河南省商丘市2016年高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 24 頁） 2016 年河南省商丘市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 M=x|4x+3 0，集合 N=x|3 x） 0，則 MN=（ ） A x|2 x 3 B x|1 x 3 C x|1 x 2 D 2若 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，且滿足 （ 1 i） 2=4+2i，則 z=（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 3命題 p：函數(shù) y=2x）的單調(diào)增區(qū)間是 1， +），命題 q：函數(shù) y= 的值域為（ 0， 1），下列命題是真命題的為（ ） A p q B p q C p （ q） D q 4已知雙曲線 =1 （ a 0， b 0）的一條漸近線過點（ 2， ），且雙曲線的一個焦點在拋 物線 x 的準線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 5設(shè)向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ，則向量 與 的夾角為（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 6某算法的程序框圖如圖所示，若輸入的 a， b 值分別為 60 與 32，則執(zhí)行程序后的結(jié)果是（ ） A 0 B 4 C 7 D 28 7如圖，正方形 頂點 ， ，頂點 C， D 位于第一象限，直線 t： x=t（ 0 t ）將正方形 成兩部分，記位于直線 l 左側(cè)陰影部分的面積為 f（ t），則函數(shù) s=f（ t）的圖象大致是（ ） 第 2 頁（共 24 頁） A B C D 8在邊長為 2 的正方體 內(nèi)部隨機取一點，則該點到正方體 8 個頂點得距離都不小于 1 得概率為（ ） A B C D 1 9一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體外接球的體積為（ ） A 1000 B 200 C D 10給出下列命題： 將函數(shù) y=x+ ）的圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），再向左平移 個單位長度，得到函數(shù) y=2x+ ）的圖象； 設(shè)隨機變量 N（ 3， 9），若 P（ a） =a 3）則 P（ 6 a） =（ 2 ） 10 的二項展開式中含有 x 1 項的二項式系數(shù)是 210； 已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 值為 42 其中正確的命題的個數(shù)為（ ） A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 第 3 頁（共 24 頁） 11拋物線 p 0）的焦點為 F，已知點 A， B 為拋物線上的兩個動點，且滿足 20過弦 中點 M 作拋物線準線的垂線 足為 N，則 的最大值為（ ） A B 1 C D 2 12已知 f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，其導(dǎo) 函數(shù)為 f（ x），若 f（ x） f（ x），且 f（ x+1）=f（ 3 x）， f 21 的解集為（ ） A（ ， ） B（ e， +） C（ ， 0） D（ 1， +） 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13 5 個人排成一排，其中甲與乙不相鄰，而丙與丁必須相鄰，則不同的排法種數(shù)為 14 O 所在的平面， O 的直徑， C 是 O 上的一點， E， F 分別是點 A 在 C 上的射影，給出下列結(jié)論： 平面 中正確命題的序號是 15若函數(shù) y=a（ e 為自然常數(shù)）的圖象上存在點（ x， y）滿足約束條件 ，則實數(shù) a 的取值范圍是 16在 ，角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，若 2a+b， 面積為S= c，則 最小值為 三、解答題 （共 5 小題，滿分 60 分） 17已知首項為 的等比數(shù)列 是遞減數(shù)列，其前 n 項和為 n N*），且 S3+S5+4+等差數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) 1） n+1n（ n N*），求數(shù)列 an前 n 項和 18近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)張的新機遇， 2015 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 918 億人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體第 4 頁（共 24 頁） 系，現(xiàn)從評價系統(tǒng) 中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 服務(wù)的好評率為 中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為 80 次 （ ）完成商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表，并說明是否可以在犯錯誤概率不超過 前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？ （ ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 5 次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量 X 求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù) X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； 求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差 參考數(shù)據(jù)及公式如下： P（ k） k ，其中 n=a+b+c+d） 19在如圖所示的幾何體中，四邊形 矩形， ， F=E， ， （ ）若 G 為 中點，證明： 平面 （ ）求平面 平面 角的余弦值 20已知橢圓 的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切，過點 P（ 4， 0）且不垂直于 x 軸直線 l 與橢圓 C 相交于 A、B 兩點 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）求 的取值范圍； （ 3）若 B 點在于 x 軸的對稱點是 E，證明：直線 x 軸相交于定點 21已知直線 y=x+b 與函數(shù) f（ x） =圖象交于兩個不同的點 A， B，其橫坐標分別為 ）求 b 的取值范圍； （ ）當 2 時，證明 x12 選修 4何證明選講 22如圖， C 點在圓 O 直徑 延長線上， 圓 O 于 A 點， 分線 ，交 D 點 （ ）求 度數(shù)； 第 5 頁（共 24 頁） （ ）若 C，求 選修 4標系與參數(shù)方程 23已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），以坐標原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓 C 的極坐標方程為 =4 ） （ 1）求圓 C 的直角坐標方程； （ 2）若 P（ x， y）是直線 l 與圓面 4 ）的公共點，求 x+y 的取值范圍 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x a|+4x（ a 0） （ ）當 a=2 時，求不等式 f（ x） 2x+1 的解集； （ ）若 x R 時，恒有 f（ 2x） 7x+3，求實數(shù) a 的取值范圍 第 6 頁（共 24 頁） 2016 年河南省商丘市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 M=x|4x+3 0，集合 N=x|3 x） 0，則 MN=（ ） A x|2 x 3 B x|1 x 3 C x|1 x 2 D 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出 M 與 N 中不等式的解集，確定出 M 與 N，找 出兩集合的交集即可 【解答】 解：由 M 中的不等式 4x+3 0，變形得：（ x 1）（ x 3） 0， 解得： 1 x 3，即 M=x|1 x 3， 由 N 中的不等式變形得： 3 x） 0= 3 x 1， 解得： x 2，即 N=x|x 2， 則 MN=x|1 x 2 故選： C 2若 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，且滿足 （ 1 i） 2=4+2i，則 z=（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡求解即可 【解答】 解： （ 1 i） 2=4+2i， 可得 （ 2i） =4+2i， 可得 =（ 2+i） i= 1+2i z= 1 2i 故選： B 3命題 p：函數(shù) y=2x）的單調(diào)增區(qū)間是 1， +），命題 q：函數(shù) y= 的值域為（ 0， 1），下列命題是真命題的為（ ） A p q B p q C p （ q） D q 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 求出函數(shù) y=2x）的定義域，找出定義域內(nèi)的內(nèi)層函數(shù) t=2x 的增區(qū)間，結(jié)合外層函數(shù) y=單調(diào)性求出函數(shù) y=2x）的單調(diào)增區(qū)間，從而判斷出命題 p 的真假，利用指數(shù)函數(shù)的值域求出函數(shù) y= 的值域，判斷出命題 q 的真假，最后結(jié)合復(fù)合命題 的真假判斷得到正確的結(jié)論 【解答】 解：令 t=2x，則函數(shù) y=2x）化為 y= 由 2x 0，得： x 0 或 x 2， 所以，函數(shù) y=2x）的定義域為（ ， 0） （ 2， +） 函數(shù) t=2x 的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為 x=1， 所以，函數(shù) t=2x 在定義域內(nèi)的增區(qū)間為（ 2， +） 又因為函數(shù)為 y=增函數(shù)，所以，復(fù)合函數(shù) y=2x）的單調(diào)增區(qū)間是（ 2， +） 所以，命題 p 為假命題； 第 7 頁（共 24 頁） 再由 3x 0，得 3x+1 1， 所以 ， 所以，函數(shù) y= 的值域為（ 0， 1）， 故命題 q 為真命題 所以 p q 為假命題， 真命題， p （ q）為假命題， q 為假命題 故選 B 4已知雙曲線 =1 （ a 0， b 0）的一條漸近線過點（ 2， ），且雙曲線 