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6.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(1) 一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1.理解利用正切線作出的正切函數(shù)圖像.2.通過觀察正切函數(shù)圖像了解與感悟正切函數(shù)的性質(zhì).3.通過練習(xí)與訓(xùn)練體驗(yàn)并初步掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì).二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 利用正切線作正切函數(shù)的圖像;正切函數(shù)單調(diào)性的證明以及周期性的確定.三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、 復(fù)習(xí)引入 1復(fù)習(xí)我們?cè)谇皫坠?jié)中學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)線、余弦函數(shù)線以及正切函數(shù)線,我們通過正弦函數(shù)線,畫出了正弦函數(shù)的圖像,并研究了函數(shù)的性質(zhì).今天,我們同樣按照這樣的方法通過正切線來畫出正切函數(shù)的圖像,并研究和討論它的性質(zhì). 2引入當(dāng)在第一像限時(shí),正弦線,余弦線,正切線,那么,當(dāng)在其它三個(gè)象限的情況呢?請(qǐng)同學(xué)們畫出其它三個(gè)象限的正切線.我們將區(qū)間進(jìn)行八等分,9個(gè)點(diǎn)分別為分別畫出其中的正切線,然后利用描點(diǎn)法畫出正切函數(shù)的大致圖像.(如下圖左)由正切三角比的誘導(dǎo)公式可知:,那么y=,可知為的一個(gè)周期.由此,我們可以畫出y=tanx在R上的大致圖像。(如下圖右)二、學(xué)習(xí)新課1 探究性質(zhì)觀察正切函數(shù)的圖像,引導(dǎo)學(xué)生得正切函數(shù)的性質(zhì):(1) 定義域:,(2) 值域:R 觀察:當(dāng)從小于,時(shí), 當(dāng)從大于,時(shí),.(3)周期性:(4)奇偶性:奇函數(shù).(5)單調(diào)性:在開區(qū)間內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞增.從圖像上看出函數(shù)y=tanx的單調(diào)區(qū)間是,但是我們?cè)鯓訌睦碚撋先ゼ右宰C明呢?考察這個(gè)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)y=tanx的單調(diào)性.在這個(gè)區(qū)間內(nèi)任意取,且,因?yàn)?,所以則,從而,即正切函數(shù)y=tanx在上是增函數(shù).由奇函數(shù)的性質(zhì)可知,在上正切函數(shù)y=tanx也是增函數(shù).由于y=tanx的周期為,則函數(shù)y=tanx在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.除了上述證明方法以外,請(qǐng)同學(xué)們思考:對(duì)于正切函數(shù)y=tanx,你還有什么方法能夠證明它在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增嗎?證法2:在這個(gè)區(qū)間內(nèi)任意取,且, tanx1-tanx2= 因?yàn)閠an(x1-x2)0.因此1+tanx1tanx20.則tanx1-tanx20, tanx1tanx2, 即正切函數(shù)y=tanx在上是增函數(shù).接下來的證明同前一種方法.注:在考慮正切函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候,一定要講在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù),而不能講它在定義域上是增函數(shù),為什么?請(qǐng)同學(xué)們思考并說明之. 2例題分析例1.(1)比較tan1670與tan1730的大小;(2)比較與的大小.解:(1)900167017301800,而y=tanx在9001800上單調(diào)增函數(shù),tan1670tan1730(2),又內(nèi)單調(diào)遞增,的例2. 討論函數(shù)的性質(zhì).略解:定義域:;值域:R; 奇偶性:它是非奇非偶函數(shù);單調(diào)性:在上是增函數(shù);周期性:令f(x)=tan(x+)=tan(x+)=tan(x+)+=f(x+),因此,函數(shù)f(x)的周期是. 3問題拓展例3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:解:, 數(shù),且的遞增區(qū)間為 ;的單調(diào)遞增區(qū)間是:變式:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:解:因?yàn)樵瘮?shù)可以化為: 的單調(diào)遞增區(qū)間為: 的單調(diào)遞減區(qū)間為注:在考慮正切函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合的問題時(shí),需要分別注意這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的規(guī)則:增增得增,增減得減,確定單調(diào)區(qū)間.例4. 求函數(shù)的周期。解: 變式:求解解: 思考由上面的例4及其變式,請(qǐng)你歸納一下函數(shù)y=Atan(x+)的周期是什么?()三、鞏固練習(xí)求函數(shù)y=tan的定義域、值域,并指出它的奇偶性、單調(diào)性以及周期.解:定義域是; 值域?yàn)镽;存在x=和x=-,使tan(3-)tan3(-)-,故y=tan是非奇非偶函數(shù).由可以得到y(tǒng)=tan在上是增函數(shù).令f(x)=y= tan=tan=tan3(x+)-=f(x+)f(x)=f(x+),函數(shù)f(x)=y= tan的周期是.四、課堂小結(jié)正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì):定
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