函數(shù)恒成立存在性及有解問題

函數(shù)恒成立存在性問題精品資料知識(shí)點(diǎn)梳理1 、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：afx恒成立afx2 、能成立問題的轉(zhuǎn)化：afx能成立afxmax ； afx恒成立afxminmin； afx能成立afxafxmax在m 上恒成立3 、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：afx 在 m 上恰成立afx 的解集為mafx在cr m 上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若xd, f(x)a 在 d 上恰成立，等價(jià)于f (x)在 d 上的最小值f min ( x)a ，若xd,f (x)b 在 d 上恰成立，則等價(jià)于f (x)在 d 上的最大值f max (x)b .4 、設(shè)函數(shù)fx 、 g x，對(duì)任意的x1a , b，存在 x2c , d，使得f x1g x2，則 f minxg minx5 、設(shè)函數(shù)fx 、 g x，對(duì)任意的x1a , b，存在 x2c , d，使得f x1g x2 ，則fmaxxg maxx6 、設(shè)函數(shù)7 、設(shè)函數(shù)f x 、 g x fx 、 g x，存在 x1，存在 x1a , ba , b，存在 x2，存在 x2c , dc , d，使得fx1，使得fx1g x2g x2，則 f max x，則 f min xgminxg max x8 、若不等式fxgx在區(qū)間 d 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間d 上函數(shù) yfx和圖象在函數(shù)ygx圖象上方；9 、若不等式fxgx在區(qū)間 d 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間d 上函數(shù) yfx和圖象在函數(shù)ygx圖象下方；例題講解：題型一、常見方法2a1 、已知函數(shù)f ( x)x2ax1 ， g( x)，其中 ax0 ， x0 1） ）對(duì)任意x1,2，都有f ( x)g ( x)恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；2） ）對(duì)任意x11,2, x22,4 ，都有f ( x1 )g( x2 ) 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；2 、設(shè)函數(shù)h( x)axxb ，對(duì)任意 a1,22，都有h( x)10 在 x1,1 恒成立，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍43 、已知兩函數(shù)f (x)2x， g( x)x11m ，對(duì)任意x20,2，存在 x21,2，使得f (x1 )g x2，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為題型二、主參換位法( 已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1 、對(duì)于滿足p2 的所有實(shí)數(shù)p, 求使不等式x2px1p2x 恒成立的x 的取值范圍。2 、已知函數(shù)f ( x)ln( exa)( a為常數(shù)） 是實(shí)數(shù)集r上的奇函數(shù)，函數(shù)g xf ( x)sin x 是區(qū)間1,1 上的減函數(shù)，( )求 a 的值； ()若g( x)t 2t1在x1,1 上恒成立，求t 的取值范圍；題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）1 、當(dāng) x1,2時(shí)，不等式x2mx40 恒成立，則m 的取值范圍是.題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1 、若對(duì)任意xr,不等式 | x |ax 恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 2 、已知函數(shù)fxx22kx2 ，在 x1 恒有 fxk ，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍。題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間d 上存在實(shí)數(shù)x 使不等式fxa 成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間d 上fx maxa；2若在區(qū)間d 上存在實(shí)數(shù)x 使不等式fxb 成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間d 上的fxb .min1 、存在實(shí)數(shù)x ，使得不等式x3x1a 3a 有解，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為 。