預(yù)測(cè)類數(shù)學(xué)模型

第二章 預(yù)測(cè)類數(shù)學(xué)模型本章重點(diǎn)：預(yù)測(cè)類數(shù)學(xué)模型的基本思想，掌握基本的數(shù)據(jù)擬合方法多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合，灰色預(yù)測(cè)模型等。學(xué)習(xí)要求1能用基本的數(shù)學(xué)模型方法解決一些簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)類問(wèn)題。2掌握基本擬合方法的原理與優(yōu)缺點(diǎn)。2.1最小二乘法的基本原理和多項(xiàng)式擬合2.1.1 最小二乘法的基本原理從整體上考慮近似函數(shù)同所給數(shù)據(jù)點(diǎn) (i=0,1,m)誤差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 (i=0,1,m)絕對(duì)值的最大值，即誤差 向量的范數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和，即誤差向量r的1范數(shù)；三是誤差平方和的算術(shù)平方根，即誤差向量r的2范數(shù)；前兩種方法簡(jiǎn)單、自然，但不便于微分運(yùn)算 ，后一種方法相當(dāng)于考慮 2范數(shù)的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和來(lái) 度量誤差 (i=0，1，m)的整體大小。數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對(duì)給定數(shù)據(jù) (i=0,1,，m)，在取定的函數(shù)類中,求,使誤差(i=0,1,m)的平方和最小，即 =從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn) (i=0,1,m)的距離平方和為最小的曲線（圖6-1）。函數(shù)稱為擬合 函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法.212.1.2 多項(xiàng)式擬合 所謂多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合，主要是采用多項(xiàng)式函數(shù)形式來(lái)進(jìn)行擬合、逼近數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來(lái)的趨勢(shì)。多項(xiàng)式的系數(shù)可以由最小二乘法計(jì)算出來(lái)。假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn) (i=0,1,m)，為所有次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一,使得 (1)當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足式（1）的稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合。顯然為的多元函數(shù)，因此上述問(wèn)題即為求的極值 問(wèn)題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得 (2)即 (3)（3）是關(guān)于的線性方程組，用矩陣表示為 (4)式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組?？梢宰C明，方程組（4）的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出 (k=0,1,，n)，從而可得多項(xiàng)式 (5)可以證明，式（5）中的滿足式（1），即為所求的擬合多項(xiàng)式。我們把稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式的平方誤差，記作由式(2)可得 (6)多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為以下幾步： (1) 由已知數(shù)據(jù)畫(huà)出函數(shù)粗略的圖形散點(diǎn)圖，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n；(2) 列表計(jì)算和；(3) 寫出正規(guī)方程組，求出；(4) 寫出擬合多項(xiàng)式。在實(shí)際應(yīng)用中，或；當(dāng)時(shí)所得的擬合多項(xiàng)式就是拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng)式。 *2.1.3最小二乘擬合多項(xiàng)式的存在唯一性定理1 設(shè)節(jié)點(diǎn)互異，則法方程組（4）的解存在唯一。定理2 設(shè)是正規(guī)方程組（4）的解，則是滿足式（1）的最小二乘擬合多項(xiàng)式。*2.1.4 多項(xiàng)式擬合中克服正規(guī)方程組的病態(tài)在多項(xiàng)式擬合中，當(dāng)擬合多項(xiàng)式的次數(shù)較高時(shí)，其正規(guī)方程組往往是病態(tài)的。而且：正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高，病態(tài)越嚴(yán)重；擬合節(jié)點(diǎn)分布的區(qū)間偏離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，病態(tài)越嚴(yán)重； (i=0,1,，m)的數(shù)量級(jí)相差越大，病態(tài)越嚴(yán)重。為了克服以上缺點(diǎn)，一般采用以下措施：盡量少作高次擬合多項(xiàng)式，而作不同的分段低次擬合；不使用原始節(jié)點(diǎn)作擬合，將節(jié)點(diǎn)分布區(qū)間作平移，使新的節(jié)點(diǎn)關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱，可大大降低正規(guī)方程組的條件數(shù)，從而減低病態(tài)程度。平移公式為： (9)對(duì)平移后的節(jié)點(diǎn)(i=0,1,，m),再作壓縮或擴(kuò)張?zhí)幚恚?（10）其中,（r是擬合次數(shù)） （11） 經(jīng)過(guò)這樣調(diào)整可以使的數(shù)量級(jí)不太大也不太小，特別對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)，作式（10）和式（11）兩項(xiàng)變換后，其正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣設(shè) 為A，則對(duì)14次多項(xiàng)式擬合，條件數(shù)都不太大，都可以得到滿意的結(jié)果。變換后的條件數(shù)上限表如下：擬合次數(shù)1234=19.950.3 format long; X0=98.6,104.4,107.3,120.1,115.9,109.7,98.7; %原始數(shù)據(jù)輸入 n=length(X0); %定義原始數(shù)據(jù)長(zhǎng)度 X1(1)=X0(1); %一次累加向量的第一個(gè)分量 for i=2:n %一次累加向量的其他分量X1(i)=X1(i-1)+X0(i)end for i=1:n-1 %計(jì)算B與YB(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1);B(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);end alpha=(B*B)(-1)*B*Y; a=alpha(1,1); %灰微分方程或白化方程的系數(shù)估計(jì) b=alpha(2,1); d=b/a; c=X1(1)-d; X2(1)=X0(1); X(1)=X0(1); for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);end %時(shí)間相應(yīng)序列 for i=(n+1):(n+3)X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d;X(i)=X2(i)-X2(i-1); %預(yù)測(cè)序列end for i=1:nerror(i)=X(i)-X0(i);error1(i)=abs(error(i); %殘差error2(i)=error1(i)/X0(i); %相對(duì)誤差end c=std(error1)/std(X0); %相對(duì)誤差的平方和通過(guò)上述程序求解有： ，時(shí)間響應(yīng)序列為：還原后的數(shù)據(jù)：相對(duì)誤差：誤差平方和：0.498圖3 預(yù)測(cè)效果圖表3.4 20082010年上海房地產(chǎn)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)表年份200820092010上海106.95106.271