建立一元二次方程解決幾何問題.doc

第二章 一元二次方程6應用一元二次方程（一）一、學生知識狀況分析學生已經(jīng)學習了一元二次方程及其解法，對于方程的解及解方程并不陌生，對于實際問題的應用，雖然在七、八年級學生已經(jīng)進行了有關的訓練，但還是有一定的難度。由于本節(jié)內(nèi)容針對的學習者是九年級上學期的學生，已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗和初步的解一元二次方程的經(jīng)驗，樂意并能夠與同伴進行合作交流。二、教學任務分析本節(jié)課的主題是發(fā)展學生的應用意識，這也是方程教學的重要任務。但學生應用意識和能力的發(fā)展不是自發(fā)的，需要通過大量的應用實例，在實際問題的解決中讓學生感受到其廣泛應用，并在具體應用中增強學生的應用能力。因此，本節(jié)教學中需要選用大量的實際問題，通過列方程解決問題，并且在問題解決過程中，促進學生分析問題、解決問題意識和能力的提高以及方程觀的初步形成。顯然，這個任務并非某個教學活動所能達成的，而應在教學活動中創(chuàng)設大量的問題解決的情境，在具體情境中發(fā)展學生的有關能力。為此，本節(jié)課的教學目標是：知識目標：通過分析問題中的數(shù)量關系，建立方程解決問題，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般過程。能力目標：1、經(jīng)歷分析和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效的數(shù)學模型；2、能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力；情感態(tài)度價值觀：在問題解決中，經(jīng)歷一定的合作交流活動，進一步發(fā)展學生合作交流的意識和能力。三、教學過程分析本課時分為以下五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回憶鞏固，情境導入；第二環(huán)節(jié)：做一做，探索新知；第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知；第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)；回憶鞏固，情境導入活動內(nèi)容：提出問題：還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？ 如果梯子長度是13米，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？分組討論：怎么設未知數(shù)？在這個問題中存在怎樣的等量關系？如何利用勾股定理來列方程？涉及到解的取舍問題，應引導學生根據(jù)實際問題進行檢驗，決定解到底是多少?；顒幽康模阂詫W生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學的勾股定理中邊長的關系為切入點，用熟悉的情境激發(fā)學生解決問題的欲望，用學生已有的知識為支點，進一步讓學生體會數(shù)形結合的思想?；顒拥膶嶋H效果：大部分學生能夠聯(lián)系以前學過的勾股定理的三邊關系對上述問題進行思考，能夠在老師的引導下主動地探究問題，取得了比較理想的效果，而且也調(diào)動了學生的學習熱情，激發(fā)了學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。第二環(huán)節(jié) 做一做，探索新知活動內(nèi)容：見課本P52頁例1：如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭。小島F位于BC中點。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）該部分是學習中的難點，在教學中要給學生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關系，不能粗線條解決。在講解過程中可逐步分解難點：審清題意；找準各條有關線段的長度關系；建立方程模型，之后求解。解決實際應用問題的關鍵是審清題意，因此教學中老師要給學生充分的時間去審清題意，讓學生自己反復審題，弄清各量之間的關系，分析題目中的已知條件和要求解的問題，并在這個前提下抓住圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關系。 在學生分析題意遇到困難時，教學中可設置問題串分解難點： （1）要求DE的長，需要如何設未知數(shù)？ （2）怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關系？從已知條件中能找到嗎？ （3）利用勾股定理建立等量關系，如何構造直角三角形？ （4）選定后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論后找出題目中的等量關系即： 速度等量：V軍艦=2V補給船 時間等量：t軍艦=t補給船 三邊數(shù)量關系：弄清圖形中線段長表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補給船的路程，ABBE表示軍艦的路程。學生在此基礎上選準未知數(shù)，用未知數(shù)表示出線段：DE、EF的長，根據(jù)勾股定理列方程求解，并判斷解的合理性。AQB8cmC6cmP鞏固練習：1、一個直角三角形的斜邊長為7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，那么這個直角三角的面積是多少？