13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑的問題.docx

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題教學(xué)設(shè)計 杜爾門沁學(xué)校 張娜一、分析1、教學(xué)目標(biāo)：（1）能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟化歸思想；（2）. 能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”、“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟“轉(zhuǎn)化”作用。2、重點(diǎn)難點(diǎn)： 重點(diǎn)：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn) 難點(diǎn)：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題，邏輯推理證明所求距離最短.3、學(xué)情分析： 由于八年級學(xué)生首次遇到某條線段或線段和最小，所以無從下手，另外證明兩條線段和最小時要選取另外一點(diǎn)，學(xué)生想不到、不會用，所以利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題，邏輯推理證明所求距離最短是本節(jié)課的難點(diǎn)。4、教材分析： 教科書在這一節(jié)中安排了兩個問題，分別是“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”，解決這兩個問題的關(guān)鍵是通過軸對稱和平移等變化把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題，在解決這兩個問題的過程中滲透了化歸的思想。5、教學(xué)方法： 采用“引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)模式，突出學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，注重思維習(xí)慣的培養(yǎng)，為學(xué)生搭建參與和交流的平臺。6、 學(xué)法指導(dǎo)： 實(shí)踐操作、發(fā)現(xiàn)法、練習(xí)法、合作學(xué)習(xí)。突出探究與發(fā)現(xiàn)，思考與歸納提升，在動手探究、自主思考、互動交流中，獲取本節(jié)課的知識與方法7、 教學(xué)資源： 借助PPT課件展示引例及變式訓(xùn)練題組，增大課堂容量，吸引學(xué)生眼球，最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)效率。8、 教學(xué)評價： 評價量規(guī)：隨堂提問、動手實(shí)踐、操作演練、練習(xí)反饋；9、 評價策略： 堅(jiān)持“及時評價與激勵評價相結(jié)合，定量化評價與定性化評價相統(tǒng)一”的原則，最大限度地做到面向全體學(xué)生，充分關(guān)注學(xué)生的個性差異，將學(xué)生自評、生生互評和教師概括引領(lǐng)、激勵測進(jìn)式點(diǎn)評有機(jī)結(jié)合，既有即興評價，又有概要性評價；既有學(xué)生的自評，又有師生、生生之間的互評，力求在評價中幫助學(xué)生認(rèn)識自我、建立自信，使其逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。二、教學(xué)過程教學(xué)活動【活動1】創(chuàng)設(shè)情境、引入新課請一位同學(xué)把你的筆記本拿給老師好嗎？謝謝，請問，你剛才為什么要選擇從這條路徑走，而不是繞外圍呢？同學(xué)們，你們能用我們的數(shù)學(xué)知識來解釋這個生活常識嗎？現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常涉及到選擇最短路徑問題，今天我們將利用大家前一階段所學(xué)的知識解決生活中的實(shí)際問題：13.4 最短路徑問題【活動2】嘗試探究，解決問題問題1如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？為什么這樣做就能得到最短距離呢？ 教師出示問題1，學(xué)生先閱讀明確題意。 思考：怎樣把這個實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題？已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。（連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求。）道理：兩點(diǎn)之間，線段最短?？偨Y(jié)：求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求問題2相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：看圖：從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？做法：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l相交于點(diǎn)C則點(diǎn)C即為所求證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合），連接AC，BC，BC由軸對稱的性質(zhì)知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC思考：證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BCAC+BC？這里的“C”的作用是什么？答：若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小教師出示問題2，學(xué)生先閱讀明確題意。追問1：這是一個實(shí)際問題，你打算首先做什么？追問2：你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（將A，B兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河l抽象為一條直線）（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C為直線上的一個動點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）追問3：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？（1）對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB的長度相等？（2）你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點(diǎn)B嗎？分析：先確定其中一個點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，然后連接對稱點(diǎn)和另一個點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題.（師講解做法見左欄）追問4：你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？（學(xué)生先思考，教師視情況點(diǎn)撥提示，講解證法） 總結(jié)：求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求 運(yùn)用軸對稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小這個核心，所有作法都相同問題3（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，2.連接AE交河對岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BNEM且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DBAM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。 警誤區(qū)利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、 利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求審題不清導(dǎo)致答非所問教師出示問題3，學(xué)生先閱讀明確題意。 同上引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后引導(dǎo)分析思路，找出方法。思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此時兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時不難說明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋 總結(jié)：選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個點(diǎn)的對稱點(diǎn)來解決 解決連接河兩岸的兩個點(diǎn)的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題 在解決