2019_2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一課考點突破素養(yǎng)提升新人教A版必修2.docx

第一課考點突破素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運算角度1平面向量的運算 【典例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，且滿足=，=2，記=a，=b，試以a，b為平面向量的一組基底.利用向量的有關(guān)知識解決下列問題.(1)用a，b來表示向量與.(2)若|=3，|=2，且|=3，求|.【解析】(1)=+=+12=-12=a-12b，=+=+13=-13=b-13a.(2)由(1)可知：=-13，=-12，所以=-23+19，因為|=3，|=2，且|=3，所以32=22-2323cosBAD+1932，所以cosBAD=12，所以=-+14，=32-32cosBAD+1422，=9-612+1=7，所以=7.【類題通】1.向量的線性運算的求解方法(1)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.2.平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab=|a|b|cos.(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則ab=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.【加練固】正方形ABCD的邊長為2，點E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上一點，若=，則=()A.3B.5C.32D.52【解析】選D.如圖：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立坐標系，因為E為BC邊的中點，所以E(2，1)，因為F為CD邊上一點，所以可設(shè)F(t，2)(0t2)，所以=(t，2)，=(2，1)，由=可得：2t+2=22+1=5，所以t=32，所以=32,2，所以=322+22=52.角度2利用正、余弦定理解三角形【典例2】(1)(2019大慶高一檢測)在ABC中，若A=60，a=43，b=42，則B等于()A.45或135B.135C.45D.以上答案都不對(2)在ABC中，若a=8，b=7，cos C=1314，則最大角的余弦值是()A.-15B.-16C.-17D.-18(3)在ABC中，點D在BC邊上，cosADB=-210，cos C=35，AC=7.求sinCAD的值；若BD=10，求AD的長.【解析】(1)選C.由正弦定理得sin B=bsinAa=42sin60擄43=22，又因為bc，已知=2，cos B=13，b=3.求：(1)a和c的值.(2)cos(B-C)的值.【解析】(1)由=2得cacos B=2.又cos B=13，所以ac=6.由余弦定理，得a2+c2=b2+2accos B.又b=3，所以a2+c2=9+2613=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因為ac，所以a=3，c=2.(2)在ABC中，sin B=1-cos2B=1-132=223，由正弦定理，得sin C=cbsin B=23223=429.因為a=bc，所以C為銳角，因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.素養(yǎng)二直觀想象角度平面向量在解三角形中的應(yīng)用【典例5】已知點O是ABC內(nèi)部一點，并且滿足+2+3=0，BOC的面積為S1，ABC的面積為S2，則S1S2=()A.16B.13C.23D.34【解析】選A.因為+2+3=0，所以+=-2，分別取AC，BC的中點D，E，則+=2，+=2，所以=-2，即O，D，E三點共線且=2，如圖所示，則SOBC=13SDBC，由于D為AC中點，所以SDBC=12SABC，所以SOBC=16SABC，即S1S2=16.【類題通】數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應(yīng)用(1)向量的線性運算中，三角形、平行四邊形法則、數(shù)乘向量都讓向量具備形的特征，解此類問題的關(guān)鍵往往是利用圖形直觀地進行分析，如典例5中，通過對已知向量表達式的變形，推出BOC與ABC的面積之間的關(guān)系.(2)向量的數(shù)量積運算中，首先要注意向量投影的應(yīng)用，其次向量的數(shù)量積可處理線段的長度、兩直線夾角問題.【加練固】 如圖，已知AB為圓C的一條弦，且=2，則=_.【解析】過點C作CDAB于D，則D為弦AB的中點，在RtACD中，AD=12AB，cosCAB=12，=cosCAB=12=2，所以=2.答案：2素養(yǎng)三邏輯推理角度1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例6】已知ABC，點H，O為ABC 所在平面內(nèi)的點，且=，=，+=，則點O為ABC 的()A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心【解析】選B.因為=，所以=0，即=0，又+=，所以+=-，即=+，所以=0，即=0，所以=，所以O(shè)B=OC，同理OA=OC，所以O(shè)是ABC 的外心.【類題通】向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，為實數(shù).(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：aba=b(b0)x1y2-x2y1=0.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì)：ab ab=0 x1x2+y1y2=0.(3)求夾角問題，利用夾角公式：cos =x1x2+y1y2x12+y12x22+y22(為a與b的夾角).【加練固】若O為ABC 所在平面內(nèi)一點，=0 ，則ABC 的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.以上答案均錯【解析】選A.=0，設(shè)D為AB的中點，則+=2，所以2=0，所以，所以ABC的中線與底邊垂直，所以ABC是等腰三角形.角度2利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀【典例7】已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a+c=2b，2cos 2B-8cos B+5=0，求角B的大小并判斷ABC的形狀.【解析】因為2cos 2B-8cos B+5=0，所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.所以4cos2B-8cos B+3=0，即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.解得cos B=12或cos B=32(舍去).因為0B，所以B=.因為a+c=2b.由正弦定理，得sin A+sin C=2sin B=2sin=3.所以sin A+sin=3，所以sin A+sin2蟺3cos A-cos2蟺3sin A=3.化簡得32sin A+32cos A=3，所以sinA+蟺6=1.因為0A2蟺3，所以A+0A為銳角，b2+c2-a2=0A為直角，b2+c2-a20A為鈍角.【加練固】在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小.(2)若sin B+sin C=1，試判斷ABC的形狀.【解析】(1)由已知和正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=-12，又0A180，所以A=120.(2)由a2=b2+c2+bc得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C，由sin B+sin C=1得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1.由及sin A=32，得sin Bsin C=14.又sin B+sin C=1，故sin B=sin C=12.因為0B90，0C90，故B=C=30，所以ABC是等腰的鈍角三角形.素養(yǎng)四數(shù)學(xué)建模角度利用正弦、余弦定理解實際應(yīng)用題【典例8】(2019福州高一檢測)如圖所示，A，B，C為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂P處測得三點的俯角分別為，.計劃沿直線AC開通穿山隧道，請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計算隧道DE的長度.cos ADEBBC456045 532 32 12-33【解析】由cos =45，為銳角可得，sin =35，則sin(60-)=sin 60cos -cos 60sin =43-310.在PBC中，BPC=60-，PCB=，BC=12-33.由正弦定理可得，PB=(12-33)脳3543-310=63.在PAB中，PAB=45，APB=75，PB=63.由正弦定理可得，AB=9+33，即DE=AB-AD-EB=9所以，隧道DE的長度為9.【類題通】1.幾種常見題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題等.2.解題時需注意的幾個問題(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能準確地找出(或作出)這些角；(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決.【加練固】 如圖，A，C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時從A島出發(fā)，以10海里/小時的速度，沿北偏東75方向直線航行，下午1時到達B處.然后以同樣的速度，沿北偏東15方向直線航行，下午4時到達