高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)公式便于打印

1 I 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 01 0C 02 1 xx 03 sincosxx 04 cossinxx 05 2 tansecxx 06 2 cotcscxx 07 secsec tanxxx 08 csccsc cotxxx 09 ln xx aaa 10 xx ee 11 1 log ln a x xa 12 1 ln x x 13 2 1 arcsin 1 x x 14 2 1 arccos 1 x x 15 2 1 arctan 1 x x 16 2 1 arccot 1 x x II 和 差 積 商的導(dǎo)數(shù) 01 uvuv 02 CuCu 03 uvu vuv 04 2 0 uu vuv v vv III 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 若 則 yf uux dydy du dxdu dx 或 yxfux 2 計(jì)算極限時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小 0 limsin x xx 0 limtan x xx 2 0 1 lim 1 cos 2 x xx 0 lim1 x x ex 0 limln 1 x xx 0 1 lim 11 n x xx n 兩個(gè)重要極限 0 sin lim1 x x x 1 lim 1 x x e x 基本積分公式 基本積分公式 kdxkxC 1 1 x x dxC 1 lndxxC x 2 1 arctan 1 dxxC x 2 1 arcsin 1 dxxC x cossinxdxxC sincosxdxxC 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x 2 2 1 csccot sin dxxdxxC x sec tansecxxdxxC csc cotcscxxxC xx e dxeC ln x x a a dxC a shxdxchxC chxdxshxC tanln cosdxxC cotln sinxdxxC secln sectanxdxxxC cscln csccotxdxxxC 22 11 arctan x dxC xaaa 22 11 ln 2 xa dxC xaaxa 22 arcsin dxx C a ax 22 22 ln dx xxaC xa 22 22 ln dx xxaC xa 3 若 則 lim0 limf xAg xB lim g x B f xA 羅爾定理羅爾定理 若在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 則存在一 0Fx f x a b a b f af b 使 a b 0f 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 則存在一 使得 f x a b a b a b f bf afba 柯西中值定理柯西中值定理 若 在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且則存在一 f x F x a b a b 0Fx 使得 則 a b 0 xx f bf af F bF aF 羅必達(dá)法則羅必達(dá)法則 若 1 2 及在 limlim0 xaxa f xF x 或或 或 fx Fx 或 處存在 且 3 存在 或 則 0 0 xx xX 0Fx lim xa fx F x 或 limlim xaxa f xfx F xF x 或或 泰勒公式 泰勒公式 2 000 0000 1 2 n n n fxfxfx f xf xxxxxxxRx n 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 0 x x 馬克勞林公式 馬克勞林公式 2 000 0 1 2 n n n fff f xfxxxRx n 其中 1 1 1 n n n f Rxx n 0 x 1 23 1 1 01 2 3 1 nx xn xxxe exx nn x 2 35721 1 sin1 3 5 7 21 m mxxxx xx m x 3 2462 cos11 2 4 6 2 n nxxxx xx n 4 23 1 1 11 1 n xxxxx x 4 5 242 2 1 11 11 1 n n xxxx x 6 2341 ln 11 2341 n nxxxx xx n 11x 駐點(diǎn)駐點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 則稱(chēng)在上是凸的 12 12 22 f xf xxx f f x a b 則稱(chēng)在上是凹的 12 12 22 f xf xxx f f x a b 若曲線(xiàn)在兩旁改變凹凸性 則稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn) 0 x 00 xf x 凹凸性判斷凹凸性判斷 充分條件 設(shè)存在 若時(shí) 則曲線(xiàn)是為凸的 fx axb 0fx 若時(shí) 則曲線(xiàn)是為凹的 axb 0fx 設(shè)曲線(xiàn)方程 具有二階導(dǎo)數(shù) 則函數(shù)在的曲率為 yf x f x yf x x yK 工程中 若時(shí) 2 3 2 1 y K y 1y K y 基本積分方法 1 1 換元法 換元法 1 設(shè)具有原函數(shù) 而可導(dǎo) 則有 f u F u ux fxx dxf u duFxC 2 設(shè)在區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo) 且 又設(shè)具有原函數(shù) xt 0t fxx F t 則有 1 f x dxftt dtFtC 2 2 分布積分法 分布積分法 udvuvvdu 3 3 有理函數(shù)積分 有理函數(shù)積分 n A dx xa 2 n MxN dx xPxq 4 4 萬(wàn)能代換 三角函數(shù)的有理式的積分 萬(wàn)能代換 三角函數(shù)的有理式的積分 設(shè) 則 tan 2 x u 2 2 1 dxdu u 5 2 2 sin 1 u x u 2 2 1 cos 1 u x u 2222 1 123121 6 nn nn 定積分中值定理 定積分中值定理 b a f x dxfbaab 定理 定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 則積分上限的函數(shù) f x a b 在上具有導(dǎo)數(shù) 并且它的導(dǎo)數(shù)是 x a xf t dt a b x a d xf t dtf xaxb dx 定積分換元公式 定積分換元公式 ab b a f x dxftt dt 22 00 sincosfx dxfx