預測類數(shù)學模型

第二章 預測類數(shù)學模型本章重點：預測類數(shù)學模型的基本思想，掌握基本的數(shù)據(jù)擬合方法多項式數(shù)據(jù)擬合，灰色預測模型等。學習要求1能用基本的數(shù)學模型方法解決一些簡單的預測類問題。2掌握基本擬合方法的原理與優(yōu)缺點。2.1最小二乘法的基本原理和多項式擬合2.1.1 最小二乘法的基本原理從整體上考慮近似函數(shù)同所給數(shù)據(jù)點 (i=0,1,m)誤差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 (i=0,1,m)絕對值的最大值，即誤差 向量的范數(shù)；二是誤差絕對值的和，即誤差向量r的1范數(shù)；三是誤差平方和的算術(shù)平方根，即誤差向量r的2范數(shù)；前兩種方法簡單、自然，但不便于微分運算 ，后一種方法相當于考慮 2范數(shù)的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和來 度量誤差 (i=0，1，m)的整體大小。數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù) (i=0,1,，m)，在取定的函數(shù)類中,求,使誤差(i=0,1,m)的平方和最小，即 =從幾何意義上講，就是尋求與給定點 (i=0,1,m)的距離平方和為最小的曲線（圖6-1）。函數(shù)稱為擬合 函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法.212.1.2 多項式擬合 所謂多項式數(shù)據(jù)擬合，主要是采用多項式函數(shù)形式來進行擬合、逼近數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來的趨勢。多項式的系數(shù)可以由最小二乘法計算出來。假設給定數(shù)據(jù)點 (i=0,1,m)，為所有次數(shù)不超過的多項式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一,使得 (1)當擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（1）的稱為最小二乘擬合多項式。特別地，當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。顯然為的多元函數(shù)，因此上述問題即為求的極值 問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得 (2)即 (3)（3）是關(guān)于的線性方程組，用矩陣表示為 (4)式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。可以證明，方程組（4）的系數(shù)矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出 (k=0,1,，n)，從而可得多項式 (5)可以證明，式（5）中的滿足式（1），即為所求的擬合多項式。我們把稱為最小二乘擬合多項式的平方誤差，記作由式(2)可得 (6)多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步： (1) 由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形散點圖，確定擬合多項式的次數(shù)n；(2) 列表計算和；(3) 寫出正規(guī)方程組，求出；(4) 寫出擬合多項式。在實際應用中，或；當時所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式。 *2.1.3最小二乘擬合多項式的存在唯一性定理1 設節(jié)點互異，則法方程組（4）的解存在唯一。定理2 設是正規(guī)方程組（4）的解，則是滿足式（1）的最小二乘擬合多項式。*2.1.4 多項式擬合中克服正規(guī)方程組的病態(tài)在多項式擬合中，當擬合多項式的次數(shù)較高時，其正規(guī)方程組往往是病態(tài)的。而且：正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高，病態(tài)越嚴重；擬合節(jié)點分布的區(qū)間偏離原點越遠，病態(tài)越嚴重； (i=0,1,，m)的數(shù)量級相差越大，病態(tài)越嚴重。為了克服以上缺點，一般采用以下措施：盡量少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；不使用原始節(jié)點作擬合，將節(jié)點分布區(qū)間作平移，使新的節(jié)點關(guān)于原 點對稱，可大大降低正規(guī)方程組的條件數(shù)，從而減低病態(tài)程度。平移公式為： (9)對平移后的節(jié)點(i=0,1,，m),再作壓縮或擴張?zhí)幚恚?（10）其中,（r是擬合次數(shù)） （11） 經(jīng)過這樣調(diào)整可以使的數(shù)量級不太大也不太小，特別對于等距節(jié)點，作式（10）和式（11）兩項變換后，其正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣設 為A，則對14次多項式擬合，條件數(shù)都不太大，都可以得到滿意的結(jié)果。變換后的條件數(shù)上限表如下：擬合次數(shù)1234=19.950.3 format long; X0=98.6,104.4,107.3,120.1,115.9,109.7,98.7; %原始數(shù)據(jù)輸入 n=length(X0); %定義原始數(shù)據(jù)長度 X1(1)=X0(1); %一次累加向量的第一個分量 for i=2:n %一次累加向量的其他分量X1(i)=X1(i-1)+X0(i)end for i=1:n-1 %計算B與YB(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1);B(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);end alpha=(B*B)(-1)*B*Y; a=alpha(1,1); %灰微分方程或白化方程的系數(shù)估計 b=alpha(2,1); d=b/a; c=X1(1)-d; X2(1)=X0(1); X(1)=X0(1); for i=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);end %時間相應序列 for i=(n+1):(n+3)X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d;X(i)=X2(i)-X2(i-1); %預測序列end for i=1:nerror(i)=X(i)-X0(i);error1(i)=abs(error(i); %殘差error2(i)=error1(i)/X0(i); %相對誤差end c=std(error1)/std(X0); %相對誤差的平方和通過上述程序求解有： ，時間響應序列為：還原后的數(shù)據(jù)：相對誤差：誤差平方和：0.498圖3 預測效果圖表3.4 20082010年上海房地產(chǎn)價格指數(shù)預測表年份200820092010上海106.95106.271