湖南省株洲市2016年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

湖南省株洲市 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） （解析版） 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知全集 U=R， A=y|y=2x+1， B=x|0，則 AB=（ ） A x|0 x 1 B x| x 1 C x|x 1 D 2已知復(fù)數(shù) （其中 i 是虛數(shù)單位，滿足 1），則 z 的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 3已知命題 p： R，（ f（ f（ （ 0，則 p 是（ ） A R，（ f（ f（ （ 0B R，（ f（ f（ （ 0 C R，（ f（ f（ （ 0D R，（ f（ f（ （ 0 4若 （ ， ），則 3 ），則 值為（ ） A B C D 5在如圖所示的程序框圖中，若輸出 i 的值是 3，則輸入 x 的取值范圍是（ ） A（ 4， 10 B（ 2， +） C（ 2， 4 D（ 4， +） 6有關(guān)以下命題： 用相關(guān)指數(shù) 刻畫回歸效果， 小，說(shuō)明模型的擬合效果越好； 已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 2） = 采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號(hào)抽取 5 名同學(xué)參加活動(dòng)，學(xué)號(hào)為 5， 16， 27， 38， 49 的同學(xué)均被選出，則該班學(xué)生人數(shù)可能為 60； 其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ） A 3 個(gè) B 2 個(gè) C 1 個(gè) D 0 個(gè) 7一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（ ） A 2+2 + B 16+2 C 8+2 D 8+ 8若 x， y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+y 的最大值為 2，則實(shí)數(shù) a 的值為（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 9已知等差數(shù)列 公差 d 0，且 等比數(shù)列，若 ， 數(shù)列 （ n N+）的最小值為（ ） A 4 B 3 C 2 2 D 10過(guò)雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點(diǎn) D 作直線 y= x 的垂線，垂足為 A，交雙曲線左支于 B 點(diǎn)，若 =2 ，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 2 C D 11我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承 天發(fā)明的 “調(diào)日法 ”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù) x 的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為 和 （ a， b， c， d N*），則是 x 的更為精確的不足近似值或過(guò)剩近似值我們知道 =若令 ，則第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過(guò)剩近似值，即 ，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第四次用 “調(diào)日法 ”后可得 的近似分?jǐn)?shù)為（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） = ， g（ x） = x 3， 3時(shí)，方程 f（ x） =g（ x）根的個(gè)數(shù)是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請(qǐng)將答案填在答題卡的相應(yīng)位置 13二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 14（ 5 分）（ 2004 上海）圓心在直線 2x y 7=0 上的圓 C 與 y 軸交于兩點(diǎn) A（ 0， 4）、B（ 0， 2），則圓 C 的方程為 15（ 5 分）（ 2016 嘉定區(qū)一模）已知直角梯形 0 ， P 是腰 的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為 16設(shè)函數(shù) y= 的圖象上存在兩點(diǎn) P， Q，使得 以 O 為直角頂點(diǎn)的直角三角形（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），且斜邊的中點(diǎn)恰好在 y 軸上，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 三、解答題：本大 題共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 . 17 已知數(shù)列 公差不為零的等差數(shù)列， 0，且滿足 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）若數(shù)列 足 ，且 ，求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 18（ 12 分）（ 2016 株洲一模） 2015 年 7 月 31 日，國(guó)際奧委會(huì)在吉隆坡正式宣布 2022 年奧林匹克冬季奧運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱冬奧會(huì)） 在北京和張家口兩個(gè)城市舉辦某中學(xué)為了普及奧運(yùn)會(huì)知識(shí)和提高學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的積極性，舉行了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽隨機(jī)抽取了 30 名學(xué)生的成績(jī)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績(jī)?cè)?75 分以上（包括 75 分）的學(xué)生定義為甲組，成績(jī)?cè)?75 分以下（不包括 75 分）定義為乙組 （ 1）在這 30 名學(xué)生中，甲組學(xué)生中有男生 7 人，乙組學(xué)生中有女生 12 人，試問(wèn)有沒(méi)有 90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)； （ 2） 如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取 5 人，再?gòu)倪@ 5 人中隨機(jī)抽取 2 人，那么至少有 1 人在甲組的概率是多少？ 