八年級數(shù)學教學競賽 第7講 二次根式的運算.doc

二次根式的運算競賽講座第七講 二次根式的運算 式子(0)叫二次根式，二次根式的運算是以下列運算法則為基礎。 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0)。 同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運算的始終，因為二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運算常用到有理化概念。二次根式的運算是在有理式(整式、分式)運算的基礎上發(fā)展起來的，常常用到有理式運算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項相消、分解相約等。例題求解【例1】 已知，則= 。 (重慶市競賽題) 思路點撥：因一個等式中含兩個未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手。 注：二次根式有如下重要性質： (1)，說明了與、一樣都是非負數(shù)； (2) (0)，解二次根式問題的途徑通過平方，去掉根號有理化； (3) ，揭示了與絕對值的內在一致性。著名數(shù)學教育家玻利亞曾說，“回到定義中去”，當我們面對條件較少的問題時，記住玻利亞的忠告，充分運用概念解題。【例2】 化簡，所得的結果為（ ） A、 B、 C、 D、 (武漢市選拔賽試題) 思路點拔：待選項不再含根號，從而可預見被開方數(shù)通過配方運算后必為完全平方式形式。 注：特殊與一般是能相互轉化的，而一般化是數(shù)學創(chuàng)造的基本形式，數(shù)學的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實和規(guī)律。【例3】計算： （1）； （2）； （3）； （4）。 思路點撥：若一開始就把分母有理化，則使計算復雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通過分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口?！纠?】 (1)化簡； (北京市競賽題)(2)計算 (“希望杯”邀請賽試題)(3) 計算 (湖北省孝感市“英才杯”競賽題) 思路點撥：（1）把4+2萬與42分別化成一個平方數(shù)化簡，此外，由于4+2與42是互為有理化因式，因此原式平方后是一個正整數(shù)，我們還可以運用這一特點求解；(3)通過配方，可以簡化一重根號，解題的關鍵是就a的取值情況討論，解決含根號、絕對值符號的綜合問題。 【例5】 已知，求的值。 (山東省競賽題)思路點撥：已知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式怎樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試。二次根式的運算學歷訓練1、如果，那么= 。 (四川省競賽題)2、已知，那么的值為 。 (成都市中考題)3、計算= 。(天津市選拔賽試題)4、若 ab0，則等式飛成立的條件是 。(淄博市中考題)5、如果式子 化簡的結果為，則x的取值范圍是( ) A、x1 B、x2 C、1x2 D、x 0 (徐州市中考題)6、如果式子 根號外的因式移入根號內，化簡的結果為（ ） A、 B、 C、 D、7、已知，則的值為( ) A、 B、 C、 D、8、已知，那么的值等于（ ）A、 B、 C、 D、3 9、計算： (1)； （2）； (北京市數(shù)學競賽題)（3）；（4） (“希望杯”邀請賽試題) 10、(1)已知與的小數(shù)部分分別是a和b，求ab3a+4b+8的值； (2)設，n為自然數(shù)，如果成立，求n。11、如圖，某貨船以20海里時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨此時，接到氣象部門通知，一臺風中心正以40海里時的速度由A向北偏西60方向移動，距臺風中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會受到影響 （1）問：B處是否會受到臺風的影響?請說明理由；(2)為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內卸完貨物? (供選用數(shù)據(jù)：，) (貴陽市中考題)12、已知，那么= 。(T1杯全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)13、若有理數(shù)x、y、z滿足，則= 。 (北京市競賽題)14、設，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，則= 。15、正數(shù)m、n滿足，則= 。(北京市競賽題)16、化簡等于( ) A、54 B、4一1 C、5 D、1 (全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)17、若，則等于( ) A、 B、 C、1 D、1 (2004年武漢市選拔賽試題)18、若都是有理數(shù)，那么和面( ) (第13屆“希望杯”邀請賽試題) A、都是有理數(shù) B、一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù) C、都是無理數(shù) D、有理數(shù)還是無理數(shù)不能確定 19、下列三個命題： 若，是互不相等的無理數(shù)，則+是無理數(shù)； 若，是互不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)； 若，是互不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)。其中正確命題的個數(shù)是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 (全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)20、計算：（1）（ “希望杯”競賽題） （2） （山東省競賽題）（3）（四川省選拔賽題）(4) (5) (新加坡中學生數(shù)學競賽題)21、(1)求證(2)計算（“祖沖之杯”邀請賽試題）22、(1)定義，求的值。(2)設x、y都是正整數(shù)