八下(2)勾股定理典型例題歸類總結(jié).doc

勾股定理典型例題歸類總結(jié)題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長(zhǎng) 已知，求的長(zhǎng)跟蹤練習(xí)：1.在中，.（1）若a=5,b=12,則c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,則a= ,b= .（3）若A=30，BC=2,則AB= ，AC= .2.在RtABC中，C=90，A，B，C分別對(duì)的邊為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是( )A、 B、 C、 D、3.一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為( )A、2、4、6 B、4、6、8 C、6、8、10 D、3、4、54.等腰直角三角形的直角邊為2，則斜邊的長(zhǎng)為（ ）A、 B、 C、1 D、25.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2cm，則等邊三角形的面積為（ ）A、 B、 C、1 D、6.已知直角三角形的兩邊為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi).7.如圖，ACB=ABD=90，AC=2，BC=1，則BD=_.8.已知ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高線，CD=2，那么BD等于（）A、4 B、6 C、8 D、9.已知RtABC的周長(zhǎng)為，其中斜邊，求這個(gè)三角形的面積。10. 如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來(lái)說(shuō)，勾股定理可以推廣.(1)如圖，以RtABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積、之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由。（2）如圖，以RtABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積、之間有何關(guān)系？（3）如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180，請(qǐng)?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”）題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例1. 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？跟蹤練習(xí)：1.如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車(chē)到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車(chē)的云梯最大升長(zhǎng)為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A、12米 B、13米 C、14米 D、15米3.如圖，有兩顆樹(shù)，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹(shù)相距8米一只鳥(niǎo)從一顆樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一顆樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行（）A、8米 B、10米 C、12米 D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用例3. 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：1. 如圖，正方形ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且DF=3CF，求證：AEF=90題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例1. 如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí)：1.如圖，將一個(gè)有45度角的三角板頂點(diǎn)C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)B在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30角，求三角板的最大邊AB的長(zhǎng).2.如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90，D為AC的中點(diǎn)，DEDF，交AB于E，交BC于F，（1）求證：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的長(zhǎng).3.如圖，CA=CB,CD=CE,ACB=ECD=90,D為AB邊上的一點(diǎn).若AD=1，BD=3，求CD的長(zhǎng).題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例1. 有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門(mén)上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由.（1）求證：ABD=90;（2）求的值2.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（ ）A、9，12，15 B、7,24,25 C、 D、，3.在ABC中，下列說(shuō)法B=C-A；A:B:C=3：4：5；a:b:c=5:4:3；：=1:2:3，其中能判斷ABC為直角三角形的條件有（ ）A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)4.在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角？（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)5.已知ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足，則此時(shí)三角形一定是（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、銳角三角形6.在ABC中，若a=，b=2n，c=，則ABC是（）A、銳角三角形 B、鈍角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形7.如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC是（ ）A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、銳角三角形或鈍角三角形8.已知在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）A、如果C-B=A,那么C=90 B、如果C=90，那么C、如果（a+b）（a-b）=，那么A=90 D、如果A=30，那么AC=2BC9.已知ABC的三邊分別為a，b，c，且a+b=3，ab=1，求的值，試判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由10.觀察下列各式：，根據(jù)其中規(guī)律，寫(xiě)出下一個(gè)式子為_(kāi)11.已知，mn，m、n為正整數(shù)，以，2mn，為邊的三角形是_三角形.12.一個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1，n-1，8，其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例題6. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1.如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的點(diǎn)，且EAF=45，試探究間的關(guān)系，并說(shuō)明理由. 題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題例題7.如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1.如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).(一) 折疊直角三角形1.如圖，在ABC中，A = 90，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿CD折疊ABC，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的處，AB=4，AC=3，求BD的長(zhǎng)。2. 如圖，RtABC中，B=90，AB=3，AC=5將ABC折疊使C與A重合，折痕為DE，求BE的長(zhǎng)（二）折疊長(zhǎng)方形1.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿折痕AF折疊，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)E處，求CF的長(zhǎng)。2. 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C重合. （1）求DE的長(zhǎng);（2）求折痕EF的長(zhǎng).3. （2013常德）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D點(diǎn)落在對(duì)角線D處若AB=3，AD=4，則ED的長(zhǎng)為（）4. 