的一個焦點在拋物線 x 的準線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考點】 雙曲線的標準方程 【分析】 由拋物線標準方程易得其準線方程，從而可得雙曲線的左焦點，再根據(jù)焦點在 a、 b 的另一個方程，求出 a、 b，即可得到雙曲線的標準方程 【解答】 解：由題意， = ， 拋物線 x 的準線方程為 x= ，雙曲線的一個焦點在拋物線 x 的準線上， c= ， a2+b2=， a=2， b= ， 雙曲線的方程為 故選： D 5設(shè)向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ，則向量 與 的夾角為（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考點 】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 先根據(jù)向量的垂直求出 x 的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出 【解答】 解：向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ， x 3=0， 解得 x= ， =（ ， 1）（ ， 3） =（ 0， 4）， | |=4， | |=2， （ ） =4， 設(shè)向量 與 的夾角為 ， 第 8 頁（共 24 頁） = = ， 0 180， =60 故選： B 6某算法的程序框圖如圖所示，若輸入的 a， b 值分別為 60 與 32，則執(zhí)行程序后的結(jié)果是（ ） A 0 B 4 C 7 D 28 【考點】 程序框圖 【分析】 由題意，模擬程序框圖的運行過程，即可得出該程序輸出的結(jié)果 【解答】 解：根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，得出該程序輸出的是 用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù) a、 b 的最大公約數(shù)； 當 a=60， b=32 時， 最大公約數(shù)是 4 故選： B 7如圖，正方形 頂點 ， ，頂點 C， D 位于第一象限，直線 t： x=t（ 0 t ）將正方形 成兩部分，記位于直線 l 左側(cè)陰影部分的面積為 f（ t），則函數(shù) s=f（ t）的圖象大致是（ ） 第 9 頁（共 24 頁） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 由 f（ t）表示位于直線 l 左側(cè)陰影部分的面積，結(jié)合已知條件我們可以得到函數(shù) s=f（ t）是一個分段函數(shù)，而且分為兩段，分段點為 t= ，分析函數(shù)在兩段上的數(shù)量關(guān)系，不難求出函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式不難得到函數(shù)的圖象 【解答】 解：依題意得 s=f（ t） = ， 分段畫出函數(shù)的圖象可得圖象如 C 所示 故選 C 8在邊長為 2 的正方體內(nèi)部隨機取一點，則該點到正方體 8 個頂點得距離都不小于 1 得概率為（ ） A B C D 1 【考點】 幾何概型 【分析】 根據(jù)題意，求出滿足 條件的點 P 所組成的幾何圖形的體積是多少， 再將求得的體積與整個正方體的體積求比值即可 【解答】 解：符合條件的點 P 落在棱長為 2 的正方體內(nèi)， 且以正方體的每一個頂點為球心，半徑為 1 的 球體外； 根據(jù)幾何概型的概率計算公式得， P= =1 故選： D 9一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體外接球的體積為（ ） 第 10 頁（共 24 頁） A 1000 B 200 C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為直角三角形，高為 10 的直三棱柱， 且三棱柱外接球的半徑是三棱柱對角線的一半，結(jié)合圖形即可求出它的體積 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是底面為直角三角形， 且直角邊長分 別為 6 和 8，高為 10 的直三棱柱，如圖所示； 所以該三棱柱外接球的球心為 中點， 因為 0 ，所以外接球的半徑為 5 ， 體積為 = 故選： D 10給出下 列命題： 將函數(shù) y=x+ ）的圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），再向左平移 個單位長度，得到函數(shù) y=2x+ ）的圖象； 設(shè)隨機變量 N（ 3， 9），若 P（ a） =a 3）則 P（ 6 a） =（ 2 ） 10 的二項展開式中含有 x 1 項的二項式系數(shù)是 210； 已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 值為 42 其中正確的命題的個數(shù)為（ ） A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行判 斷 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進行判斷， 根據(jù)二項展開式的公式進行判斷 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及積分的應(yīng)用進行求解判斷 【解答】 解： 函數(shù) y=x+ ） =x+2 ） =圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），得到 