第十節(jié)三角恒等變換與求值

第十節(jié)三角恒等變換與求值【熱點聚焦】三角函數(shù)式的恒等變換與求值是高考考查的重點內容之一 通過本節(jié)的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍【基礎知識】1.任意角的三角函數(shù)：設是一個任意角，的終邊上任意一點P（x，y）與原點的距離是r（r=0），則sin=，cos=，tan=.上述三個比值不隨點P在終邊上的位置改變而改變.2.同角三角函數(shù)關系式：sin2+cos2=1；=tan；tancot=1.3.誘導公式：+2k（kZ）、2的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號. 即“函數(shù)名不變，符號看象限！”另外再加上：sin（）=cos，cos（）=sin.所以誘導公式即與之間函數(shù)值關系（kZ），其規(guī)律是“奇變偶不變，符號看象限”。4兩角和與差的三角函數(shù) 5倍角公式.6.幾個常用的派生公式（1）sincossincos（2）asinbcossin（）（其中）（3）asinbcoscos（1）（其中）（輔助角公式）（4）cos2；.（降冪公式）7 求值問題的基本類型 給角求值，給值求值，給式求值，求函數(shù)式的最值或值域，化簡求值 8 技巧與方法 要尋求角與角關系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準確地應用公式 注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用 對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法 求最值問題，常用配方法、換元法來解決【課前訓練】1（2006年福建卷）已知(,)，sin=,則tan()等于（）A. B.7 C. D.72（2006年湖北卷）若的內角滿足，則（）A. B C D3(2006年陜西卷)等式sin(+)=sin2成立是、成等差數(shù)列的( )A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件4（2006年重慶卷)已知，則 。5（2006年上海卷)如果，且是第四象限的角，那么 【試題精析】【例1】（2006年江蘇卷）【思路點撥】本題考查三角公式的記憶及熟練運用三角公式計算求值【解后反思】方法不拘泥,要注意靈活運用,在求三角的問題中,要注意這樣的口決“三看”即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計算角轉化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉化為相應的弦，或把所有的弦轉化為相應的切，(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉化一下角或轉換一下名稱,就可以使用.【例2】（2006年安徽卷）已知（）求的值；（）求的值?！纠?】（2006年天津卷）已知，求和的值【分析】本小題考查同角三角函數(shù)關系、兩角和公式、倍角公式等基礎知識，考查基本運算能力。【例4】.（2006年廣東卷）已知函數(shù).(I)求的最小正周期；(II)求的的最大值和最小值；(III)若，求的值.【例5】（2007年青島模擬試題）已知a=（cosx，sinx），b=（cos，sin），x0，.（1）求ab及|a+b|；（2）若f（x）=ab2|a+b|的最小值是，求的值.【例6】（2005年山東卷）已知向量，求的值.【針對練習】1（2006年全國II）函數(shù)ysin2xcos2x的最小正周期是（）（A）2 （B）4 （C） （D）2若f（tanx）=sin2x，則f（1）的值是A.sin2B.1C.D.13已知f（x）=，當（，）時，f（sin2）f（sin2）可化簡為A.2sinB.2cosC.2sinD.2cos4（2006年浙江卷）函數(shù)y=sin2+4sinx,x的值域是（）(A), (B), (C) (D)5（2006年重慶卷)若，,，則的值等于（A） （B） （C） （D）6(2006年重慶卷)已知，sin()= sin則cos=_.7(2006年上海卷)函數(shù)的最小正周期是_。8（2006年湖南卷）已知則.9(2006年上海卷)已知是第一象限的角，且，求的值。10（2005年天津卷）已知.第十節(jié)參考答案【課前訓練】1答案：A解析：由則，=，選A.2答案：A解析：由sin2A2sinAcosA0，可知A這銳角，所以sinAcosA0，又，故選A3答案：A解析：若等式sin(+)=sin2成立，則+=k+(1)k2，此時、不一定成等差數(shù)列，若、成等差數(shù)列，則2=+，等式sin(+)=sin2成立，所以“等式sin(+)=sin2成立”是“、成等差數(shù)列”的必要而不充分條件。選A4答案：2解析：由，cosa，所以2.5答案：解析：已知【試題精析】【例1】【解】【例2】【解】()由，得，所以.（），【例3】【解】解法一：由得則因為所以解法二：由得解得或由已知故舍去得因此，那么且故【例4】【解】（）的最小正周期為;（）的最大值為和最小值；（）因為，即,即 【例5】【解】（1）ab=cosxcossinxsin=cos2x.|a+b|=2=2cosx（x0，）.（2）f（x）=cos2x4cosx=2（cosx）2122.x0，cosx0，1.當0，cosx=0時，f（x）min=1，矛盾.當01，cosx=時，f（x）min=122，由122=，得=.當1，cosx=1時，f（x）min=14，由14=，得=1，矛盾.綜上，=為所求.【例6】解法一： 由已知，得，又 所以.。題你v 解法二： 由已知，得, 【針對練習】1答案：D解析: 所以最小正周期為,故選D2答案：B解析：f（1）=ftan（）=sin=1.3答案：D解析：f（sin2）f（sin2）=sincossin+cos.（，），1sincos0.cossin0，cos+sin0.原式=cossin+cos+sin=2cos.4答案C解析：，故選擇C。【名師點拔】本題是求有關三角函數(shù)的值域的一種通法，即將函數(shù)化為或的模式。5解：由，則，又 ，所以，解得，所以 ，故選B6答案：解析： ， ，則=7.答案：解析：函數(shù)=sin2x，它的最小正周期是.8.答案： 解析：由已知條件得.即.解得.由