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折疊使A到A處DA交BC于F點(diǎn). （1）求證：FB=FE（2）求證：CABD（3）求DBF的面積7. 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AG、CF. （1）求證：AGCF;（2）求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？ 例2.一輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車(chē)要通過(guò)一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過(guò)嗎？跟蹤練習(xí)：1. 某市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北偏東60方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問(wèn)A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒(méi)有受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由。2.一輛裝滿貨物的卡車(chē),其外形高2.5米,寬1.6米,要開(kāi)進(jìn)廠門(mén)形狀如下圖的某工廠,問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠的廠門(mén)?3.有一個(gè)邊長(zhǎng)為50dm 的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)）4.如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題例1、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）例2.跟蹤練習(xí)：1.如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？2.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？BA5313.一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，6cm，12cm,一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn),你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？BAA4.如圖將一根13.5厘米長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎？3？A題型十：勾股定理與特殊角（一） 直接運(yùn)用30或45的直角三角形1.如圖，在ABC中，C = 90，B = 30，AD是ABC的角平分線，若AC=，求AD的長(zhǎng)。 2.如圖，在ABC中，ACB = 90，AD是ABC的角平分線，CDAB于D，A= 30，CD=2，求AB的長(zhǎng)。 3.如圖，在ABC中，ADBC于D，B= 60，,C= 45，AC=2，求BD的長(zhǎng)。 （二） 作垂線構(gòu)造30或45的直角三角形（1） 將105轉(zhuǎn)化為45和601.如圖，在ABC中，B= 45，A=105，AC=2，求BC的長(zhǎng)。 2.如圖，在四邊形ABCD中，A=C= 45，ADB=ABC=105,若AD=2,求AB的長(zhǎng)；若AB+CD=+2，求AB的長(zhǎng)。ABDC （2）將75轉(zhuǎn)化為30和453. 如圖，在ABC中，B= 45，BAC=75，AB= ，求BC的長(zhǎng)。 題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如圖，在ABC中，C= 90，AD平分CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的長(zhǎng)。 2. 如圖，在ABC中，ADBC于D，且CAD=2BAD,若BD=3，CD=8，求AB的長(zhǎng)。 (二)巧用“連環(huán)勾”列方程1. 如圖，在ABC中，AB=5，BC=7，AC=,求. 2. 如圖，在ABC中，ACB= 90，CDAB于D，AC=3，BC=4，求AD的長(zhǎng)。3. 如圖，ABC中，ACB=90，CDAB于D，AD=1，BD=4，求AC的長(zhǎng)4.如圖，ABC中，ACB=90，CDAB于D，CD=3，BD=4，求AD的長(zhǎng)題型十二：勾股定理與分類討論（一） 銳角與鈍角不明時(shí)需分類討論1. 在ABC中，AB=AC=5，求BC的長(zhǎng)2. 在ABC中，AB=15，AC=13，AD為ABC的高，且AD=12，求ABC的面積。（二）腰和底不明時(shí)需分類討論3.如圖1，ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為射線AC上一點(diǎn)，且ABD是等腰三角形，求ABD的周長(zhǎng).（三）直角邊和斜邊不明時(shí)需分類討論1.已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)2.在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD，求CD的長(zhǎng)3.如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫(huà)等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，這樣的等腰三角形能畫(huà)多少個(gè)?寫(xiě)出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).題型十三：或問(wèn)題的證明1.如圖1，ABC中，CA=CB，ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，M、N分別為AC、BC上一點(diǎn)，且DMDN. （1）求證：CM+CN=BD（2）如圖2，若M、N分別在AC、CB的延長(zhǎng)線上，探究CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。 2.已知BCD=，BAD=，CB=CD. （1）如圖1，若=90，求證：AB+AD=AC；（2）如圖2，若=90，求證：AB-AD=AC；（3）如圖3，若=120，=60，求證：AB=AD=AC；（4）如圖3，若=120，求證：AB-AD=AC；題型十四：?jiǎn)栴}的證明1.如圖，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，連MN、ON.求證：MN=ON.2.已知ABC中，AB=AC，BAC=90，D為BC的中點(diǎn)，AE=CF，連DE、EF. （1）如圖1，若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=DE；（2）如圖2，若E、F分別在BA、AC的延長(zhǎng)線上，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由3.如圖，ABD中，O為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ACO=135，ODB=45探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關(guān)系4.如圖，ABD是等腰直角，BAD=90，BCAD，BC=2AB，CE平分BCD，交AB于E，交BD于H求證：（1）DC=DA；（2）BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫(huà)圖1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖中畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是3,2，且三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上3.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上4.在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有3個(gè)5.如圖，在4個(gè)均勻由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這4個(gè)三角形中，與眾不同的是_中的三角形，圖4中最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi)6.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)圖：（1）畫(huà)一條線段MN，使MN=；（2）畫(huà)ABC，三邊長(zhǎng)分別為3，2。7.如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上（1）圖1中以AB為腰的等腰三角形有_個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊長(zhǎng)（2）圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有_個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊上的高題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1.如圖，在ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求CD的長(zhǎng).2.如圖，在四邊形ABCD