y= 再向左平移 個單位長度， 得到函數(shù) y=x+ ）的圖象；故 錯誤， 第 11 頁（共 24 頁） 設(shè)隨機變量 N（ 3， 9），若 P（ a） =a 3），則 P（ a） =P（ 6 a），則 P（ 6 a） =1 P（ 6 a） =1 正確， （ 2 ） 10 的二項展開式中的通項公式 =C （ 2 ） 10 k（ ） k=C （ 2 ）10 k（ ） k=C 210 k（ 1） 當 5 = 1 時， k=4，此時 26x 1=210 64x 1=13440x 1 故 x 1 項的二項式系數(shù)是 13440，故 錯誤； 已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 =2，即 ， 則 =42故 正確， 故正確的是 ， 故選： C 11拋物線 p 0）的焦點為 F，已知點 A， B 為拋物線上的兩個動點，且滿足 20過弦 中點 M 作拋物線準線的垂線 足為 N，則 的最大值為（ ） A B 1 C D 2 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) |a， |b，連接 拋物線定義得 2|a+b，由余弦定理可得 |=（ a+b） 2 而根據(jù)基本不等式，求得 |取值范圍，從而得到本題答案 【解答】 解：設(shè) |a， |b，連接 拋物線定義，得 | |在梯形 ， 2|a+b 由余弦定理得， |=a2+2a2+b2+方得， |=（ a+b） 2 又 （ ） 2， （ a+b） 2 （ a+b） 2 （ a+b） 2= （ a+b） 2 得到 | （ a+b） 所以 = ，即 的最大值為 故選： A 第 12 頁（共 24 頁） 12已知 f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 f（ x），若 f（ x） f（ x），且 f（ x+1）=f（ 3 x）， f 21 的解集為（ ） A（ ， ） B（ e， +） C（ ， 0） D（ 1， +） 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；導(dǎo)數(shù)的運算 【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單 調(diào)性推導(dǎo)函數(shù)的周期性，構(gòu)造函數(shù) g（ x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論 【解答】 解： 函數(shù) f（ x）是偶函數(shù)， f（ x+1） =f（ 3 x） =f（ x 3）， f（ x+4） =f（ x），即函數(shù)是周期為 4 的周期函數(shù)， f=f（ 1） =f（ 1） =2， f（ 1） =2， 設(shè) g（ x） = ，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù) g（ x） = = ， 故函數(shù) g（ x）是 R 上的 減函數(shù)， 則不等式 f（ x） 21 等價為 ， 即 g（ x） g（ 1）， 解得 x 1， 即不等式的解集為（ 1， +）， 故選： D 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13 5 個人排成一排，其中甲與乙不相鄰，而丙與丁必須相鄰，則不同的排法種數(shù)為 24 【考點】 排列、組合及簡單計數(shù)問題 【分析】 由題設(shè)中的條件知，可以先把丙與丁必須相鄰，可先將兩者綁定，又甲與乙不相鄰，可把丙與丁看作 是一個人，與甲乙之外的一個人作一個全排列，由于此兩個元素隔開了三個空，再由插空法將甲乙兩人插入三個空，由分析過程知，此題應(yīng)分為三步完成，由計數(shù)原理計算出結(jié)果即可 第 13 頁（共 24 頁） 【解答】 解：由題意，第一步將丙與丁綁定，兩者的站法有 2 種，第二步將此兩人看作一個整體，與除甲乙之外的一人看作兩個元素做一個全排列有 站法，此時隔開了三個空，第三步將甲乙兩人插入三個空，排法種數(shù)為 不同的排法種數(shù)為 2 2 6=24 故答案為： 24 14 O 所在的平面， O 的直徑， C 是 O 上的一點， E， F 分別是點 A 在 C 上的射影，給出下列結(jié)論： 平面 中正確命題的序號是 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 對于 可根據(jù)直線與平面垂直的判定定理進行證明，對于 利用反證法進行證明，假設(shè) 面 面 然不成立，從而得到結(jié)論 【解答】 解： O 所在的平面， O 所在的平面 A=A 面 又 而 C=C 面 正確； 而 F=A 面 而 面 面 正確， 面 設(shè) 面 然不成立，故 不正確 故答案為： 15若函數(shù) y=a（ e 為自然常數(shù)）的圖象上存在點（ x， y）滿足約束條件 ，則實數(shù) a 的取值范圍是 1， 【考點】 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 第 14 頁（共 24 頁） 【分析】 由題意作平面區(qū)域，從而利用數(shù)形結(jié)合求解，注意臨界值即可 【解答】 解：由題意作平面區(qū)域如下， ， 當函數(shù) y=a 與直線 y=x 相切時，切點恰為（ 0， 0）， 故此時 0=1 a， 故 a=1； 當函數(shù) y=a 過點（ 5， 1）時， 1=a， 故 a=； 結(jié)合圖象可知， 1 a 故 答案為： 1， 16在 ，角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，若 