高中數(shù)學(xué)第一章1.3二項式定理例題與探究.docx

1.3 二項式定理典題精講【例1】 用二項式定理展開(2x-)5.思路分析:可以直接看作2x與()的二項式展開，也可先化簡，再利用二項式定理展開.解法一：直接展開（2x-)5=(2x)5+(2x)4()+(2x)()4+()5=32x5-120x2+.解法二：(2x-)5= (4x3)5+ (4x3)4(-3)+ + (4x3)(-3)4+ (-3)5=1 024x15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243=32x5-120x2+.綠色通道：記準、記熟二項式(a+b)n的展開式，是解答好與二項式有關(guān)問題的前提條件，對于較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開更簡捷.變式訓(xùn)練1 求(2x-)5的倒數(shù)第二項.解:T5=(2x)(-)4=.變式訓(xùn)練2 在(2x-)5的展開式中是否存在常數(shù)項.若有，請求出;若沒有，請說明理由.解：Tr+1= (2x)5-r(-)r=(-1)r25-2r3rx5-3r.若存在常數(shù)項，必存在rN*，使得5-3r=0，但5-3r=0,r=N*.展開式中不存在常數(shù)項.【例2】 (1)用二項式定理證明1110-1能被100整除.(2)求9192被100除所得的余數(shù).思路分析:解決利用二項式定理證明整除問題關(guān)鍵是判斷所證式子與除數(shù)之間的聯(lián)系，要掌握好對式子的拆分，如本例的第（1）小題，可以利用1110=（10+1）10展開式進行證明，第（2）小題則可利用9192=(100-9)92展開式,或利用(90+1)92展開式進行求解.（1）證明：1110-1=(10+1)10-1=(1010+109+10+1)-1=1010+109+108+102=100(108+107+106+1).1110-1能被100整除.(2)解法一：(100-9)92=10092-100919+1009092-+992,展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù).992=(10-1)92=1092-1091+102-10+1,前91項均能被100整除,后兩項和為-919,因余數(shù)為正,可從前面的數(shù)中分離出1 000,結(jié)果為1 000-919=81,故9192被100除可得余數(shù)為81.解法二:(90+1)92=9092+9091+902+90+.前91項均能被100整除,剩下兩項和為9290+1=8 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.綠色通道：利用二項式定理可以求余數(shù)和整除性問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.黑色陷阱：出現(xiàn)余數(shù)為負數(shù)的情況.余數(shù)不可能為負,如本題中余數(shù)的范圍是(0,100).變式訓(xùn)練1 11100-1末尾連續(xù)零的個數(shù)為( )A.7 B.5 C.4 D.3解：11100-1=(10+1)100-1=10100+1099+10+-1.答案:D變式訓(xùn)練2 求證：nn-1-1能被(n-1)2整除(n3,nN*).證明：n3,nN*，故(n-1)+1n-1-1=(n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)2+(n-1)+-1= (n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)2+(n-1)2.由于上式各項都能被(n-1)2整除，所以當n3,nN*時，nn-1-1能被(n-1)2整除.【例3】 (1)求二項式()6的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù);(2)求()9的展開式中x3的系數(shù).思路分析:利用二項式定理求展開式中的某一項，可以通過二項展開式的通項公式進行求解，同時注意某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別.解:（1）T6=()()5=,第6項的二項式系數(shù)為=6,第6項的系數(shù)為2(-1)=-12.(2)設(shè)展開式中的第r+1項為含x3的項,則Tr+1=x9-r()r=(-1)rx9-2r,9-2r=3.r=3,即展開式中的第4項含x3,其系數(shù)為(-1)3=-84.綠色通道：求某項的二項式系數(shù)、系數(shù)或展開式中含xr的項的系數(shù)，主要是利用通項公式求出相應(yīng)的內(nèi)容.