創(chuàng)新設計高三數(shù)學一輪復習 第12知識塊第1講歸納與類比課件 北師大

1 了解合情推理的含義 能利用歸納和類比等進行簡單的推理 了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用 2 了解演繹推理的重要性 掌握演繹推理的基本模式 并能運用它們進行一些簡單推理 3 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 考綱下載 第1講歸納與類比 第十二知識塊推理與證明 1 合情推理 1 定義 由某類事物的部分對象具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由個別事實概括出一般結論的推理 全部對象 歸納推理 特點 是由到整體 由到一般的推理 2 定義 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有的推理 特點 類比推理是由的推理 個別 部分 類比推理 這些特征 特殊到特殊 提示 1 合情推理所獲得的結論 僅僅是一種猜想 未必可靠 例如費馬猜想就被歐拉推翻了 2 在進行類比推理時要盡量從本質上去類比 不要被表面現(xiàn)象迷惑 否則只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比 就會犯機械類比的錯誤 1 模式 三段論 2 特點 演繹推理是由到的推理 一般原理 特殊情況 特殊情況 一般 特殊 2 演繹推理 1 數(shù)列1 2 4 8 16 32 的一個通項公式是 A an 2n 1B an 2n 1C an 2nD an 2n 1解析 可觀察1 2 4 8 16 32 即20 21 22 23 24 25 可得an 2n 1 也可用特殊值進行篩選 答案 B 2 所有9的倍數(shù) M 都是3的倍數(shù) P 某奇數(shù) S 是9的倍數(shù) M 故此奇數(shù) S 是3的倍數(shù) P 上述推理是 A 小前提錯B 結論錯C 正確的D 大前提錯答案 C 3 把1 3 6 10 15 21 這些數(shù)叫做三角形數(shù) 這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形 如圖 試求第七個三角形數(shù)是 A 27B 28C 29D 30解析 第七個三角形數(shù)為 1 2 3 4 5 6 7 28 答案 B 4 2009 江蘇 在平面上 若兩個正三角形的邊長的比為1 2 則它們的面積比為1 4 類似地 在空間中 若兩個正四面體的棱長的比為1 2 則它們的體積比為 解析 由類比推理得 若兩個正四面體的棱長的比為1 2 則它們的體積比為1 8 歸納推理的一般步驟 1 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質 2 從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題 因為歸納推理是由特殊得出的一般性結論 所以歸納應立足于觀察 經(jīng)驗和實驗的基礎之上 有時歸納推理的結論不一定可靠 需要對所得結論進行檢驗 數(shù)學上的檢驗標準是能否進行嚴格證明 例1 在數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 n N 猜想這個數(shù)列的通項公式 思維點撥 根據(jù)已知條件和遞推關系 先求出數(shù)列的前幾項 然后總結歸納其中的規(guī)律 寫出其通項公式 變式1 設f n n2 n 41 n N 計算 f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同時作出歸納推理 并用n 40驗證猜想是否正確 解 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151都為質數(shù) 歸納猜想 當x N 時 f n n2 n 41的值都為質數(shù) n 40時 f 40 402 40 41 40 40 1 41 41 41 1681 f 40 是合數(shù) 因此 由上面歸納推理得到的猜想不正確 類比推理是由特殊到特殊的推理 推理的結果不一定準確 但是可以通過嚴格的邏輯證明來解決這類問題 在類比時要注意已知問題與類比問題的共性與區(qū)別 通常情況下 平面圖形中的點 線 面可類比為空間圖形中的線 面 體 另外常見的類比還有代數(shù)中的加減運算可類比為乘除運算 等差與等比的類比 0與1的類比 平面幾何與空間幾何的類比等 例2 2009 浙江 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差數(shù)列 類比以上結論有 設等比數(shù)列 bn 的前n項積為Tn 則T4 成等比數(shù)列 思維點撥 由可想到求即可 解析 對于等比數(shù)列 通過類比 有等比數(shù)列 bn 的前n項積為Tn 則T4 a1a2a3a4 T8 a1a2 a8 T12 a1a2 a12 T16 a1a2 a16 因此 a5a6a7a8 a9a10a11a12 a13a14a15a16 而T4 的公比為q16 因此T4 成等比數(shù)列 答案 ABC外接圓半徑r 運用類比方法 若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長度分別為a b c 則其外接球的半徑R 解析 在直角三角形中 外接圓的半徑為斜邊長的一半 在三棱錐中 外接球的直徑為以直角頂點出發(fā)的三條棱為邊的長方體的體對角線 故有R 答案 變式2 2009 深圳一調 在Rt ABC中 若 C 90 AC b BC a 則 1 演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式 是一種必然性推理 演繹推理的前提與結論之間有蘊含關系 因而 只要前提是真實的 推理的形式是正確的 那么結論必定是真實的 但是錯誤的前提可能導致錯誤的結論 2 演繹推理的主要形式 就是由大前提 小前提推出結論的三段論式推理 例3 已知函數(shù)f x a 0且a 1 1 證明 函數(shù)y f x 的圖象關于點對稱 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 思維點撥 證明本題依據(jù)的大前提是中心對稱的定義 函數(shù)y f x 的圖象上的任一點關于對稱中心的對稱點仍在圖象上 小前提是f x a 0且a 1 的圖象關于點對稱 1 證明 函數(shù)f x 的定義域為R 任取一點 x y 它關于點對稱的點的坐標為 1 x 1 y 即函數(shù)y f x 的圖象關于點對稱 2 解 由 1 有 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 則f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 變式3 證明函數(shù)f x x 在 1 上是增函數(shù) 證明 證法一 任取x1 x2 1 且x1 x2 則f x1 f x2 于是 根據(jù) 三段論 可知 f x x 在 1 上是增函數(shù) 1 合情推理主要包括歸納推理和類比推理 數(shù)學研究中 在得到一個新結論前 合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結論 在證明一個數(shù)學結論之前 合情推理常常能為證明提供思路與方向 2 合情推理的過程概括為 方法規(guī)律 3 演繹推理是從一般的原理出發(fā) 推出某個特殊情況的結論的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段論 數(shù)學問題的證明主要通過演繹推理來進行 4 合情推理僅是 合乎情理 的推理 它得到的結論不一定正確 但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律 為我們提供證明的思路和方法 而演繹推理得到的結論一定正確 前提和推理形式都正確的前提下 5在數(shù)學中 證明命題的正確性都是使用演繹推理 而合情推理不能用作證明 高考真題 2009 廣東卷 某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示 墩的上半部分是正四棱錐P EFGH 下半部分是長方體ABCD EFGH 圖2 圖3分別是該標識墩的正 主 視圖和俯視圖 1 請畫出該安全標識墩的側 左 視圖 2 求該安全標識墩的體積 3 證明 直線BD垂直于平面PEG 這道題是比較簡單的 只要連結圖上的EG HF及BD 找出EG與HF的交點O 連結PO 由正四棱錐的性質經(jīng)幾個簡單的步驟就可以推證出來 廣東文科試題近三年對推理論證能力的考查一直停留在比較初級的階段 主要以立體幾何中的一些位置關系證明與判斷的形式出現(xiàn) 難度不大 非常符合廣東文科考生數(shù)學認知特點與水平 所以文科考生不必對推理與證明產生畏懼 掌握論證問題 線面關系 的一些簡單 基本思路 這個分數(shù)是很容易得到 命題探究 規(guī)范解答 推理論證能力 推理是思維的基本形式之一 它由前提和結論兩部分組成 論證是由已有的