浙江省杭州市高一下期末數學試卷含答案解析

2014年浙江省杭州市高一（下）期末數學試卷 一、選擇題（共 25 小題，每小題 2分，滿分 55分） 1 函數 f（ x） = 的定義域是（ ） A 1， +） B（ 1， +） C（ 0， 1） D 0， 1 2 函數 f（ x） =xR 的一個對稱中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 3 設向量 =（ m， 2）（ m0）， =（ n， 1），若 ，則 =（ ） A B C 2 D 2 4 函數 f（ x） =x 2 的零點位于區(qū)間（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5 已知冪函數 f（ x） =kR， R）的圖象過點（ ， ），則 k+=（ ） A B 1 C D 2 6 在區(qū)間（ 1， 1）上單調遞增且為奇函數的是（ ） A y=x+1） B y= y=x y=3x+ 若向量 = 2， | |=4， | |=1，則向量 ， 的夾角為（ ） A B C D 8 設函數 f（ x） =x2+aR，則（ ） A存在實數 a，使 f（ x）為偶函數 B存在實數 a，使 f（ x）為奇函數 C對于任意實數 a， f（ x）在（ 0， +）上單調遞增 D對于任意實數 a， f（ x）在（ 0， +）上單調遞減 9 若偶函數 f（ x）在區(qū)間（ ， 0上單調遞減，且 f（ 7） =0，則不等式（ x 1） f（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 1） （ 1， +） B（ ， 7） （ 7， +） C（7， 1） （ 7， +） D（ 7， 1 （ 7， +） 10 函數 f（ x） =xR 的最大值為 ，則實數 a 的值 為（ ） A 2 B 2 C 2 D 11 函數 f（ x） =函數 g（ x） =2x 的圖象的交點的個數是（ ） A 1 B 3 C 5 D 7 12 設 a=b=， c= 2，則（ ） A a b c B b a c C a c b D c b a 13 函數 y=圖象可以由函數 y=圖象經過下列哪種變 換得到（ ） A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移 14 函數 f（ x） =）的圖象大致是（ ） A B C D 15 設函數 f（ x） = ， |x 2|，其中 a， b|= 若函數 y=f（ x） x1+x2+取值范圍是（ ） A（ 2， 6 2 ） B（ 2， +1） C（ 4， 8 2 ） D （ 0， 4 2 ） 16 設 M 是 任意一點， N 為 一點且 ，則 +=（ ） A B C 1 D 17 計算： =（ ） A B C D 18 若函數 f（ x） =2x+1 在區(qū)間 a， a+2上的最小值為 4，則 a 的取值集合為（ ） A 3， 3 B 1， 3 C 3， 3 D 1， 3， 3 19 若不等式 |3 的解集為 x| 2x1，則實數 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 20 如圖，己知 | |=5， | |=3， 銳角， 分 N 為線段 中點，=x +y ，若點 P 在陰影部分（含邊界）內，則在下列給出的關于 x、 y 的式子中，x0， y0； x y0； x y0； 5x 3y0； 3x 5y0滿足題設條件的為（ ）A B C D 21 設不等式 4x m（ 4x+2x+1） 0 對于任意的 x0， 1恒成立，則實數 m 的取值范圍是（ ）A（ ， B C D ， +） 22 設 O 為 外心（三角形外接圓的心），若 = | |2，則 =（ ） A 1 B C 2 D 23 設函數 f（ x） = 若方程 f（ x） =1 有 3 個不同的實數根，則實數a 的取值范圍是（ ） A（ 1， +） B 1 （ 1， +） C（ ， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 24 函數 的值域為（ ） A 1， B 1， C 1， D 1， 2 25 在 ， ，若 G， O 分別為 重心和外心，且 =6，則 形狀是（ ） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D上述三種情況都有可能 二、填空題（共 5小題，每小題 3分，滿分 15分） 26 若函數 f（ x） =2x）（ 0）的最小正周期為 ，則 = 27 設 ，則 2 28 計算： 29 已知 A、 B、 C 是單位圓上三個互不相同的點，若 | |=| |，則 的最小值是 30 若函數 f（ x） = a 