用樣本估計(jì) 總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取 3人，用 表示所選 3 人中甲組的人數(shù)，試寫出 的分布列，并求出 的數(shù)學(xué)期望附：；其中 n=a+b+c+d 獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表： P（ 9（ 12 分）（ 2016 株洲一模）如圖，已知 平面 正三角形， E=2 F 是 中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求證：平面 平面 （ 3）求平面 平面 成銳二面角的大小 20（ 12 分）（ 2016 株洲一模）在平面直角坐標(biāo)系 ，動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) F（ 1， 0）的距離與 P 到定直線 x= 4 的距離之比為 （ 1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ 2）設(shè)點(diǎn) A、 B 是軌跡 C 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 的另一交點(diǎn)分別為 直 線 斜率之積等于 ，問(wèn)四邊形 面積 S 是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由 21（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知函數(shù) f（ x） =2a R （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求 f（ x）在點(diǎn)（ 0， f（ 0）處的切線方程； （ 2）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）若 x 0 時(shí)， f（ x） 3 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 四 22）、（ 23）題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22（ 10 分）（ 2016 江西校級(jí)二模）在極坐標(biāo)系中，圓 C 的方程為 =2 a 0）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)） （ ）求圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線 l 的普通方程； （ ）若直線 l 與圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，且 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍？ 選修 4等式選講 23（ 2016 唐山一模）已知函數(shù) f（ x） =|x+1| a|x l| （ ） 當(dāng) a= 2 時(shí)，解不等式 f（ x） 5； （ ）若（ x） a|x+3|，求 a 的最小值 2016 年湖南省株洲市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知全集 U=R， A=y|y=2x+1， B=x|0，則 AB=（ ） A x|0 x 1 B x| x 1 C x|x 1 D 【分析】 求解函數(shù)的值域化簡(jiǎn) A，求 解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn) B，然后取交集得答案 【解答】 解： A=y|y=2x+1=R， B=x|0=（ 0， 1）， AB=（ 0， 1） 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題 2已知復(fù)數(shù) （其中 i 是虛數(shù)單位，滿足 1），則 z 的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 【分析】 由 1 化簡(jiǎn)分母，然后再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù) z，則 z 的共軛復(fù)數(shù)可求 【解答】 解： = ， 則 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題 3已知命題 p： R，（ f（ f（ （ 0，則 p 是（ ） A R，（ f（ f（ （ 0B R，（ f（ f（ （ 0 C R，（ f（ f（ （ 0D R，（ f（ f（ （ 0 【分析】 由題意，命題 p 是一個(gè)全稱命題，把條件中的全稱量詞改為存在量詞，結(jié)論的否定作結(jié)論即可得到它的否定，由此規(guī)則寫出其否定，對(duì)照選項(xiàng)即可得出正確選項(xiàng) 【解答】 解：命題 p： R，（ f（ f（ （ 0 是一個(gè)全稱命題，其否定是一個(gè)特稱命題， 故 p： R，（ f（ f（ （ 0 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查命題否定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全稱命題的否定的書寫規(guī)則，本題易因?yàn)闆](méi)有將全稱量詞改為存在量詞而導(dǎo)致錯(cuò)誤，學(xué)習(xí)時(shí)要注意準(zhǔn)確把握規(guī)律 4若 （ ， ），則 3 ），則 值為（ ） A B C D 【分析】 直接利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用平方關(guān)系式求出結(jié)果即可 【解答】 解： 3 ）， 可得 3（ 3（ = （ （ ， ）， 0， 上式化為： ， 兩邊平方可得 1+ 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二倍角的余弦函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題 5在如圖所示的程序框圖中，若輸出 i 的值是 3，則輸入 x 的取值 范圍是（ ） A（ 4， 10 B（ 2， +） C（ 2， 4 D（ 4， +） 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 i 的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：設(shè)輸入 x=a， 第一次執(zhí)行循環(huán)體后， x=3a 2， i=1，不滿足退出循環(huán)的條件； 第二次執(zhí)行循環(huán)體后， x=9a 8， i=2，不滿足退出循環(huán)的條件； 第三次執(zhí)行循環(huán)體后， x=27a 26， i=3，滿足退出循環(huán)的條件； 故 9a 8 82，且 27a 26 82， 解得： a （ 4， 10， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答 6有關(guān)以下命題： 用相關(guān)指數(shù) 刻畫回歸效果， 小，說(shuō)明模型的擬合效果越好； 已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 