八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)競(jìng)賽 第7講 二次根式的運(yùn)算.doc

二次根式的運(yùn)算競(jìng)賽講座第七講 二次根式的運(yùn)算 式子(0)叫二次根式，二次根式的運(yùn)算是以下列運(yùn)算法則為基礎(chǔ)。 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0)。 同類(lèi)二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運(yùn)算的始終，因?yàn)槎胃降募訙p實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式，二次根式除法、混合運(yùn)算常用到有理化概念。二次根式的運(yùn)算是在有理式(整式、分式)運(yùn)算的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，常常用到有理式運(yùn)算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項(xiàng)相消、分解相約等。例題求解【例1】 已知，則= 。 (重慶市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥：因一個(gè)等式中含兩個(gè)未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手。 注：二次根式有如下重要性質(zhì)： (1)，說(shuō)明了與、一樣都是非負(fù)數(shù)； (2) (0)，解二次根式問(wèn)題的途徑通過(guò)平方，去掉根號(hào)有理化； (3) ，揭示了與絕對(duì)值的內(nèi)在一致性。著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說(shuō)，“回到定義中去”，當(dāng)我們面對(duì)條件較少的問(wèn)題時(shí)，記住玻利亞的忠告，充分運(yùn)用概念解題?！纠?】 化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果為（ ） A、 B、 C、 D、 (武漢市選拔賽試題) 思路點(diǎn)拔：待選項(xiàng)不再含根號(hào)，從而可預(yù)見(jiàn)被開(kāi)方數(shù)通過(guò)配方運(yùn)算后必為完全平方式形式。 注：特殊與一般是能相互轉(zhuǎn)化的，而一般化是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，數(shù)學(xué)的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實(shí)和規(guī)律?！纠?】計(jì)算： （1）； （2）； （3）； （4）。 思路點(diǎn)撥：若一開(kāi)始就把分母有理化，則使計(jì)算復(fù)雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過(guò)分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口?！纠?】 (1)化簡(jiǎn)； (北京市競(jìng)賽題)(2)計(jì)算 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)(3) 計(jì)算 (湖北省孝感市“英才杯”競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥：（1）把4+2萬(wàn)與42分別化成一個(gè)平方數(shù)化簡(jiǎn)，此外，由于4+2與42是互為有理化因式，因此原式平方后是一個(gè)正整數(shù)，我們還可以運(yùn)用這一特點(diǎn)求解；(3)通過(guò)配方，可以簡(jiǎn)化一重根號(hào)，解題的關(guān)鍵是就a的取值情況討論，解決含根號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)的綜合問(wèn)題。 【例5】 已知，求的值。 (山東省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥：已知條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式怎樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試。二次根式的運(yùn)算學(xué)歷訓(xùn)練1、如果，那么= 。 (四川省競(jìng)賽題)2、已知，那么的值為 。 (成都市中考題)3、計(jì)算= 。(天津市選拔賽試題)4、若 ab0，則等式飛成立的條件是 。(淄博市中考題)5、如果式子 化簡(jiǎn)的結(jié)果為，則x的取值范圍是( ) A、x1 B、x2 C、1x2 D、x 0 (徐州市中考題)6、如果式子 根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ） A、 B、 C、 D、7、已知，則的值為( ) A、 B、 C、 D、8、已知，那么的值等于（ ）A、 B、 C、 D、3 9、計(jì)算： (1)； （2）； (北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)（3）；（4） (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 10、(1)已知與的小數(shù)部分分別是a和b，求ab3a+4b+8的值； (2)設(shè)，n為自然數(shù)，如果成立，求n。11、如圖，某貨船以20海里時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨此時(shí)，接到氣象部門(mén)通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里時(shí)的速度由A向北偏西60方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會(huì)受到影響 （1）問(wèn)：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物? (供選用數(shù)據(jù)：，) (貴陽(yáng)市中考題)12、已知，那么= 。(T1杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)13、若有理數(shù)x、y、z滿(mǎn)足，則= 。 (北京市競(jìng)賽題)14、設(shè)，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，則= 。15、正數(shù)m、n滿(mǎn)足，則= 。(北京市競(jìng)賽題)16、化簡(jiǎn)等于( ) A、54 B、4一1 C、5 D、1 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)17、若，則等于( ) A、 B、 C、1 D、1 (2004年武漢市選拔賽試題)18、若都是有理數(shù)，那么和面( ) (第13屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) A、都是有理數(shù) B、一個(gè)是有理數(shù)，另一個(gè)是無(wú)理數(shù) C、都是無(wú)理數(shù) D、有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)不能確定 19、下列三個(gè)命題： 若，是互不相等的無(wú)理數(shù)，則+是無(wú)理數(shù)； 若，是互不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)； 若，是互不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)。其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)20、計(jì)算：（1）（ “希望杯”競(jìng)賽題） （2） （山東省競(jìng)賽題）（3）（四川省選拔賽題）(4) (5) (新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)21、(1)求證(2)計(jì)算（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）22、(1)定義，求的值。(2)設(shè)x、y都是正整數(shù)