dx 00 sinsin 2 xfx dxfx dx 定積分的分步積分 定積分的分步積分 bb b a aa udvuvvdu 2 0 133 1 24 2 2 sin 134 2 25 3 n n nn n nn Ixdx nn n nn 為正偶數(shù) 為大于1的奇數(shù) 弧長(zhǎng)計(jì)算公式 弧長(zhǎng)計(jì)算公式 2 1 b a sy dx t xt yt 22 stt dt 6 cos sin xr yr 22 srrd 向量代數(shù)向量代數(shù) 定比分點(diǎn)公式 定比分點(diǎn)公式 121212 111 xxyyzz xyz 數(shù)量積 數(shù)量積 cosa ba b xxyyzz a ba ba ba b 222222 cos xxyyzz xyzxyz a ba ba b a b a b aaabbb 向量積 向量積 xyz xyz ijk a baaa bbb 平面平面 平面的一般方程 平面的一般方程 向量為平面法向量 0AxByCzD nA B C 平面點(diǎn)法式方程平面點(diǎn)法式方程 000 0A xxB yyC zz 平面的截距式方程 平面的截距式方程 為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距 1 xyz abc a b c 兩個(gè)平面的夾角 兩個(gè)平面的夾角 兩個(gè)平面方程為 平面 1 111 0AxB yC zD 平面 則兩平面的夾角 的余弦為 2 222 0A xB yC zD 121212 222222 111222 cos A AB BC C ABBABB 兩平面平行的條件 兩平面平行的條件 1111 2222 ABCD ABCD 兩平面垂直的條件 兩平面垂直的條件 121212 0A AB BC C 點(diǎn)到平面的距離 點(diǎn)到平面的距離 平面 平面外一點(diǎn) 則點(diǎn) M 到平0AxByCzD 111 M x y z 7 面的距離 111 222 AxByCzD d A B C 空間直線(xiàn)空間直線(xiàn) 兩個(gè)平面的交線(xiàn) 兩個(gè)平面的交線(xiàn) 111 222 0 0 AxB yC zD A xB yC zD 點(diǎn)向式方程 點(diǎn)向式方程 直線(xiàn)上的一點(diǎn) 直線(xiàn)的一個(gè)向量 則直線(xiàn)方程為 0000 Mxyz Sm n p 參數(shù)方程為 000 xxyyzz mnp 0 0 0 xxmt yynt zzpt 兩直線(xiàn)的夾角 兩直線(xiàn)的夾角 則兩直線(xiàn)的夾角 010101 1 111 xxyyzz L mnp 020202 2 222 xxyyzz L mnp 余弦為 121212 222222 111222 cos m mn np p mnpmnp 兩直線(xiàn)平行 兩直線(xiàn)平行 111 222 mnp mnp 兩直線(xiàn)垂直 兩直線(xiàn)垂直 121212 0m mn np p 兩直線(xiàn)共面 平行或相交 兩直線(xiàn)共面 平行或相交 兩直線(xiàn) 共面的條件 010101 1 111 020202 2 222 xxyyzz L mnp xxyyzz L mnp 212121 111 222 0 xxyyzz mnp mnp 直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角 平面 直線(xiàn) 0AxByCzD 000 xxyyzz L mnp 若直線(xiàn)與平面相交 夾角 222222 sin AmBnCp ABCmnp 若直線(xiàn)與平面平行 0AmBnCp 若直線(xiàn)與平面垂直 ABC mnp 8 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分 1 1 方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù) 為軸到方向 的轉(zhuǎn)角 sin fff cos lxy xl 2 2 梯度 梯度 fff grad f x y zijk xyz 3 3 二元函數(shù)的極值 二元函數(shù)的極值 令 zf x y 00 0 x fxy 00 0 y fxy 00 xx fxyA 當(dāng)時(shí)具有極值 且當(dāng)時(shí)具有極大值 當(dāng) 00 xy fxyB 00 yy fxyC 2 0ACB 0A 具有極小值 當(dāng)時(shí)沒(méi)有極值 當(dāng)時(shí)可能有極值 也可能沒(méi)0A 2 0ACB 2 0ACB 有極值 還需令作討論 3 3 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 22 11 bxdy axcy D f x y ddxf x y dydyf x y dx cos sin DD f x y df rrrdrd 2 1 2 1 cos sincos sin cos sin D f rrrdrdf rrrdr d df rrrdr 4 4 曲面的面積計(jì)算 曲面的面積計(jì)算 2 2 22 1 1 xy DD zz Afx yfx y ddxdy xy 平面薄片的重心 平面薄片的重心 DD DD xx y dyx y d MM xy MMx y dx y d 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 22 xy DD Iyx y dIxx y d 5 5 三重積分的計(jì)算 三重積分的計(jì)算 9 22 11 byxzx y ayxzx y D f x y z dvdxdyf x y z dz 曲線(xiàn)積分和曲面積分曲線(xiàn)積分和曲面積分 1 1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 xt t yt 22 L f x y dsftttt dt 222 f x y z dsftttttt dt 2 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分 xtyt 22 L P x y dxQ x y dyPtttQttt dt 3 3 對(duì)曲面的積分 對(duì)曲面的積分 22 1 xy xy D f x y z dSfx y z x yzx yzx y dxdy 4 4 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 1 1 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)收斂于和收斂于和 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù) 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù) 