2a+b， 面積為S= c，則 最小值為 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得 ， C= 根據(jù) = abc，求得 c=3由余弦定理化簡可得 9a2+b2+此求得 最小值 【解答】 解：在 ，由條件用正弦定理可得 2B+C） + 即 2 2， ， C= 由于 面積為 S= abc， c=3 再由余弦定理可得 c2=a2+2ab理可得 9a2+b2+3且僅當 a=b 時，取等號， 第 15 頁（共 24 頁） ， 故答案為： 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知首項為 的等比數(shù)列 是遞減數(shù)列，其前 n 項和為 n N*），且 S3+S5+4+等差數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) 1） n+1n（ n N*），求數(shù)列 an前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì) 【分 析】 （ ）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q，運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求； （ ）求得 an 1） n 1 （ 1） n+1n=3n（ ） n運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和 【解答】 解：（ ）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， 由 S3+S5+S4+等差數(shù)列，可得 2（ S5+=S3+4+ 即 2（ S3+=2S3+ 即有 4a5=為 = ， 解得 q= ， 由等比數(shù)列 是遞減數(shù)列，可得 q= ， 即 （ ） n 1=（ 1） n 1 ； （ ） 1） n+1n， 可得 an 1） n 1 （ 1） n+1n=3n（ ） n 前 n 項和 1 +2（ ） 2+n（ ） n， 1（ ） 2+2（ ） 3+n（ ） n+1， 兩式相減可得， +（ ） 2+（ ） n n（ ） n+1 =3 n（ ） n+1， 第 16 頁（共 24 頁） 化簡可得 （ 1 ） 18近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)張的新機遇， 2015 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 918 億人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評 價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 服務(wù)的好評率為 中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為 80 次 （ ）完成商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表，并說明是否可以在犯錯誤概率不超過 前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？ （ ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 5 次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量 X 求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù) X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； 求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差 參考數(shù)據(jù)及公式如下： P（ k） k ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差 【分析】 （ ）由已知列出關(guān)于商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表，代入公式求得 值，對應(yīng)數(shù)表得答案； （ ） 每次購物時，對商品和服務(wù)全好評的概率為 X 的取 值可以是 0， 1， 2， 3，4， 5， X B（ 5， 求出相應(yīng)的概率，可得對商品和服務(wù)全好評的次數(shù) X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； 利用二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差 【解答】 解：（ ）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表： 對服務(wù)好評 對服務(wù)不滿意 合計 對商品好評 80 40 120 對商品不滿意 70 10 80 合計 150 50 200 得 可以在犯錯誤概率不超過 前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)； 每次購物時，對商品和服務(wù)全好評的概率為 X 的取值可以是 0， 1， 2， 3， 4， 5，X B（ 5， P（ X=0） =P（ X=1） =P（ X=2） =P（ X=3） = P（ X=4） =P（ X=5） = X 的分布列 X 0 1 2 3 4 5 P 525354X=5 ， 第 17 頁（共 24 頁） 19在如圖所示的幾何體中，四邊形 