2） = 采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號(hào)抽取 5 名同學(xué)參加活動(dòng)，學(xué)號(hào)為 5， 16， 27， 38， 49 的同學(xué)均被選出，則該班學(xué)生人數(shù)可能為 60； 其中正確的命題的個(gè)數(shù)為 （ ） A 3 個(gè) B 2 個(gè) C 1 個(gè) D 0 個(gè) 【分析】 根據(jù)相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷， 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行判斷， 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行判斷 【解答】 解： 相關(guān)指數(shù) 刻畫回歸的效果， 越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好，因此 不正確 已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 4） =1 則 P（ 2） =成立，故 錯(cuò)誤； 學(xué)號(hào)為 5， 16， 27， 38， 49 的同學(xué)，樣本間隔為 16 5=11，則人數(shù)為 11 5=55，應(yīng)該是55 人， 故 錯(cuò)誤， 故正確的命題的個(gè)數(shù)為 0 個(gè)， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大 7一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（ ） A 2+2 + B 16+2 C 8+2 D 8+ 【分析】 由題意作圖，從而求各個(gè)三角形的面積即可 【解答】 解：由題意作圖如右， 全等的直角三角形， 其中 =3， ， 故 S 2 3=3， 等腰直角三角形， D=2， 故 S 2 2=2， 等腰三角形， D=3， ， 故點(diǎn) A 到 距離 d= = ， 故 S 2 = ， 故表面積 S=3+3+2+ =8+ ， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了學(xué)生的空間想象力與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用 8（ 5 分）（ 2016 洛陽(yáng)二模）若 x， y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+，則實(shí)數(shù) a 的值為（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【分析】 先作出不等式組 的圖象，利用目標(biāo)函數(shù) z=x+y 的最大值為 2，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入 3x y a=0 即可 【解答】 解：先作出不等式組 的圖象如圖， 目標(biāo)函數(shù) z=x+y 的最大值為 2， z=x+y=2，作出直線 x+y=2， 由圖象知 x+y=2 如平面區(qū)域相交 A， 由 得 ，即 A（ 1， 1）， 同時(shí) A（ 1， 1）也在直線 3x y a=0 上， 3 1 a=0， 則 a=2， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵 9（ 5 分）（ 2016 天津二模）已知等差數(shù)列 公差 d 0，且 等比數(shù)列，若 ， 數(shù)列 n 項(xiàng)的和，則 （ n N+）的最小值為（ ） A 4 B 3 C 2 2 D 【分析】 由題意得（ 1+2d） 2=1+12d，求出公差 d 的值，得到數(shù)列 通項(xiàng)公式，前 n 項(xiàng)和，從而可得 ，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值 【解答】 解： ， 等比數(shù)列， （ 1+2d） 2=1+12d 得 d=2 或 d=0（舍去）， n 1， = = 令 t=n+1，則 =t+ 2 6 2=4 當(dāng)且僅當(dāng) t=3，即 n=2 時(shí)， 的最小值為 4 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式，屬于中檔題 10過(guò)雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點(diǎn) D 作直線 y= x 的垂線，垂足為 A，交雙曲線左支于 B 點(diǎn)，若 =2 ，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 2 C D 【分析】 根據(jù)題意直線 方程為 y= （ x c）代入雙曲線漸近線方程，求出 A 的坐標(biāo)，進(jìn)而求得 B 的表達(dá)式，代入雙曲線方程整理求得 a 和 c 的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率 【解答】 解：設(shè) F（ c， 0），則直線 方程為 y= （ x c）代入雙曲線漸近線方程 y= x 得 A（ ， ）， 由 =2 ，可得 B（ ， ）， 把 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程 =1， 即 =1，整理可得 c= a， 即離心率 e= = 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解題的關(guān)鍵是通過(guò)分析題設(shè)中的信息，找到雙曲線方程中 a 和 c 的關(guān)系 11我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的 “調(diào)日法 ”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù) x 的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為 和 （ a， b， c， d N*），則是 x 的更為精確的不足近似值或過(guò)剩近似值我們知道 =若令 ，則第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過(guò)剩近似值，即 ，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第四次用 “調(diào)日法 ”后可得 的近似分?jǐn)?shù)為（ ） A B C D 【分析】 利用 “調(diào)日法 ”進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論 【解答】 解：第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過(guò)剩近似值，即 ， 第二次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過(guò)剩近似值，即 ； 第三次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過(guò)剩近似值，即 ， 第四次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過(guò)剩近似值，即 ， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查 “調(diào)日法 ”，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ) 12已知函數(shù) f（ x） = ， g（ x） = x 3， 3時(shí)，方程 f（ x） =g（ x）根的個(gè)數(shù)是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 【分析】 先對(duì)兩個(gè)函數(shù)分析可知，函數(shù) f（ x）與 g（ x）都是奇函數(shù)，且 f（ x）是反比例函數(shù)， g（ x）在 0， 上是減函數(shù)，在 ， 2上是增函數(shù)，在 2， 3上是減函數(shù)，且 g（ 0）=0， g（ ） = ； g（ 2） =2； g（ 3） = 3；從而作出函數(shù)的圖象，由圖象求方程的根的個(gè)數(shù)即可 【解答】 解：由題意知， 函數(shù) f（ x） = 在 3， 3是奇函數(shù)且是反比例函數(shù)， g（ x） = 3， 3是奇函數(shù)； g（ x） = 故 g（ x）在 0， 上是減函數(shù)，在 ， 2上是增函數(shù)，在 2， 3上是減函數(shù)， 且 g（ 0） =0， g（ ） = ； g（ 2） =2； g（ 3） = 3； 故作函數(shù) f（ x）與 g（ x）在 3， 3上的圖象如下， 結(jié)合圖象可知，有 6 個(gè)交點(diǎn)； 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜 合應(yīng)用及函數(shù)的圖象的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請(qǐng)將答案填在答題卡的相應(yīng)位置 13二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 24 【分析】 先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令 x 的系數(shù)等于 0，求得 r 的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值 【解答】 解：二項(xiàng)式 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 = r= 2r 令 x 的冪指數(shù) 4 2r=0，解得 r=2，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 =4 6=24， 故答案為 24 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題 14（ 5 分）（ 2004 上海）圓心在直線 2x y 7=0 上的圓 C 與 y 軸交于兩點(diǎn) A（ 0， 4）、B（ 0， 2），則圓 C 的方程為 （ x 2） 2+（ y+3） 2=5 【分析】 由垂徑定理確定圓心所在的直線，再由條件求出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)圓的定義求出半徑即可 【解答】 解： 圓 C 與 y 軸交于 A（ 0， 4）， B（ 0， 2）， 由垂徑定理得圓心在 y= 3 這條直線上 又 已知圓心在直線 2x y 7=0 上， 聯(lián)立 ，解得 x=2， 圓心 C 為（ 2， 3）， 半徑 r=| = 所求圓 C 的方程為（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 故答案為（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了如何求圓的方程，主要用了幾何法來(lái)求，關(guān)鍵確定圓心的位置；還可用待定系數(shù)法 15（ 5 分）（ 2016 嘉定區(qū)一模）已知直角梯形 0 ， P 是腰 的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為 3 【分析】 先建立坐標(biāo)系，以直線 別為 x， y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) P（ 0， b）（ 0 b 1），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算得到 ， = 3，問(wèn)題得以解決 【解答】 解：如圖，以直線 別為 x， y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則 A（ 0， 0）， B（ 0， 1）， C（ 1， 1）， D（ 2， 0） 設(shè) P（ 0， b）（ 0 b 1） 則 =（ 1， 1 b）， =（ 2， b）， + =（ 3， 1 2b）， = 3，當(dāng)且僅當(dāng) b= 時(shí)取等號(hào)， 的最小值為 3， 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】 此題是個(gè)基礎(chǔ)題考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量模的求法，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知 識(shí)分析解決問(wèn)題的能力 16設(shè)函數(shù) y= 的圖象上存在兩點(diǎn) P， Q，使得 以 O 為直角頂點(diǎn)的直角三角形（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），且斜邊的中點(diǎn)恰好在 y 軸上，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 （ 0， 【分析】 曲線 y=f（ x）上存在兩點(diǎn) P、 Q 滿足題設(shè)要求，則點(diǎn) P、 Q 只能在 y 軸兩側(cè)設(shè) P（ t， f（ t）（ t 0），則 Q（ t， t3+運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為 0，構(gòu)造函數(shù)h（ x） =（ x+1） x e），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，即可得到 a 的范圍 【解答】 解：假設(shè)曲線 y=f（ x）上存在兩點(diǎn) P、 Q 滿足題設(shè)要求， 則點(diǎn) P、 Q 只能在 y 軸兩側(cè) 不妨設(shè) P（ t， f（ t）（ t 0）， 則 Q（ t， t3+ 以 O 為直角頂點(diǎn)的直角三角形， =0， 即 t2+f（ t）（ t3+=0（ *） 若方程（ *）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn) P、 Q； 若方程（ *）無(wú)解，不存在滿足題設(shè)要求的 兩點(diǎn) P、 Q 若 0 t e，則 f（ t） = t3+入（ *）式得： t3+ t3+=0 即 =0，而此方程無(wú)解，因此 t e，此時(shí) f（ t） = 代入（ *）式得： t3+=0， 即 =（ t+1） *） 令 h（ x） =（ x+1） x e）， 則 h（ x） =+ 0， h（ x）在 e， +）上單調(diào)遞增， t e h（ t） h（ e） =e+1， h（ t）的取值范圍是 e+1， +） 對(duì)于 0 a ，方程（ *）總有解，即方程（ *）總有解 故答案為：（ 0， 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，注意向量垂直條件的運(yùn)用和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查構(gòu)造法和函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)用，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 . 