存在零點，則實數 a 的取值范圍是 三、解答題（共 3小題，滿分 30分） 31 已知向量 ， 如圖所示 （ ）作出向量 2 （請保留作圖痕跡）； （ ）若 | |=1， | |=2，且 與 的夾角為 45，求 與 的夾角的余弦值 32 設 是三角形的一個內角，且 ） = ） （ ）求 （ ）求函數 f（ x） =41 的最大值 33 設函數 f（ x） =（ x 2） |x| a|， a 0 （ ）當 a=3 時，求 f（ x）的單調遞增區(qū)間； （ ）求 f（ x）在 3， 3上的最小值 2014年浙江省杭州市高一（下）期末數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 25 小題，每小題 2分，滿分 55分） 1 函數 f（ x） = 的定義域是（ ） A 1， +） B（ 1， +） C（ 0， 1） D 0， 1 【考點】 函數的定義域及其 求法 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 根據函數成立的條件即可求函數的定義域 【解答】 解：要使函數有意義，則 x 10， 即 x1， 故函數的定義域為 1， +）， 故選： A 【點評】 本題主要考查函數的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數成立的條件 2 函數 f（ x） =xR 的一個對稱中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考點】 正弦函數的圖象 【專題】 三角函數的圖像與性質 【分析】 由條件利用余弦函數的圖象的對稱性求得函數的對稱中心，從而得出結論 【解答】 解：對于函數 f（ x） =xR，令 2x=kz， 求得 x= ，故函數的對稱中心為（ ， 0）， kz， 故選： D 【點評】 本題主要考查余弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題 3 設向量 =（ m， 2）（ m0）， =（ n， 1），若 ，則 =（ ） A B C 2 D 2 【考點】 平面向量共線（平行）的坐標表示 【專題】 計算題；平面向量及應用 【分析】 根據兩向量平行的坐標表示，列出方程，求出 m 的值 【解答】 解： 向量 =（ m， 2）（ m0）， =（ n， 1）， 且 ， 1m 2n=0 = 故選： B 【點評】 本題考查了平面向量的坐標運算問題，是基礎題目 4 函數 f（ x） =x 2 的零點位于區(qū)間（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考點】 函數零點的判定定理 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 求導 函數，確定函數 f（ x） =x 2 單調增，再利用零點存在定理，即可求得結論 【解答】 解：求導函數，可得 f（ x） = +1， x 0， f（ x） 0， 函數 f（ x） =x 2 單調增 f（ 1） = 2= 1 0， f（ 2） =0 函數在（ 1， 2）上有唯一的零點 故選： B 【點評】 本題考查函數的零點，解題的關鍵是確定函數的單調性，利用零點存在定理進行判斷 5 已知冪 函數 f（ x） =kR， R）的圖象過點（ ， ），則 k+=（ ） A B 1 C D 2 【考點】 冪函數的概念、解析式、定義域、值域 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 根據冪函數 f（ x）的定義與性質，求出 k 與 的值即可 【解答】 解： 冪函數 f（ x） =kR， R）的圖象過點（ ， ）， k=1， = ， = ； k+=1 = 故選 ： A 【點評】 本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題，是基礎題 6 在區(qū)間（ 1， 1）上單調遞增且為奇函數的是（ ） A y=x+1） B y= y=x y=3x+考點】 函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 利用奇偶函數的定義判斷奇偶性，再確定函數的單調性，即可得到結論 【解答】 解：對于 A，函數不是奇函數，在區(qū)間（ 1， 1）上是增函數，故不正確； 對于 B，函數是偶函數 ，故不正確； 對于 C，函數是奇函數，因為 y=1 3以函數在區(qū)間（ 1， 1）不恒有 y 0，函數在區(qū)間（ 1， 1）上不是單調遞增，故不正確； 對于 D，以 y=3x+奇函數，且 y=3+0，函數在區(qū)間（ 1， 1）上是單調遞增，故 D 正確 故選： D 