)相消【典例分析】例1、設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知下列式子，求通項(xiàng)公式，其中是常數(shù)；，（）例2、已知數(shù)列滿足，（），求。例3、已知數(shù)列滿足，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4、已知，求。例5、設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（），則它的通項(xiàng)公式 。例6、求和：；例7、求數(shù)列：，的前項(xiàng)和。例8、等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)（且，均為常數(shù)）的圖像上。求的值；當(dāng)時(shí)，記（），求數(shù)列的前項(xiàng)和?！菊n堂練習(xí)】1、已知數(shù)列中，則 。2、已知數(shù)列中，則 。3、數(shù)列，的前項(xiàng)和 。4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為18，前項(xiàng)和為28，則前項(xiàng)和為 。5、數(shù)列中，（是常數(shù)，）且成公比不為1的等比數(shù)列。求的值；求的通項(xiàng)公式。6、已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)）。令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。7、若數(shù)列的通項(xiàng)，求此數(shù)列的前項(xiàng)和。8、求數(shù)列，的前項(xiàng)和。9、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。第五講 解不等式和線性規(guī)劃【要點(diǎn)歸納】一、不等式的類型和解法二、線性規(guī)劃的方法【典例分析】例1、解不等式： 例2、例3、例4、例5、解關(guān)于的一元二次不等式（為實(shí)數(shù)）。例6、若、滿足條件，求的最大值和最小值。例7、設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為 ( ). A. B. C. D. 4例8、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為 ?！菊n堂練習(xí)】1. 若實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_.2.已知不等式組，表示的平面區(qū)域的面積為，點(diǎn)在所給平面區(qū)域內(nèi)，則的最大值為 。3. 某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為_元。4.解下列不等式： 5.解關(guān)于的不等式。第六講 均值不等式【要點(diǎn)歸納】1.均值不等式2.對(duì)勾函數(shù)與均值不等式的關(guān)系【典例分析】例1、求函數(shù)；求函數(shù)的最小值；已知，函數(shù)的最大值為 。例2、求，的最小值。例3、求（）的值域。例4、平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)，求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；求的最值。例5、圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)。（）將y表示為x的函數(shù)： （）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用?！菊n堂練習(xí)】1. 函數(shù)，的值域是 。2. 函數(shù)的值域是 。3. 設(shè)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。4. 設(shè)若的最小值為（ ） A 8 B 4 C 1 D 5. 函數(shù)的值域是 。6.函數(shù)的最大值是 。第七講 點(diǎn)線面位置關(guān)系【要點(diǎn)歸納】1、平面圖形知識(shí)2、空間圖形知識(shí)3、位置關(guān)系【典例分析】例1、將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖所示，分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖，則該幾何體按所示方向的側(cè)視圖為（ ）EBEEEBBBBACDABCDEFHIGABCDEF側(cè)視22222正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖例2、根據(jù)三視圖還原圖形。2322正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖202020201010正視圖側(cè)視圖俯視圖例3、某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則的最大值為（ ）A. B. C. D.例4、在長方體中，哪些棱與平行？異面？垂直？例5、在長方體中，哪些面與平行？垂直？例6、判斷下列說法是否正確？垂直于同一直線的兩條直線相互平行；平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行直線的平行投影重合；若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若、與所成角相等，則；若，則；若，則；若，則；如果，、是異面直線，那么；若平面內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面的距離相等，則。例7、已知一個(gè)平面，那么對(duì)于空間內(nèi)的任意一條直線，在平面內(nèi)一定存在一條直線，使得與（ ）A.平行 B.相交 C.異面 D.垂直【課堂練習(xí)】1、將裝有水的長方體的水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽的水形成的幾何體是（ ）1111333正視圖側(cè)視圖俯視圖A.棱柱 B.棱臺(tái) C.棱柱與棱錐組合體 D.不能確定2、若是兩條異面直線，外的任意一點(diǎn)，則（ ）A.過點(diǎn)有且僅有一條直線與，都平行；B.過點(diǎn)有且僅有一條直線與，都垂直；C.過點(diǎn)有且僅有一條直線與，都相交；D.過點(diǎn)有且僅有一條直線與，都異面；3、若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是 。6666344334、一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為（ ）A. B. C. D.5、長方體中，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路線的長。第八講 平行于垂直【要點(diǎn)歸納】1、平行的判定和性質(zhì)2、垂直的判定和性質(zhì)【典例分析】例1、如圖，已知正方體中，、分別是和的中點(diǎn)。證明：平面。OABCDMN例2、如圖，在四棱錐中，底面是四邊長為1的菱形。，底面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。證明：直線平面。例3、如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)是的中點(diǎn)。PABCOFEG證明：平面；ABCDE例4、四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，。證明：。ABCA1B1C1例5、如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?。求證：。例6、如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且求證：平面；例7、如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面； ACBA1B1C1例8、如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn)，且。求證：平面平面;求證：。例9、如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。 求證：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.【課堂練習(xí)】1. 某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐PEFGH,下半部分是長方體ABCDEFGH.圖5、圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正(主)視圖和俯視圖.（1）請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)(左)視圖;（2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積（3）證明:直線BD平面PEGABCDEPQ2.如圖，平面，、分別為，的中點(diǎn)。證明：平面。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 3.如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。證明：直線EE/平面FCC；4.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)求證：平面平面；5.如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且求證：對(duì)任意的，都有ABCDEFPM6. 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： 第九講 直線方程【要點(diǎn)歸納】1、直線方程2、直線系方程3、兩條直線的位置關(guān)系4、距離公式5、直線中得分對(duì)稱問題【典例分析】例1、根據(jù)下列條件，求直線方程：求過點(diǎn)且與原點(diǎn)的距離為1的直線的方程；求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程；矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn) 在邊所在直線上。求邊所在直線的方程。例2、求證：不論為什么實(shí)數(shù)，直線都通過一定點(diǎn)；已知直線方程為。證明：直線恒過定點(diǎn)；若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程。例3、已知直線與直線，根據(jù)下列條件，求的值。；。例4、求下列直線方程：過點(diǎn)且與直線平行；過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直。例5、求解下列問題：過點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（ ）A. B. C. D.已知點(diǎn)，試在直線上找一點(diǎn)使最小，并求出最小值。例6、求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程。例7、是軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，且，若直線的方程為，則直線的方程為 ；【課堂練習(xí)】1.下列四個(gè)命題中真命題的序號(hào)是 。經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示；經(jīng)過任意兩個(gè)不同點(diǎn)，的直線都可以用方程表示；不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示；經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示。2.已知點(diǎn)、，直線與線段相交，則直線的斜率的范圍是（ ）A.或 B. C. D.3.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）A. B. C.或 D. 或4.下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，到直線的距離為，且滿足不等式的點(diǎn)是（ ）A. B. C. D.5.過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為 。6.過點(diǎn)的直線交軸、軸正半軸于、兩點(diǎn)，求使：面積最小時(shí)的方程；最小時(shí)的方程。第十講 圓的方程【要點(diǎn)歸納】1、圓的方程2、直線和圓的位置關(guān)系3、圓與圓的位置關(guān)系【典例分析】例1、根據(jù)下列條件求圓的方程經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在直線上；已知一圓過、兩點(diǎn)，且在軸上截得的線段長為，求圓的方程。例2、若直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 ；已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為 。例3、已知圓和直線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑。例4、已知圓及直線（）證明：不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒相交；求直線被圓截得的弦長的最短長度及此時(shí)的直線方程。例5、已知點(diǎn)是圓上任意