2、如圖：在RtACB中，C=90，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半？3、在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570平方米，問道路應為多寬？說明：三個題目的設計從簡單問題入手，通過勾股定理解決直角三角形邊長問題；第2題構造了一個可變的直角三角形，解決面積問題；第三題也是面積問題，在這個問題中常設道路寬為x米，其中兩條長為20米，一條長為32米，但要注意路的交叉部分。引導學生通過轉變圖形進行思考：若將圖中的三條路分別向上和向右平移到如圖所示的位置，應怎樣列方程求解？結果一樣嗎？哪種方法更簡單？活動目的：一元二次方程的應用問題的類型較多，像數(shù)字問題、面積問題、平均增長（或降低）率問題、利潤問題、數(shù)形結合問題等；本節(jié)課以教材上的引例作為出發(fā)點，作為素材來呈現(xiàn)，可以將應用類型作適當?shù)耐卣?，在練習中將教材中的應用問題歸類呈現(xiàn)出來，便于學生理解和掌握。本課由數(shù)形結合問題拓展到面積問題，后面可以在練習中增加數(shù)字問題，在第二課時在利潤問題上也可增加平均增長率問題等，為學生呈現(xiàn)更多的應用類型，讓學生在不同的情境中體會建模的重要性。由于本節(jié)“一元二次方程的應用”與九年級下冊中的“二次函數(shù)”的應用聯(lián)系密切，所以學好本節(jié)課可以為后續(xù)知識打下堅實的基礎?；顒訉嶋H效果：應用問題設置都經(jīng)過精心準備。通過問題串的設立，將比較復雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學生在不知不覺中克服困難，體會到列方程解應用題的三個重要環(huán)節(jié)：整體系統(tǒng)的審清題意；尋找等量關系；正確求解并檢驗解的合理性。采取的是一講一練，從鞏固練習的準確程度上來看，學生掌握得比較好，能夠達到預期的效果。第三環(huán)節(jié)：練一練，鞏固新知活動內(nèi)容：1、在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20cm的一個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4800 cm2。求原正方形鋼板的面積。 2、 有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？3、 九章算術“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙行各幾何。”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時，甲、乙各走了多遠？活動目的：通過三道問題的解決，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。 在教學過程中要以學生為主體，引導學生自主發(fā)現(xiàn)、合作交流?；顒訉嶋H效果：學生在前面活動中積累的經(jīng)驗，可以幫助學生比較順利地分析上述問題，遇有疑難可以讓學生在合作交流中解決，學生在訓練過程中更加理解了建模的重要性大部分學生能夠獨立解決問題。 第四環(huán)節(jié)：收獲與感悟活動內(nèi)容： 問題：1、列方程解應用題的關鍵2、列方程解應用題的步驟3、列方程應注意的一些問題讓學生在學習小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發(fā)言?；顒幽康模汗膭顚W生回顧本節(jié)課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，還有什么疑難問題希望得到解決，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中；通過對三個問題的解決，加深學生利用方程解決實際問題的意識和提高解題的能力；并且通過學生間的合作學習幫助不同層次的孩子解決實際困難，增強孩子學好數(shù)學的信心?；顒訉嶋H效果：學生通過回顧本節(jié)課的學習過程，體會利用列一元二次方程解決實際問題的方法和技巧，進一步提高自己解決問題的能力。 第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1、甲乙兩個小朋友的年齡相差4歲，兩個人的年齡相乘積等于45，你知道這兩個小朋友幾歲嗎？2、一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路，已知小路的面積為246，求小路的寬度。3、有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這兩位數(shù)。選作題（供學有余力的學生選作）：東北BA一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風中心20海里的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風區(qū).當輪船到A處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100海里.若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風?若會，試求輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由.四、學法指導本課是學生學習完一元二次方程的解法后的應用課，學生在七八年級已經(jīng)進行過方程應用的訓練，對于方程的實際應用并不陌生，雖然學生已經(jīng)進行了一定的訓練，但本課對學生而言還是有一定的難度。本課采用啟發(fā)式、問題討論式、合作學習相結合的方式,引導學