矩形， ， F=E， ， （ ）若 G 為 中點，證明： 平面 （ ）求平面 平面 角的余弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）若 G 為 中點，根據(jù)線面平行的判定 定理證明 可證明： 平面 （ ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面 平面 角的余弦值 【解答】 證明：（ ）連接 O 點，則 O 為 中點，連接 G 為 面 面 平面 解：（ ）取 中點 M， 中點 Q，連接 則 M， Q， F， E 共面 作 P， N， 則 P，連接 E=F， C， Q Q=1， F， Q 為 中點， Q=Q， 平面 平面 P 原點， x 軸， z 軸建立空間直角坐標系 則 A（ 3， 1， 0）， B（ 1， 1， 0）， C（ 1， 1， 0）， 設(shè) F（ 0， 0， h），則 =（ 3， 1， h）， =（ 1， 1， h） ， =（ 3， 1， h） （ 1， 1， h） = 3 1+，解得 h=2， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， =（ 3， 1， 2）， =（ 1， 1， 2）， 由 得 ， 令 z=1，則 x=0， y=2，即 =（ 0， 2， 1）， 第 18 頁（共 24 頁） 同理平面 一個法向量為 =（ 2， 0， 1）， = = = 平面 平面 角的余弦值為 20已知橢圓 的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切，過點 P（ 4， 0）且不垂直于 x 軸直線 l 與橢圓 C 相交于 A、B 兩點 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）求 的取值范圍； （ 3）若 B 點在于 x 軸的對稱點是 E，證明：直線 x 軸相交于定點 【考點】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運算；橢圓的標準方程 【分析】 （ 1）由題意知， ，利用點到直線的距離公式可求 b，結(jié)合 a2=b2+求 a，即可求解 （ 2）由題意設(shè)直線 l 的方程為 y=k（ x 4），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè) A（ B （ x2，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系求出 x1+ 0 可 求 k 的范圍，然后代入= 中即可得關(guān)于 k 的方程，結(jié)合 k 的范圍可求 的范圍 （ 3）由 B， E 關(guān)于 x 軸對稱可得 E（ 寫出 方程，令 y=0，結(jié)合（ 2）可求 【解答】 （ 1）解：由題意知， ， 即 b= 又 a2=b2+ a=2， b= 故橢圓的方程為 （ 2）解：由題意知直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l 的方程為 y=k（ x 4） 第 19 頁（共 24 頁） 由 可得：（ 3+432412=0 設(shè) A（ B （ 則 =3224（ 3+4 6412） 0 x1+， = = = = ） （ 3）證明： B， E 關(guān)于 x 軸對稱 可設(shè) E（ 直線 方程為 令 y=0 可得 x= y1=k（ 4）， y2=k（ 4） = =1 直線 x 軸交于定點（ 1， 0） 第 20 頁（共 24 頁） 21已知直線 y=x+b 與函數(shù) f（ x） =圖象交于兩個不同的點 A， B，其橫坐標分別為 ）求 b 的取值范圍； （ ）當 2 時，證明 x12 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）由題意可得 x b=0 有兩個不同的實根，設(shè) g（ x） =x b，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到 b 的范圍； （ ）由（ ）可得 0 1， 1， g（ =g（ =0，作差 g（ g（ ），化簡可得 3+ h（ t） =t 3出導(dǎo)數(shù)，判斷符號，得到單調(diào)性，可得當 2 時， g（ g（ ） 0，即 g（ g（ ），由 g（ x）在（ 0，1）遞減，即可得證 【解答】 解：（ ）由題意可得 x b=0 有兩個不同的實根， 設(shè) g（ x） =x b， x 0， g（ x） =1 ， 當 0 x 1 時， g（ x） 0， g（ x）遞減； 當 x 1 時， g（ x） 0， g（ x）遞增 可得 g（ x）在 x=1 處取得最小值 b+1， 當 b 1 時， b=x 在（ 0， 1）和（ 1， +）各有一個不同的實根， 則 b 的范圍是（ ， 1）； （ ）證明：由（ ）可得 0 1， 1， g（ =g（ =0， g（ g（ ） =（ b）（ b） =（ b）（ b） =3+ 令 h（ t） =t 3 h（ t） =1 + = ， 當 t 2 時， h（ t） 0， h（ t）遞增， 即有 h（ t） h（ 2） = 20， 當 2 時， g（ g（ ） 0，即 g（ g（ ）， 又 g（ x）在（ 0， 1）遞減， 0 1， 0 1， 第 21 頁（共 24 頁） 即有 ，可得 x12 選修 4何證明選講 22如圖， C 點在圓 O 直徑 延長線上， 圓 O 于 A 點， 分線 ，交 D 點 （ ）求 度數(shù)； （ ）若 C，求 【考點】 相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)；圓的切線的性質(zhì)定理的證明 【分析】 （ I）根據(jù) 圓 O 的切線，結(jié)合弦切角定