【點評】 本題考查函數單調性與奇偶性的結合，正確運用定義是關鍵 7 若向量 = 2， | |=4， | |=1，則向量 ， 的夾角為（ ） A B C D 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 平面向量及應用 【分析】 根據平面向量的數量積公式求向量的夾角 【解答】 解：由已知向量 = 2， | |=4， | |=1，則向量 ， 的夾角的余弦值為：，由向量的夾角范圍是 0， ， 所以向量 ， 的夾角為 ； 故選： A 【點評】 本題考查了利用平面向量的數量積公式求向量的夾角；熟記公式是關鍵 8 設函數 f（ x） =x2+aR，則（ ） A存在實數 a，使 f（ x） 為偶函數 B存在實數 a，使 f（ x）為奇函數 C對于任意實數 a， f（ x）在（ 0， +）上單調遞增 D對于任意實數 a， f（ x）在（ 0， +）上單調遞減 【考點】 函數奇偶性的性質；函數單調性的性質 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 根據偶函數、奇函數的定義，二次函數的單調性即可判斷每個選項的正誤 【解答】 解： A a=0 時， f（ x） =偶函數， 該選項正確； B若 f（ x）為奇函數， f（ x） = ， x0 時顯然 不成立； 該選項錯誤； C f（ x）的對稱軸為 x= ； 當 a 0 時， f（ x）在（ 0， +）沒有單調性， 該選項錯誤； D根據上面 a 0 時， f（ x）在（ 0， +）上沒有單調性， 該選項錯誤 故選 A 【點評】 考查偶函數、奇函數的定義，以及二次函數單調性的判斷方法 9 若偶函數 f（ x）在區(qū)間（ ， 0上單調遞減，且 f（ 7） =0，則不等式（ x 1） f（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 1） （ 1， +） B（ ， 7） （ 7， +） C（7， 1） （ 7， +） D（ 7， 1 （ 7， +） 【考點】 奇偶性與單調性的綜合 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 根據函數奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可 【解答】 解： 偶函數 f（ x）在區(qū)間（ ， 0上單調遞減，且 f（ 7） =0， f（ x）在區(qū)間 0， +）上單調遞增，且 f（ 7） =f（ 7） =0， 即 f（ x）對應的圖象如圖： 則不等式（ x 1） f（ x） 0 等價為： 或 ， 即 或 ， 即 x 7 或 7 x 1， 故選： C 【點評】 本題主要考查不等式的求解，利用函數奇偶性和單調性的性質是解決本題的關鍵10 函數 f（ x） =xR 的最大值為 ，則實數 a 的值為（ ） A 2 B 2 C 2 D 【考點】 兩角和與差的正弦函數 【專題】 計算題；三角函數的圖像與性質 【分析】 通過輔助角公式，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過函數的最大值求出 a 【解答】 解：函數 f（ x） =2x+），其中 ， （ 2 分） 因為函數 f（ x） =最大值為 ， = ，解得 a=2 故選： C （ 4 分） 【點評】 本題主要考查了正弦函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題 11 函數 f（ x） =函數 g（ x） =2x 的圖象的交點的個數是（ ） A 1 B 3 C 5 D 7 【考點】 正弦函數的圖象 【專題】 三角函數的圖像與性質 【分析】 在同一個坐標系中分別畫出函數 f（ x） =函數 g（ x） =2x 的圖象，數形結合可得它們的圖象的交點個數 【解答】 解：在同一個坐標系中分別畫出函數 f（ x） =函數 g（ x） =2x 的圖象， 如圖所示， 結合圖象可得它們的圖象的交點個數為 1， 故選： A 【點評】 本題主要考查正弦函數的圖 象特征，體現了數形結合的數學思想，屬于基礎題 12 設 a=b=， c= 2，則（ ） A a b c B b a c C a c b D c b a 【考點】 對數值大小的比較 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 根據對數函數和冪函數的性質求出， a， b， c 的取值范圍，即可得到結論 【解答】 解： 1， 0， 0 2 1， 即 a 1， b 0， 0 c 1， a c b， 故選： C 【點評】 本題主要考查函數值的大小比較，利用對數函數和冪函數的性質是解決本題的關鍵，比較基礎 13 函數 