所得的級(jí)數(shù)所得的級(jí)數(shù)也收斂 且也收斂 且 1 n n u sk 1 n n ku 其和為其和為 ks 2 2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 分別收斂于和分別收斂于和 則級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù)也收斂 且其和為也收斂 且其和為 s 1 n n v s 1 nn n uv s 3 3 在級(jí)數(shù)中去掉 加上或者改變有限項(xiàng) 在級(jí)數(shù)中去掉 加上或者改變有限項(xiàng) 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性 10 4 4 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)收斂 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成的級(jí)數(shù)收斂 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成的級(jí)數(shù) 1 n n u 仍收斂 且其和不變 仍收斂 且其和不變 1122 111 k nnnnn uuuuuu 5 5 級(jí)數(shù)收斂的必要條件 如果級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件 如果級(jí)數(shù)收斂 則它的一般項(xiàng)趨于零 即收斂 則它的一般項(xiàng)趨于零 即 1 n n u lim0 n n u 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 定理定理 1 1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是 它的部分和數(shù)列收斂的充分必要條件是 它的部分和數(shù)列有界 有界 1 n n u n s 定理定理 2 2 比較審斂法 比較審斂法 設(shè)設(shè)和和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 且 若級(jí)數(shù) 若級(jí)數(shù)收收 1 n n u 1 n n v 1 2 nn uvn 1 n n v 斂 則級(jí)數(shù)斂 則級(jí)數(shù)收斂 反之 若級(jí)數(shù)收斂 反之 若級(jí)數(shù)發(fā)散 則級(jí)數(shù)發(fā)散 則級(jí)數(shù)發(fā)散 發(fā)散 1 n n u 1 n n u 1 n n v 推論推論 1 1 設(shè)設(shè)和和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果級(jí)數(shù)收斂 且存在自然數(shù)收斂 且存在自然數(shù) 使當(dāng) 使當(dāng) 1 n n u 1 n n v 1 n n v N 時(shí)有時(shí)有成立 則級(jí)數(shù)成立 則級(jí)數(shù)收斂 如果級(jí)數(shù)收斂 如果級(jí)數(shù)發(fā)散 且當(dāng)發(fā)散 且當(dāng)時(shí)有時(shí)有nN 0 nn ukvk 1 n n u 1 n n u nN 成立 則級(jí)數(shù)成立 則級(jí)數(shù)發(fā)散 發(fā)散 0 nn ukvk 1 n n v 推論推論 2 2 設(shè)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果有為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果有 使 使 則級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù)收斂 如果收斂 如果 1 n n u 1p 1 1 2 n p un n 1 n n u 則級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù)發(fā)散 發(fā)散 1 1 2 n un n 1 n n u 定理定理 3 3 比較審斂法的極限形式 比較審斂法的極限形式 設(shè)設(shè)和和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果 1 n n u 1 n n v 則級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 lim 0 n n n u ll v 1 n n u 1 n n v 11 定理定理 4 4 比值審斂法 達(dá)朗貝爾 比值審斂法 達(dá)朗貝爾 D Alembert 判別法 判別法 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)于前項(xiàng)的后項(xiàng)于前項(xiàng) 1 n n u 之比值的極限等于之比值的極限等于 則當(dāng) 則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 或 或 時(shí)級(jí)數(shù) 時(shí)級(jí)數(shù) 1 lim n n n u u 1 1 1 lim n n n u u 發(fā)散 發(fā)散 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 1 定理定理 5 5 根值審斂法 柯西判別法 根值審斂法 柯西判別法 設(shè)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果它的一般項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果它的一般項(xiàng)的的 次根的次根的 1 n n u n un 極限等于極限等于 則當(dāng) 則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 或 或 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 lim n n n u 1 1 lim n n n u 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 1 定理定理 6 6 萊布尼茨定理 萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件 滿(mǎn)足條件 1 1 1 1 1 n n n u 1 1 2 3 nn uun 2 2 則級(jí)數(shù)收斂 且其和 則級(jí)數(shù)收斂 且其和 其余項(xiàng) 其余項(xiàng) 的絕對(duì)值的絕對(duì)值 lim0 n n u 1 su n r 1nn