2019屆天津市部分區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2019屆天津市部分區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1設(shè)集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】直接利用交集的定義求解即可.【詳解】集合，集合與集合公共元素組成的集合，故選A.【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.2設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（ ）A7B5C3D2【答案】B【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.3如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（ ）A3B2CD【答案】A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可得到輸出的的值.【詳解】輸入，第一次循環(huán)；第二次循環(huán)；第三次循環(huán)，退出循環(huán)輸出，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題. 解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.4設(shè)，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可證明充分性與必要性均成立.【詳解】在上遞減，若充分性成立， 若，則，必要性成立，即“”是“”的充要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及充分條件與必要條件的定義，屬于中檔題.判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題的等價(jià)性判斷；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.5已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】，在上遞減，即，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（本題是看兩個(gè)區(qū)間 ；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.6已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，雙曲線的漸近線上點(diǎn)滿足，則雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線上點(diǎn)滿足，結(jié)合，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、即可得結(jié)果.【詳解】在的漸近線上，又，又，由得，雙曲線方程為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，屬于中檔題. 求解雙曲線方程的題型一般步驟：（1）判斷焦點(diǎn)位置；（2）設(shè)方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結(jié)論.7函數(shù)的圖象過點(diǎn)（如圖所示），若將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對稱軸的方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】利用圖象求得函數(shù)的解析式，根據(jù)平移法則求得，由可得結(jié)果.【詳解】過，,或，又， 向右平移個(gè)單位，得，即，令，,時(shí)，為的一條對稱軸的方程，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，重點(diǎn)考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.8已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)滿足，其中，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，可得的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】畫出 圖象，如圖，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，由圖可知，即的取值范圍是，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)果思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)二、填空題9是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_.【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故答案為.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.10已知函數(shù)且，為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則_.【答案】【解析】利用對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式求出,將代入所求導(dǎo)函數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，意在考查對基本公式的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11圓柱的體積為，底面半徑為，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積為_.【答案】【解析】利用柱體的體積公式求出圓柱的高，由勾股定理求出球的半徑，根據(jù)球的體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱體積為，底面半徑為，設(shè)球半徑為，則，可得，球的體積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱與球體的性質(zhì)，以及柱體與球體的體積公式，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解答問題的能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題.12已知圓心在直線上的圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則該圓的方程為_.【答案】【解析】求出的垂直平分線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心坐標(biāo)，從而求得圓的半徑，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，圓心在的垂直平分線上，又圓心在上，由得圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)，屬于中檔題. 求圓的方程常見思路與方法有:直接設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo) ，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可；根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程；待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.13已知，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為_.【答案】【解析】由在直線上，可得，設(shè)，則，原式化為，展開后利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】在上，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，“=”成立，即的最小值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號能否同時(shí)成立）.14在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則_.【答案】200【解析】由已知，求得，且，則，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且，故答案為200.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題. 平面向量數(shù)量積的計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決三、解答題15在中，（）求a的值；（）求的值【答案】（）（）【解析】（）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合，可以求出的值，運(yùn)用正弦定理，可以求出a的值；（）由，運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可以求出的值，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，可以求出的值，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式求出，最后利用二倍角的余弦公式求出的值.【詳解】解：（）在中，由，得因?yàn)?，由正弦定理，得，即，所以（）因?yàn)椋?，所以故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了兩角和的正弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16“微信運(yùn)動”已經(jīng)成為當(dāng)下最熱門的健身方式，小李的微信朋友圈內(nèi)也有大量的好友參加了“微信運(yùn)動.”他隨機(jī)的選取了其中30人，記錄了他們某一天走路的步數(shù)，將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)人數(shù)51312（1）若采用樣本估計(jì)總體的方式，試估計(jì)小李所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步數(shù)若超過8000步則他被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則評定為“懈怠型”.將這30人按照“積極型”、“懈怠型”分成兩層，進(jìn)行分層抽樣，從中抽取5人，將這5人中屬于“積極型”的人依次記為，屬于“懈怠型”的人依次記為，現(xiàn)再從這5人中隨機(jī)抽取2人接受問卷調(diào)查.（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)M為事件“抽取的2人來自不同的類型”，求事件M發(fā)生的概率.【答案】（1）；（2）（i），；（）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表各區(qū)間段的人數(shù)和總?cè)藬?shù)，得到每日走路步數(shù)超過5000步的頻率，利用頻率估計(jì)出概率；（2）（i）根據(jù)分層抽樣，得到“積極型”和“懈怠型”的人數(shù)，從而列出所有的可能結(jié)果；（ii）寫出滿足事件的情況，根據(jù)古典概型公式，得到答案.【詳解】解：（1）由題意知30人中一天走路步數(shù)超過5000步的有25人，頻率為，所以估計(jì)小李所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率為. （2）（i）5人中“積極型”有人，這兩人分別記為，.5人中“懈怠型”有人，這三人分別記為，.在這5人中任選2人，共有以下10種不同的等可能結(jié)果：，.（ii）事件M“抽取的2人來自不同的類型”有以下6中不同的等可能結(jié)果：， 所以根據(jù)古典概型公式，得其概率為.所以事件M發(fā)生的概率.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率，分層抽樣中各層數(shù)量的計(jì)算，求古典概型概率，屬于簡單題.17如圖，四棱錐中，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）根據(jù)，得到平面，從而得到；（2）【詳解】（1）證明：， 又，平面，平面 又平面.（2）證明：取中點(diǎn)，連接.，分別是，的中點(diǎn)，且，又且，且，四邊形MNBC是平行四邊形，又平面，平面，平面. （3）解：，平面，平面為直線與平面所成的角 在中， 所以在中，. .所以，直線與平面所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，線面平行的判定，求直線與平面所成的夾角，屬于簡單題.18已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，求出的公差，可得的通項(xiàng)公式，由求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，. （2）由題意，得 , , ,上述兩式相減，得 . .【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，以及等比數(shù)列的求和公式，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬于中檔題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號；求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.19已知橢圓的離心率為，短軸長為.（1）求的方程；（2）如圖，經(jīng)過橢圓左頂點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線于點(diǎn)，且面積為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，短軸長為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，可得直線方程，與直線的方程聯(lián)立求得點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式以及三角形面積公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知. 解得.橢圓的方程為. （2）易知，橢圓的左頂點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，則.由消去并整理，得.設(shè)，.，. ，直線的斜率為.直線方程為，直線的方程為.點(diǎn). 點(diǎn)到直線的距離為. ，解得.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單.20已知函數(shù)，其中.（1）若曲