y=圖象可以由函數 y=圖象經過下列哪種變換得到（ ） A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移 【考點】 函數 y=x+）的圖象變換 【專題】 三角函數的圖像與性質 【分析】 根據函數 y=2x+ ）， y=），利用 y=x+）的圖象變化規(guī)律，可得結論 【解答】 解： y=2x+ ）， y=）， 又 y= （ x ） + = 2x ） = + 2x） = ）， 函數 y=圖象向右平移 可得函數 y=圖象 故選： A 【點評】 本題主要考查兩角和差的正弦公式， y=x+）的圖象變化規(guī)律，屬于基礎題 14 函數 f（ x） =）的圖象大致是（ ） A B C D 【考點】 函數的圖象 【專題】 函數的性質及應用 【 分析】 1，又 y=（ 0， +）單調遞增， y=） ，函數的圖象應在 x 軸的上方， 在令 x 取特殊值，選出答案 【解答】 解： 1，又 y=（ 0， +）單調遞增， y=） ， 函數的圖象應在 x 軸的上方，又 f（ 0） =0+1） =， 圖象過原點， 綜上只有 A 符合 故選： A 【點評】 對于函數的選擇題，從特殊值、函數的性質入手，往往事半功倍，本題屬于低檔題15 設函數 f（ x） = ， |x 2|，其中 a， b|= 若函數 y=f（ x） x1+x2+取值范圍是（ ） A（ 2， 6 2 ） B（ 2， +1） C（ 4， 8 2 ） D（ 0， 4 2 ） 【考點】 函數零點的判定定理 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 先比較 2 與 |x 2|的大小以確定 f（ x）的解析式，然后結合函數的圖象即可判斷符合條件的 m 的范圍，求出 值從而求出 x1+x2+ 【解答】 解：令 y=f（ x） m=0，得： f（ x） =m， 由 2 |x 2|可得 8x+40，解可得 4 2 x4+2 ， 當 4 2 x4+2 時， 2 |x 2|，此時 f（ x） =|x 2| 當 x 4+2 或 0x 4 3 時， 2 |x 2|，此時 f（ x） =2 ， 其圖象如圖所示， ， f（ 4 2 ） =2 2， 由圖象可得，當直線 y=m 與 f（ x）圖象有三個交點時 m 的范圍為： 0 m 2 2， 不妨設 0 2 則由 2 =m 得 ， 由 |2|=2 x2=m，得 m， 由 |2|=2=m，得 x3=m+2， x1+x2+2 m+m+2= +4， 當 m=0 時， +4=4， m=2 2 時， +4=8 2 ， 4 x1+x2+8 2 故選： C 【點評】 本題以新定義為載體，主要考查了函數的交點個數的判斷，解題的關鍵是結合函數的圖象 16 設 M 是 任意一點， N 為 一點且 ，則 +=（ ） A B C 1 D 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 【專題】 平面向量及應用 【分析】 利用平面向量基本定理，用 、 表示出 、 ，從而得出結論 【解答】 解：如圖所示， M 是 任意一點， 設 =m +n ， 則 m+n=1， 又 = ， = = m + n = + ， += （ m+n） = 故選： B 【點評】 本題考查了平面向量基本定理的應用問題，解題的關鍵是用 、 表示出向量 ，屬于基礎題 17 計算： =（ ） A B C D 【考點】 三角 函數中的恒等變換應用 【專題】 計算題；三角函數的求值 【分析】 利用誘導公式，倍角公式，同角三角函數關系式將所求式子轉化為 10角的正弦函數值，即可得解 【解答】 解： = = 故選： A 【點評】 本題主要考查了誘導公式，倍角公式，同角三角函數關系式的應 用，屬于基礎題18 若函數 f（ x） =2x+1 在區(qū)間 a， a+2上的最小值為 4，則 a 的取值集合為（ ） A 3， 3 B 1， 3 C 3， 3 D 1， 3， 3 【考點】 二次函數在閉區(qū)間上的最值 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 配方法得到函數的對稱軸為 x=1，將對稱軸移動，討論對稱軸與區(qū)間 a， a+2的位置關系，合理地進行分類，從而求得函數的最小值 【解答】 解： 函數 f（ x） =2x+1=（ x 1） 2，對稱軸 x=1， 區(qū)間 a， a+2上的最小值為 4， 當 1a 時， f（ a） =（ a 1） 2=4， a= 1（舍去）或 a=3， 當 a+21 時，即 a 1， f（ a+2） =（ a+1） 2=4， a=1（舍去）或 a= 3， 當 a a a+2 時， f（ 1） =04， 故 a 的取值集合為 3， 3 故選： C 【點評】 