4-1：和圓有關(guān)的比例線段-教案.doc

高二數(shù)學(xué)選修4-1 五 和圓有關(guān)的比例線段 教學(xué)目標(biāo)：1理解相交弦定理及其推論；掌握切割線定理及其推論，并初步學(xué)會運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明；2掌握切線長定理及構(gòu)造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力3能夠用運(yùn)動的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)切割線定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正確理解相交弦定理及其推論切割線定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理教學(xué)難點(diǎn)：定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系教學(xué)活動：一復(fù)習(xí)導(dǎo)入：1證明：已知：弦AB和CD交于O內(nèi)一點(diǎn)P求證：PAPBPCPD相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等2從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論 對兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直 思考：（1）若AB是直徑，并且ABCD于P根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論? 推論： 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)（2）若再連結(jié)AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：PC2PAPB ；AC2APAB；CB2BPAB二范例講解一例1： 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長 根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解例2： 已知：線段a，b求作：線段c，使c2ab來源：高考%資源網(wǎng) KS%5U 分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段作法：口述作法三課堂練習(xí)一 練習(xí)1： 如圖，AP2厘米，PB25厘米，CP1厘米，求CD（變式練習(xí)：若AP2厘米，PB25厘米，CP，DP的長度皆為整數(shù)那么CD的長度是多少?）練習(xí)2： 如圖，CD是O的直徑，ABCD，垂足為P，AP4厘米，PD2厘米求PO的長練習(xí)3： 如圖：在O中，P是弦AB上一點(diǎn)，OPPC，PC 交O于C 求證：PC2PAPB 分析：由APPB，聯(lián)想到相交弦定理，想到延長 CP交O于D，于是有PCPDPAPB又根據(jù)條件OPPC易 證得PCPD問題得證探究：1、相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)如果兩弦延長交于圓外一點(diǎn)P，那么該點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關(guān)系？2、當(dāng)其中一條割線繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)時，猜想：由圓外這點(diǎn)到割線與圓的兩交點(diǎn)的兩條線段長和該點(diǎn)的切線長PA，PB，PT之間又有什么關(guān)系？3、用語言表達(dá)上述結(jié)論切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（也叫做割線定理）四范例講解二來源：高考%資源網(wǎng) KS%5U 例1： 已知：O的割線PAB交O于點(diǎn)A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求O的半徑（分析：由于PO既不是O的切線也不是割線，故須將PO延長交O于D，構(gòu)成了圓的一條割線，而OD又恰好是O的半徑，于是運(yùn)用切割線定理的推論，問題得解 ）例2：如圖7-90，兩個以O(shè)為圓心的同心圓，AB切大圓于B，AC切小圓于C，交大圓于D、EAB=12，AO=15，AD=8求：兩圓的半徑五課堂練習(xí)二1、P為O外一點(diǎn)，OP與O交于點(diǎn)A，割線PBC與O交于點(diǎn)B、C，且PB=BCOA=7，PA=2，求PC的長 2、已知：如圖7-92，O和O都經(jīng)過A和B，PQ切O于P，交O于Q、M，交AB的延長線于N求證：PN2=NMNQ六課堂反思：觀察圖形，要證的數(shù)量關(guān)系中，線段屬于不同的兩圓，NP是O的切線，NMQ是O的割線，能夠把這兩條線聯(lián)系在一起的是兩圓的公共割線NBA具備了在兩圓中運(yùn)用切割線定理及其推論的條件例：如圖7-93，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB長7cm，CD=10cm，ADBC=12，延長BA、CD相交于E，從E引圓的切線EF求EF的長分析：此題中EF是O的切線，由切割線定理：EF2=EDEC=EAEB，故要求EF的長，須知ED或EA的長，而四邊形ABCD內(nèi)接于O，可EB長為2x，應(yīng)用割線定理，可求得x，于是EF可求證明：四邊形ABCD內(nèi)接于OEADECBEB=2xx(x+10)=(2x-7)2xx=8EF2=8(8+10)EF=12答：EF長為12cm六 和圓有關(guān)的比例線段習(xí)題課 班級 姓名 學(xué)號 來源：高考%資源網(wǎng) KS%5U 教學(xué)目標(biāo)：1理解相交弦定理及其推論；掌握切割線定理及其推論，并初步學(xué)會運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明；2掌握切線長定理及構(gòu)造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力3能夠用運(yùn)動的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)切割線定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正確理解相交弦定理及其推論切割線定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理教學(xué)難點(diǎn)：定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系教學(xué)活動：一切線長概念 切線長是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。 二。切線長定理對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點(diǎn)可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。三利用切線長定理解題 例1. 如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。解圖1例2 ：如圖7，在直角三角形ABC中，A90，以AB邊為直徑作O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作O的切線交AC于E。 求證：BC2OE。 點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是ABC的中位線。而OAOB，只須證AECE。 圖7 證明：連結(jié)OD。 ACAB，AB為直徑 AC為O的切線，又DE切O于D EAED，ODDE OBOD，BODB 在RtABC中，C90BODE90 CEDC EDEC AEEC OE是ABC的中位線 BC2OE 例3： 如圖8，在正方形ABCD中，AB1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)。 當(dāng)DEF45時，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； 解：由DEF45，得 ，DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC 因?yàn)锳B是圓B的半徑，ADAB，所以AD切圓B于點(diǎn)A；同理，CD切圓B于點(diǎn)C。又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G，所以AEEG，F(xiàn)CFG。 因此EGFG，即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。 圖8四、反饋測試 一、選擇題來源：高考%資源網(wǎng) KS%5U 1. 已知：PA、PB切O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB8，弦AB的弦心距3，則PA（ ） A. B. C. 5 D. 82. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（ ） A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形3. 已知：如圖1直線MN與O相切于C，AB為直徑，CAB40，則MCA的度數(shù)（ ）A. 50 B. 40 C. 60 D. 55圖14. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4，則另一弦長為（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5. 在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延長線與ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長等于（ ） A. B. C. D. 6. PT切O于T，CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交O于B和A，B在線段PD上，若CD2，AD3，BD4，則PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空題7. AB、CD是O切線，ABCD，EF是O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則EOF_度。8. 已知：O和不在O上的一點(diǎn)P，過P的直線交O于A、B兩點(diǎn)，若PAPB24，OP5，則O的半徑長為_。9. 若PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交O于B、C，若BC20，則PC的長為_。10. 正ABC內(nèi)接于O，M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長MN交O于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于P，則_。三、解答題11. 如圖2，ABC中，AC2cm，周長為8cm，F(xiàn)、K、N是ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，DE切O于點(diǎn)M，且DEAC，求DE的長。圖212. 如圖3，已知P為O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，PC切O于C，CDAB于D，求證：CB平分DCP。圖313. 如圖4，已知AD為O的直徑，AB是O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且BMMNNC，若AB，求O的半徑。來源：高考%資源網(wǎng) KS%5U 圖4五總結(jié)、擴(kuò)展1要經(jīng)常復(fù)習(xí)學(xué)過的知識，