ru 定理定理 7 7 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 則級(jí)數(shù)必定收斂 必定收斂 1 n n u 1 n n u 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 定理定理 1 1 阿貝爾 阿貝爾 Abel 定理 定理 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂 則適合不等式時(shí)收斂 則適合不等式 1 n n ax 00 0 xxx 的一切的一切 使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 反之 如果級(jí)數(shù)使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 反之 如果級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)發(fā)散 則適合不等時(shí)發(fā)散 則適合不等 0 xx x 1 n n ax 0 xx 式式的一切的一切 使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散 使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散 0 xx x 推論推論 如果冪級(jí)數(shù) 如果冪級(jí)數(shù)不是僅在不是僅在一點(diǎn)收斂 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂 則必有一點(diǎn)收斂 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂 則必有 1 n n ax 0 x 一個(gè)完全確定的正數(shù)一個(gè)完全確定的正數(shù)存在 使得 當(dāng)存在 使得 當(dāng)時(shí) 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 當(dāng)時(shí) 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 當(dāng)時(shí) 冪級(jí)數(shù)時(shí) 冪級(jí)數(shù)RxR xR 發(fā)散 當(dāng)發(fā)散 當(dāng)與與時(shí) 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 時(shí) 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 xR xR 定理定理 2 2 如果如果 其中 其中 是冪級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù) 則這冪級(jí)數(shù)的的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù) 則這冪級(jí)數(shù)的 1 lim n n n a a 1n a n a 1 n n ax 12 收斂半徑收斂半徑 1 0 0 0 R 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 則其和函數(shù) 則其和函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)連續(xù) 如果內(nèi)連續(xù) 如果 1 n n ax 0R R s x R R 冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)在 或 或 也收斂 則和函數(shù) 也收斂 則和函數(shù)在在 或 或 連續(xù) 連續(xù) xR xR s x R R R R 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 則其和函數(shù) 則其和函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的 內(nèi)是可導(dǎo)的 1 n n ax 0R R s x R R 且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 其中 其中 逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的 逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的 1 111 nnn nnn nnn sxa xa xna x xR 冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑 冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 則其和函數(shù) 則其和函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)是可積的 內(nèi)是可積的 1 n n ax 0R R s x R R 且有逐項(xiàng)積分公式且有逐項(xiàng)積分公式 其中其中 逐項(xiàng)積分后 逐項(xiàng)積分后 1 000 111 1 xxx nnn n nn nnn a s x dxa xdxa x dxx n xR 得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑 得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑 歐拉公式 歐拉公式 cossin ix exix 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) cos0 n 1 2 3 nxdx sin0 n 1 2 3 nxdx sincos0 n 1 2 3 kxnxdx sinsin0 n 1 2 3 kxnxdxkn coscos0 n 1 2 3 kxnxdxkn 13 函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 是周期為是周期為的周期函數(shù) 的周期函數(shù) f x 2 0 1 cossin 2 kk k a f xakxbkx 其中 其中 0 1 1 cos n 0 1 2 1 sin n 1 2 3 n n af x dx af xnxdx bf xnxdx 定理 收斂定理 狄利克雷 定理 收斂定理 狄利克雷 Dirichlet 充分條件 充分條件 設(shè) 設(shè)是周期為是周期為的周期函數(shù) 的周期函數(shù) f x 2 如果它滿(mǎn)足 如果它滿(mǎn)足 1 1 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)