配方求得函數的對稱軸是解題的關鍵由于對稱軸所含參數不確定，而給定的區(qū)間是確定的，這就需要分類討論利用函數的圖象將對稱軸移動，合理地進行分類，從而求得函數的 最值，當然應注意若求函數的最大值，則需按中間偏左、中間偏右分類討論 19 若不等式 |3 的解集為 x| 2x1，則實數 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 絕對值不等式的解法 【專題】 不等式的解法及應用 【分析】 由題意可得 3，即 2x1，由此可得 a 的值 【解答】 解：由題意可得，不等式 |3，即 33，即 4，即 2x1， a=2， 故選： B 【點評】 本題主要 考查絕對值不等式的解法，屬于基礎題 20 如圖，己知 | |=5， | |=3， 銳角， 分 N 為線段 中點，=x +y ，若點 P 在陰影部分（含邊界）內，則在下列給出的關于 x、 y 的式子中，x0， y0； x y0； x y0； 5x 3y0； 3x 5y0滿足題設條件的為（ ）A B C D 【考點】 向量的線性運算性質及幾何意義 【專題】 平面向量及應用 【分析】 利用向量共線定理，及三角形法則，將向量 表示出來， 的系數對應等于 x， y由此即可解題 【解答】 解 ：設線段 交點為 C， 則由向量共線定理知：存在實數 ， ，其中 0， = = ， 共線， 存在實數 ，使得 ， N 為 中點， 又 | |=5， | |=3， 分 由正弦定理知， M= 故 ， = = x=（ 1 ）， y=， x0， y0； x y=（ 1 2） 0； 5x 3y=（ 5 8） 0 故選： B 【點評】 本題主要考察了平面向量的共線定理以及向量的三角形法則，并涉及到了正弦定理，難度較大，屬于難題 21 設不等式 4x m（ 4x+2x+1） 0 對于任意 的 x0， 1恒成立，則實數 m 的取值范圍是（ ）A（ ， B C D ， +） 【考點】 指數函數綜合題 【專題】 計算題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用 【分析】 把已知不等式變形，分離參數 m，然后結合指數式的值域，利用配方法求得的范圍得答案 【解答】 解：由 4x m（ 4x+2x+1） 0，得 m（ 4x+2x+1） 4x， 即 m = ， x0， 1， ， 1， 則 ， ， 則 m 故選： A 【點評】 本題考查恒成立問題，考查了分離變量法，訓練了利用配方法求函數的最值，是中檔題 22 設 O 為 外心（三角形外接圓的心），若 = | |2，則 =（ ） A 1 B C 2 D 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 平面向量及應用 【分析】 利用三角形的外心，得到 ， ， 兩式平方相減化簡，得到 2 ，又 = | |2，得到 關系 【解答】 解：因為 O 是三角形的外心，所以 ， ， ，兩式平方相減得 2 ，即2 ， 又 = | |2，所以 2 ，所以 ； 故選： B 【點評】 本題考查了三角形外心性質以及向量數量積等運算；考查學生的運算能力；屬于中檔題 23 設函數 f（ x） = 若方程 f（ x） =1 有 3 個不同的實數根，則實數a 的取值范圍是（ ） A（ 1， +） B 1 （ 1， +） C（ ， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 【考點】 根的存在性及根的個數判斷 【專題】 計算題；作圖題；函數的性質及應用 【分析】 當 x 0 時，由 f（ x） = 得 x= 1；從而可得，當 0x時，方程 有 2個不同的解；作函數 y= 0x）的圖象，結合圖象求解即可 【解答】 解：當 x 0 時， f（ x） =，解得， x= 1； 方程 f（ x） =1 有 3 個不同的實數根， 當 0x時，方程 f（ x） =1 可化為 ； 顯然可知 a=0 時方程無解； 故方程可化為 ，且有 2 個不同的解； 作函數 y= 0x）的圖象如下， 結合圖象可得， 0 1 或 1 0； 解得， a（ ， 1） （ 1， +）； 故選 D 【點評】 本題考查了分段函數的應用及方程的根與函數的圖象的交點的應用，同時考查了數形結合的思想應用，屬于中檔題 24 函數 的值域為（ ） A 1， B 1， C 1， D 1， 2 【考點】 函數的值域 【專題】 綜合題；壓軸題； 轉化思想；綜合法 【分析】 先求出函數的定義域，觀察發(fā)現，根號下兩個數的和為 1，故可令則問題可以轉化為三角函數的值域問題求解，易解 【解答】 解：對于 f（ x），有 3x4，則 0x 31， 令 ， 則= ， 函數 的值域為 1， 2 故選 D 【點評】 本題考查求函數的值域，求解的關鍵是觀察到問題可以轉化為三角函數求解，注意本題轉化的依據，兩數的和為 