2 、已知函數(shù)fxln x1 ax222 xa0存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a 的取值范圍小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別fxmfxmfxmfxm恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式對(duì) xi 時(shí)恒成立fmax ( x)m?， xi 。即 fx 的上界小于或等于m ；不等式對(duì) xi 時(shí)有解f min ( x)m?， xi 。 或 fx的下界小于或等于m ；不等式對(duì) xi 時(shí)恒成立fmin ( x)m?， xi 。即 fx 的下界大于或等于m ；不等式課后作業(yè)：對(duì) xi 時(shí)有解f max ( x)m ， xi . 。 或 fx 的上界大于或等于m ；1 、設(shè) a1，若對(duì)于任意的x a,2 a ，都有 ya, a2 滿足方程 logxlog a y3 ，這時(shí) a 的取值集合為 （）a（ a ） a |1a2xy（ b ） a | a20（ c ） a | 2a3（ d） 2,32 、若任意滿足xy50 的實(shí)數(shù)x , y ，不等式a( x2y2 )( xy) 2 恒成立，則實(shí)數(shù)a 的最大值是 .y303 、不等式2sin x4sin x1a0 有解，則 a 的取值范圍是4 、不等式axx 4x在 x0,3內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。5 、已知兩函數(shù)fx7x 228xc ， g x2x34x240 x 。（ 1 ）對(duì)任意 x3,3，都有fxg x)成立，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍；（ 2 ）存在 x3,3，使 fxg x 成立，求實(shí)數(shù)c 的取值范圍；（ 3 ）對(duì)任意x1 , x23,3，都有f x1g x2，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；（ 4 ）存在x1 , x23,3，都有f x1g x2，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；13226 、設(shè)函數(shù)f ( x)x2ax33a xb (0a1,b r) .（）求函數(shù) fx 的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若對(duì)任意的x a1, a2, 不等式fxa 成立，求a 的取值范圍。7 、已知 a 、b、c 是直線上的三點(diǎn)，向量 ， ， 滿足： oay2f1obln x1oc0 .（ 1 ）求函數(shù)y f(x) 的表達(dá)式；2x（ 2 ）若 x 0 ，證明： f(x) x 2 ；oaoboc12（ 3 ）若不等式x2f x 2m 22bm3 時(shí)， x1 ,1 及 b1 , 1都恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍8 、設(shè) f xqpx2 ln x ，且 f e xpqe2 （ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）e(i) 求 p 與 q 的關(guān)系；(ii) 若 f x 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p 的取值范圍；(iii) 設(shè) g x2e，若在x1 , e上至少存在一點(diǎn)x 0 ，使得 f x 0g x 0成立 , 求實(shí)數(shù)p 的取值范圍 .函數(shù)專題 4 ：恒成立問題參考答案：題型一、常見方法1 、分析： 1 ）思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)g(x)0恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決2）思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)f (x) 和3g(x)分別求最值，即只需滿足fmin(x)3gmax(x)即可2簡解：（ 1 ）由 x2ax1a0xax2 x 2x成立，只需滿足1(x)x 2 x2x 的最小值大于a 即可對(duì)1( x)x32 x 2x求導(dǎo)，12( x)2x4(2x 2x 211) 20 ，故( x) 在 x1,2是增函數(shù)，min(x)(1)2 ，所以 a 的3取值范圍是0a32 、分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法 1：化歸最值，h( x)10hmax ( x) a10 ；2方法 2：變量分離，b10(x1x) 或 ax(10b)x ；1方法 3：變更主元，(a)axb10xa0 ， a,22a (xa)(xa)簡解：方法1: 對(duì) h( x)g( x)xbxb 求導(dǎo)，xh (x)122，xx由此可知，1h(x)1在,141上的最大值為39h( 1 ) 與 h(1) 中的較大者4h( )1044ab104b4a4，對(duì)于任意a 1 ,2，得 b 的取值范圍是b 7 h(1)101ab10b9a24x3 、解析：對(duì)任意x10,2，存在x21,2，使得f ( x1 )g x2等價(jià)于g( x)12m 在 1,2上的最小值1m 不大于4f ( x)x2 在0,21上的最小值0，既m 40 ，m14題型二、主參換位法( 已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1 、解：不等式即x1 px22x10 ,設(shè)fpx1 px22x1 ，則 fp在-2,2 上恒大于0 ，故f20有：f20x24x30x210x3或x1xx1或x11或 x32 、 ( ) 分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及 t ,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在, 1 內(nèi) 關(guān)于的一次函數(shù)大于等于0 恒成立的問題。