17（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知數(shù)列 公差不為 零的等差數(shù)列， 0，且滿足 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）若數(shù)列 足 ，且 ，求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 【分析】 （ 1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，利用 0、 計(jì)算可知首項(xiàng)、公差，進(jìn)而可得結(jié)論； （ 2）通過(guò) bn=知 1=1（ n 2， n N*），利用 1） +（ 1 2） +（ +算可知當(dāng) n 2 時(shí) bn=n（ n+2），驗(yàn)證 也適合，裂項(xiàng)可知= （ ），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論 【解答】 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，則 ， 解得 ， n+3； （ 2）由 bn= 1=1（ n 2， n N*）， 當(dāng) n 2 時(shí)， 1） +（ 1 2） +（ +1+2+a1+（ n 1）（ n 2+5） +3 =n（ n+2）， 又 也適合， bn=n（ n+2）， = （ ）， 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2016 株洲一模） 2015 年 7 月 31 日，國(guó)際奧委會(huì)在吉隆坡正式宣布 2022 年奧林匹克冬季奧運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱冬奧會(huì)）在北京和張家口兩個(gè)城市舉辦某中學(xué)為了普及奧運(yùn)會(huì)知識(shí)和提高學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的積極性 ，舉行了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽隨機(jī)抽取了 30 名學(xué)生的成績(jī)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績(jī)?cè)?75 分以上（包括 75 分）的學(xué)生定義為甲組，成績(jī)?cè)?75 分以下（不包括 75 分）定義為乙組 （ 1）在這 30 名學(xué)生中，甲組學(xué)生中有男生 7 人，乙組學(xué)生中有女生 12 人，試問(wèn)有沒(méi)有 90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)； （ 2） 如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取 5 人，再?gòu)倪@ 5 人中隨機(jī)抽取 2 人，那么至少有 1 人在甲組的概率是多少？ 用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取 3人，用 表示所選 3 人中甲組的人數(shù)，試寫出 的分布列，并求出 的數(shù)學(xué)期望附：；其中 n=a+b+c+d 獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表： P（ 分析】 （ 1）作出 2 2 列聯(lián)表，由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式求出 而得到?jīng)]有 90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān) （ 2） 用 A 表示 “至少有 1 人在甲組 ”，利用對(duì)立事 件概率計(jì)算公式能求出至少有 1 人在甲組的概率 由題意知， ，由此能求出 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）作出 2 2 列聯(lián)表： 甲組 乙組 合計(jì) 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合計(jì) 12 18 30 由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得 ，因?yàn)?沒(méi)有 90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)（ 6 分） （ 2） 用 A 表示 “至少有 1 人在甲組 ”，則 （ 8 分） 由題知，抽取的 30 名學(xué)生中有 12 名學(xué)生是甲組學(xué)生，抽取 1 名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率為 ，那么從所有的中學(xué)生中抽取 1 名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是 ，又因?yàn)樗】傮w數(shù)量較多，抽取 3 名學(xué)生可以看出 3 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，于是 服從二項(xiàng)分布 顯然 的取值為 0， 1， 2， 3且 所以得分布列為： 0 1 2 3 P 數(shù)學(xué)期望 （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題 19（ 12 分）（ 2016 株洲一模）如圖，已知 平面 正三角形， E=2 F 是 中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求證：平面 平面 （ 3）求平面 平面 成銳二面角的大小 【分析】 （ 1）取 點(diǎn) P，連接 據(jù)中位線定理可知 ，而 則 平行四邊形，則 面 平面足線面平行的判定定理，從而證得結(jié)論； （ 2）根據(jù) 平面 平面 平面 據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知 E=D，滿足線面垂直的判定定理，證得 平面 平面 平面 據(jù)面面垂直的判定定理可證得結(jié)論； （ 3）由（ 