2002年數(shù)一考研真題答案.doc

2002年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對兩次求導(dǎo)得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對應(yīng));由時得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析】因為二次型經(jīng)正交變換化為標準型時,標準形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設(shè)事件表示“二次方程無實根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若可微則必連續(xù),故選(A).(2)【分析】由充分大時即時,且不妨認為因而所考慮級數(shù)是交錯級數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級數(shù)收斂.再考察取絕對值后的級數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(C).(3)【分析】證明(B)對:反證法.假設(shè),則由拉格朗日中值定理,(當時,因為);但這與矛盾(4)【分析】因為,說明方程組有無窮多解,所以三個平面有公共交點且不唯一,因此應(yīng)選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是(C)中三個平面沒有公共交點,即方程組無解,又因三個平面中任兩個都不行,故和,且中任兩個平行向量都線性無關(guān).類似地,(D)中有兩個平面平行,故,且中有兩個平行向量共線.(5)【分析】首先可以否定選項(A)與(C),因?qū)τ谶x項(B),若則對任何,因此也應(yīng)否定(C),綜上分析,用排除法應(yīng)選(D).進一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達法則.由題設(shè)條件知由于,故必有又由洛必達法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關(guān)于對稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關(guān).(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因為冪級數(shù)的收斂域是,因而可在上逐項求導(dǎo)數(shù),得,所以.(2)與相應(yīng)的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當時,有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)在點處沿該點的梯度方向方向?qū)?shù)取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點在條件下的最大值點.這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點現(xiàn)比較在這些點的函數(shù)值:因為實際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點.九、【解】由線性無關(guān)及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎(chǔ)解系中只包含一個向量.那么由知,的基礎(chǔ)解系是再由知,是的一個特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實對稱矩陣知,均相似于對角陣,若的特征多項式相等,記特征多項式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】由于依題意,服從二項分布,則有十二、【解】的矩估計量