()略解：由()知：f ( x)x ，g( x)xsin x ，g( x) 在1，1上單調(diào)遞減，g ( x)cosx0cos x 在1，1上恒成立，1， g( x)22maxg ( 1)sin1 ，只需sin1t 2t1 ，(t1)tsin110 （其中1 ）恒成立，由上述結(jié)論：可令f(t1)tsin110(1）,則tt1t 210sin110t，t 2t12sin10 ，而 ttsin10 恒成y立，t1 。y| x |y| x |題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）yaxyax精品資料xo1 、當(dāng) x1,2時(shí)，不等式x2mx40 恒成立，則m 的取值范圍是.精品資料解析 : 當(dāng) x(1,2)時(shí)，由x2mx40 得 mx24 x.m5 .題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）1 、解析：對(duì)xr,不等式 | x |ax 恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1a1，即1a1。2 、分析：為了使fxk 在 x1,恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)fxfxk ，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)2在區(qū)間1,時(shí)恒大于等于0 的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。解：令fxfxkx2kx2k ，則 fx0 對(duì) x1,恒成立，而fx 是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與x 軸無交點(diǎn)滿足0 ，即4k 22 2k0 ，解得2k1 。當(dāng)圖象與x 軸有交點(diǎn)，且在x1,時(shí) fx0 ，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得：0f10解得3k2 ，故由知3k1 。2k12小結(jié)：若二次函數(shù)ayax20bxc a0 大于 0 恒成立，則有a00 ，同理，若二次函數(shù)yax2bxc a0 小 于 0恒成立，則有求解。0 。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間d 上存在實(shí)數(shù)x 使不等式fxa 成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間d 上fx maxa；若在區(qū)間d 上存在實(shí)數(shù)x 使不等式fxb 成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間d 上的fx minb .1 、解：設(shè)fxx3x1 ，由fxa23a 有解，a23afxmin ，又 x3x1x3x14 ，a23a4 ，解得 a4或a1 。1ax22 x12 、解：因?yàn)楹瘮?shù)fx存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以fxax20xx12120,有解 .即 ax0,x2x能成立 , 設(shè) uxx2x .由 ux121211得,uminx1.于是, a1 ,x2xx由題設(shè) a0 ,所以 a 的取值范圍是1,00,課后作業(yè)：1 、b 。解析：由方程log a xa2log a y3 可得 ya 3，對(duì)于任意的xxa, 2a ，可得 a22aa2 ，依題意得3xa2a2a2a2 。25a12y32 、 答案：。解析：由不等式13a( x2y2 )( xy) 2 可得x y ，由線性規(guī)劃可得1。y xx23 、解：原不等式有解asin 2 x4sin x21sin x231sin x1 有解，而2sin x23min2 ，所以 a2 。4 、解：畫出兩個(gè)凼數(shù)yax 和 yx 4x在 x30,3yyax上的圖象如圖知當(dāng)x3 時(shí) y3 ， a3當(dāng) a3 ， x30,3時(shí)總有axx 4x所以 a3 303x5 、解析：（ 1 ）設(shè)h xg xfx2 x33x212xc，問題轉(zhuǎn)化為x3,3時(shí)， h x0 恒成立，故hminx0 。令hx6 x26x126 x1x20 ，得 x1 或 2 。