1，此是一個重要的可以轉化為三角函數的標志，切記 25 在 ， ，若 G， O 分別為 重心和外心，且 =6，則 形狀是（ ） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D上述三種情況都有可能 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 平面向量及應用 【分析】 在 ， G， O 分別為 重心和外心，取 中點為 D，連接 D、 用重心和外心的性質，運用向量的三角形法則和中點的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，可得 2 = 36，又 ，則有 | |=| |2+| |2，運用勾股定理逆定理即可判斷三角形的形狀 【解答】 解：在 ， G， O 分別為 重心和外心， 取 中點為 D，連接 圖： 則 ， ， 由 =6， 則（ ） = = （ ） =6， 即 （ ）（ ） =6，則 ， 又 ， 則有 | |=| |2+| |2， 即有 C 為直角 則三角形 直角三角形 故選： C 【點評】 本題考查向量的數量積的性質和運用，主要考查向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，運用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀 二、填空題（共 5小題，每小題 3分，滿分 15分） 26 若函數 f（ x） =2x）（ 0）的最小正周期為 ，則 = 4 【考點】 三角函數的周期性及其求法 【專題】 計算題；三角函數的圖像與性質 【分析】 由三角函數的周期性及其求法可得 T= = ，即可解得 的值 【解答】 解：由三角函數的周期性及其求法可得： T= = ， 解得： =4 故答案為： 4 【點評】 本題 主要考查了三角函數的周期性及其求法，屬于基本知識的考查 27 設 ，則 2 【考點】 同角三角函數基本關系的運用 【專題】 三角函數的求值 【分析】 原式分母看做 “1”，利用同角三角函數間的基本關系化簡，把 值代入計算即可求出值 【解答】 解： ， 原式 = = = = ， 故答案為： 【點評】 此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵 28 計算： 【考點】 對數的運算性質 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 根據對數的運算性質計算即可 【解答】 解： 2= ， 故答案為： 【點評】 本題考查了對數的運算性質，屬于基礎題 29 已知 A、 B、 C 是單位圓上三個互不相同的點，若 | |=| |，則 的最小值是 【考點】 平面向量數量積的運算 【專題】 平面向量及應用 【分析】 如圖所示，取 =（ 1， 0），不妨設 B（ （ （ 0， ）由于 ，可得 C（ 再利用數量積運算、二次函數的單調性、余弦函數的單調性即可得出 【解答】 解：如圖所示，取 =（ 1， 0），不妨設 B（ （ （ 0， ） ， C（ =（ 1， 1， =（ 1） 2 = ， 當且僅當 ，即 時，上式取得最小值 即 的最小值是 故答案為： 【點評】 本題考查了數量積運算、二次函數的單調性、余弦函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題 30 若函數 f（ x） = a 存在零點，則實數 a 的取值范圍是 （1， 1） 【考點】 函數零點的判定定理 【專題】 計算題；數形結合；函數的性質及應用 【分析】 化簡 a= ，從而利用其幾何意義及數形結合的思想求解 【解答】 解：由題意得， a= = ； 表示了點 A（ ， ）與點 C（ 3x， 0）的距離， 表示了點 B（ ， ）與點 C（ 3x， 0）的距離， 如下圖， 結合圖象可得， | | 即 1 1， 故實數 a 的取值范圍是（ 1， 1） 故答案為：（ 1， 1） 【點評】 本題考查了數形結合的思想應用 三、解答題（共 3小題，滿分 30分） 31 已知向量 ， 如圖所示 （ ）作出向量 2 （請保留作圖痕跡）； （ ）若 | |=1， | |=2，且 與 的夾角為 45，求 與 的夾角的余弦值 【考點】 向量的線性運算性質及幾何意義 【專題】 平面向量及應用 【分析】 （ I）運用向量的加減運算的幾何性質求解繪畫， （ 據向量的運算得出 = = ， = 利用夾角得出 ，求解即可 【解答】 解：（ I）先做出 2 ，再作出 ，最后運用向量的減法得出 2 ，如圖表示紅色的向量， （ ， 的夾角 ， | |=1， | |=2，且 與 的夾角為 45 =12 ， = = ， = ，（ ） =1 4= 3， = = = 【點評】 本題考察了平面向量