2），以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在的直線分別為 x， y， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 F ，根據(jù)線面垂直求出平面 法向量 n，而 m=（ 0， 0， 1）為平面 法向量，設(shè)平面 平面 成銳二面角為 ，根據(jù) 可求出所求 【解答】 （ 1）證：取 點(diǎn) P，連接 F 為 中點(diǎn)， 又 P， 平行四邊形， （ 2 分） 又 面 平面 平面 （ 4 分） （ 2） 正三角形， 平面 平面 平面 E=D， 平面 （ 6 分） 又 平面 平面 平面 平面 （ 8 分） （ 3）由（ 2），以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在的直線分別為 x， y， z 軸（如圖）， 建立空間直角坐標(biāo)系 F ， 則 C（ 0， 1， 0）， （ 9 分） 設(shè) n=（ x， y， z）為平面 法向量， 則 令 z=1，則 n=（ 0， 1， 1） （ 10 分） 顯然， m=（ 0， 0， 1）為平面 法向量 設(shè)平面 平面 成銳二面角為 ，則 =45，即平面 平面 成銳二面角為 45 （ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空間向量定理二面角的平面角，同時(shí)考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題 20（ 12 分）（ 2016 株洲一模）在平面直角坐標(biāo)系 ，動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) F（ 1， 0）的距離與 P 到定直線 x= 4 的距離之比為 （ 1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ 2）設(shè)點(diǎn) A、 B 是軌跡 C 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 的另一交點(diǎn)分別為 直線 斜率之積等于 ，問(wèn)四邊形 面積 S 是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由 【分析】 （ 1）設(shè) P（ x， y），由點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，可得， ，化簡(jiǎn)即可得到所求軌跡方程； （ 2）設(shè) A（ B（ 運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和斜率公式，結(jié)合點(diǎn) A、 B 在橢圓 C 上，可得 ， 討論 當(dāng) x1=，則四邊形 矩形； 當(dāng) ，通過(guò)三角形的面積公式和橢圓的對(duì)稱性，即可得到所求面積為定值 【解答】 解：（ 1）設(shè) P（ x， y），由題意可得， ， 化簡(jiǎn)得 32， 所以，動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程為 （ 2）設(shè) A（ B（ 由 ，得 ， ， 因?yàn)辄c(diǎn) A、 B 在橢圓 C 上， 所以 ， ， 所以， = ， 化簡(jiǎn)得 當(dāng) x1=，則四邊形 矩形， ， 由 ，得 ， 解得 ， ， S=|4| ； 當(dāng) ，直線 方向向量為 ， 直線 方程為（ x（ y+， 原點(diǎn) O 到直線 距離為 ， 所以 面 積 ， 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形 面積 S=4S | 所以， = ， 所以 所以，四邊形 面積為定值 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線的斜率公 式和兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知函數(shù) f（ x） =2a R （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求 f（ x）在點(diǎn)（ 0， f（ 0）處的切線方程； （ 2）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）若 x 0 時(shí)， f（ x） 3 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【分析】 （ 1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù) x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，問(wèn)題得以解決， （ 2）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間， （ 3）先構(gòu)造函 數(shù) g（ x） =f（ x） ，求導(dǎo)后再構(gòu)造函數(shù) h（ x） =2（ 1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函最值關(guān)系，分類討論，當(dāng) a 1 時(shí)，求出 a 的范圍， 當(dāng) a 1 時(shí)， 0，使 h（ =0， x （ 0， ， g（ x）單調(diào)遞減， x （ +）時(shí)， g（ x）單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最值， 再構(gòu)造函數(shù) M（ x） =x 0 x 導(dǎo)，即可求出 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a=1 時(shí)， f（ x） =2x 1， f（ x） =2， f（ 0） =21=1 k=f（ 0） =2=4， f（ x）在點(diǎn)（ 0， f（ 0）處的切線方程為 y 1=4x，即 4x y+1=0， （ 2） f（ x） =2a， 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x） 0 恒成立， f（ x）在 R 上單調(diào)遞增， 當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng) f（ x） 0，即 x a）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng) f（ x） 0，即 x a）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 綜上所述：當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在 R 上單調(diào)遞增， 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在（ ， a）上單調(diào)遞減，在（ a）， +）單調(diào)遞增， （ 3）令 g（ x） =f（ x） =2 x a） 2+3， x 0， g（ x） =2（ x+a）， 再令 h（ x） =2（ 1） 0， h（ x）在 0， +）單調(diào)遞增，且 h（ 0）