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知h x在3, 1 單調(diào)遞增，在1,2 單調(diào)遞減，在 2,3 單調(diào)遞增， 且 h3c45 ，h x極大值h1c7 ，h x極小值h 2c20 ，h 3c9 ，hnmixh3c45，由 c450 ，得 c45 。（ 2 ）據(jù)題意：存在x3,3，使 fxg x 成立，即為：h xg xfx0 在 x3,3有解，故hmaxx0 ，由（ 1 ）知hmaxxc70 ，于是得 c7 。（ 3 ）它與（ 1 ）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意x1 , x23,3，都有f x1g x2成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1 ， x2 的取值在3,3 上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：fmax ( x)g min ( x),?x 3?,3。 fx27 x2c28,x3,3 fx maxf3147c ，gx6 x28x402 3x10x2 ，gx0 在區(qū)間3,3 上只有一個(gè)解x2 。g xming 248 ，147c48 ，即 c195 .（ 4 ）存在x1 , x23,3，都有f x1g x2，等價(jià)于fminx1gmaxx2，由 (3) 得f minx1f2c28 ，gmaxx2g3102 ，c28102c130點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。6 、解：（）f( x)x24ax3a 2（ 1 分）令 f( x)令 f( x)0, 得0, 得f ( x)f ( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a ）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（ 3a ， +） （ 4 分）當(dāng)x=a 時(shí)，f ( x)極小值 =3 a 3b;4當(dāng) x=3a 時(shí)，f (x)極小值 =b.（ 6 分）（）由| f( x) |a，得 ax2+4ax 3a2 a. （ 7 分）0a2a.f( x)x 24ax3a 2 在 a1,a2 上是減函數(shù) .（ 9 分）f( x) maxf(a1)2a1. f( x) minf (a2)4a4.于是，對(duì)任意x a1, a2 ，不等式恒成立，等價(jià)于a4aa2a1.4,解得 45a1.又 0a1,4a1.57 、解： (1)oa y2f /(1)ob ln(x 1)oc 0， y 2f /(1)ob ln(x 1)ocoa由于 a 、b、c 三點(diǎn)共線即y 2f /(1) ln(x 1) 12 分y f(x) ln(x 1) 1 2f /(1)11f /(x) x1 ，得 f /(1) 2 ，故 f(x) ln(x 1)4 分2x1（ 2 ）令 g(x) f(x) x2 ，由 g/(x) x 12(x 2) 2xx2(x 2)2 (x 1)(x 2)2x 0，g/(x) 0 ，g(x) 在(0 ，)上是增函數(shù)6 分故 g(x) g(0) 02x即 f(x) x 28 分1（ 3）原不等式等價(jià)于12x2 f(x2) m2 2bm 312xx3 x令 h(x) 2 x2 f(x2) 2x2 ln(1 x2) ，由 h/(x) x 1 x2 1 x210 分當(dāng) x 1， 1 時(shí)， h(x)max 0，m2 2bm 30q(1) m2 2m 30令 q(b) m2 2bm 3 ，則q( 1) m2 2m 30得 m3 或 m312 分8 、解： (i) 由題意得fepeq2lneqep2pqe10 而 e1 0 ，所以 pqeeeepp2px 22 xp(ii) 由 (i) 知fxpx2lnxx ， fxp2xxx 24 分2令 hxpx2xp ，要使 fx 在其定義域(0,+) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)， 只需h(x)在 (0,+) 內(nèi)滿足：h(x) 0 或h(x) 0 恒成立 .5 分 當(dāng) p0 時(shí)，px20 ,2x0hx0 ，所以fx在 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故p0 ； 當(dāng) p0 時(shí)，h xpx22xp，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x10 ，phxh1p1 ，只需p10 ，即 p1 時(shí)，h(x) 0 ， fx0 ，ppminpf (x)在 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故p 1 適合題意 .綜上可得， p 1 或 p 0pp212另解： (ii)由 (i) 知 f (x) = px x 2ln xf (x) = p +x 2 x = p (1 +x 2 ) x要使f (x)在其定義域(0,+) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需f (x)在 (0,+) 內(nèi)滿足： f(x) 0或 f (x) 0 恒成立 .1222由 f (x) 0p (1 +x 2 ) x 0p 1x +xp (x +1 )max ， x 0 x21 21= 1 ，且x = 1時(shí)等號(hào)成立，故(21 )max = 1x +xp 12 x x12x +x2x2