黑色陷阱：某項二項式系數(shù)與系數(shù)兩者概念出現(xiàn)混淆.變式訓(xùn)練 求(1-x)6(1+x)4的展開式中x3的系數(shù).解法一：(1-x)6(1+x)4=(1-x)(1+x)4(1-x)2=(1-x2)4(1-x)2=(1-x2+x4-x6+x8)(1-x)2,x3的系數(shù)為-(-2)=8.解法二：(1-x)6的通項為Tr+1=(-x)r=(-1)rxr,r0,1,2,3,4,5,6,(1+x)4的通項為Tk+1=xk,k0,1,2,3,4.令r+k=3,則x3的系數(shù)為-+-=8.【例4】 (1)求(x+2y)7展開式中系數(shù)最大的項;（2）求(x-2y)7展開式中系數(shù)最大的項.思路分析:要使第r項系數(shù)最大，則應(yīng)該滿足Tr+1的系數(shù)Tr的系數(shù),成立，同時還要注意各項系數(shù)的符號.解:（1）設(shè)r+1項系數(shù)最大，則有即又0r7,r=5.系數(shù)最大項為T6=x225y5=672x2y5.（2）展開式中共有8項，系數(shù)最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得，又因(x-2y)7括號內(nèi)兩項中后項系數(shù)絕對值大于前項系數(shù)的絕對值，故系數(shù)最大項必在中間或偏右，故只需比較T5和T7的大小即可.系數(shù)最大項為第五項,T5=C47(-2y)4x3=560x3y4.綠色通道：Tr+1與Tr+2、Tr系數(shù)的大小關(guān)系是研究求系數(shù)最值的有效方法，它利用的是增減性.變式訓(xùn)練 求(x-2y)7的展開式中系數(shù)最小的項.解:因為在(x-2y)7的展開式中，各項的二項式系數(shù)與項的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又展開式中二項式系數(shù)最大的項有兩項，分別為第四項T4=x4(-2y)3，第五項T5=x3(-2y)4,所以系數(shù)最小的項的系數(shù)為(-2)3=-280.【例5】已知(1-2y)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,(1)a1+a2+a3+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.思路分析:求恒等式的系數(shù)間的關(guān)系，一般采用賦值法，且常賦特殊值0，1，-1等，再注意適當組合.解: (1)令x=0,則a0=1;令x=1,則a0+a1+a2+a7=-1. a1+a2+a7=-1-1=-2.(2)令x=-1,則a0-a1+a2-+a6-a7=37. 由(-)2,得a1+a3+a5+a7=-1 094.（3）由（+）2，得a0+a2+a4+a6=1 093.綠色通道：一般地，對于多項式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+anxn,g(x)的各項的系數(shù)和為g(1);g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為g(1)+g(-1);g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為g(1)-g(-1).變式訓(xùn)練 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求a5.解：(1-2x)7的通項為Tr+1=(-2x)r，令r=5，可得a5=(-2)5=-480.問題探究問題1:二項式定理(a+b)n=+an-rbr+bn，從左到右是展開式，由簡變繁，從右到左則是由繁變簡，為什么要把二項式展開，化簡為繁呢？導(dǎo)思:一般地，化繁為簡是我們解題的基本思路，但有時候，化簡為繁也是一種創(chuàng)舉；探究:由簡變繁可以判斷二項式系數(shù)的關(guān)系，如=等，可以更深刻地理解組合數(shù)的一些性質(zhì).從左到右可以具體地觀察每一項的特征，比較二項式系數(shù)之間的大小關(guān)系，如n是偶數(shù)，則中間一項二項式系數(shù)最大等，如果給左邊賦值的話，會出現(xiàn)更有趣的一些結(jié)論，如2n=.從這個角度看，二項式定理的由簡變繁是為了更好地由繁變簡.問題2:在二項式定理這一節(jié)中，研究了二項式系數(shù)的三個性質(zhì)，那么研究二項式系數(shù)的意義是什么呢？導(dǎo)思:理解研究二項式系數(shù)的意義，應(yīng)從二項式定理的應(yīng)用這一點進行考慮，它會涉及到今后學(xué)習(xí)的內(nèi)容.探究:研究二項式系數(shù)的意