高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 8.5 曲線與方程課件 理.ppt

第五節(jié)曲線與方程 知識(shí)梳理 1 曲線與方程的定義一般地 在直角坐標(biāo)系中 如果某曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f x y 0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系 這個(gè)方程 曲線上 那么 這個(gè)方程叫做 的方程 這條曲線叫做 的曲線 曲線 方程 2 求軌跡方程的基本步驟 任意 x y 所求方程 特別提醒 1 曲線的交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系 1 兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解 即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解 2 方程組有幾組解 兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn) 方程組無解 兩條曲線就沒有交點(diǎn) 2 求曲線方程步驟的兩點(diǎn)說明 1 題中涉及點(diǎn)的坐標(biāo)或方程時(shí) 事實(shí)上已存在了坐標(biāo)系 解題時(shí)只需從第二步設(shè)點(diǎn)開始即可 2 對(duì)方程化簡時(shí)只要前后方程解集相同 驗(yàn)證一步可以省略 必要時(shí)可說明x y的取值范圍 小題快練 鏈接教材練一練1 選修2 1p37練習(xí)t2改編 已知方程ax2 by2 2的曲線經(jīng)過點(diǎn)和b 1 1 則曲線方程為 解析 由題意得解得所以曲線方程為即答案 2 選修2 1p37習(xí)題2 1a組t2改編 和點(diǎn)o 0 0 a c 0 距離的平方和為常數(shù)c的點(diǎn)的軌跡方程為 解析 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 x y 由題意知 2 2 c 即x2 y2 x c 2 y2 c 即2x2 2y2 2cx c2 c 0 答案 2x2 2y2 2cx c2 c 0 感悟考題試一試3 2016 宜昌模擬 方程x 所表示的曲線是 a 雙曲線的一部分b 橢圓的一部分c 圓的一部分d 直線的一部分 解析 選b x 兩邊平方 可變?yōu)閤2 4y2 1 x 0 表示的曲線為橢圓的一部分 4 2016 天水模擬 點(diǎn)p是以f1 f2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn) 過焦點(diǎn)作 f1pf2外角平分線的垂線 垂足為m 則點(diǎn)m的軌跡是 a 圓b 橢圓c 雙曲線d 拋物線 解析 選a 如圖 延長f2m交f1p的延長線于點(diǎn)n 因?yàn)?pf2 pn 所以 f1n 2a 連接om 則在 nf1f2中 om為中位線 則 om f1n a 所以點(diǎn)m的軌跡是圓 5 2016 大連模擬 在 abc中 bc 4 a點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn) 滿足sinc sinb 2sina 若以bc為x軸 bc的中點(diǎn)為原點(diǎn) 建立平面直角坐標(biāo)系 則a點(diǎn)的軌跡方程為 解析 由正弦定理得 ab ac 2 bc 即 ab ac 8 4 故a點(diǎn)的軌跡為橢圓 則橢圓方程為 1 又因?yàn)閍 b c三點(diǎn)不能共線 所以a點(diǎn)的軌跡方程為 1 y 0 答案 1 y 0 考向一定義法求點(diǎn)的軌跡方程 典例1 1 2016 北京模擬 abc的頂點(diǎn)a 5 0 b 5 0 abc的內(nèi)切圓圓心在直線x 3上 則頂點(diǎn)c的軌跡方程是 2 已知圓m x 1 2 y2 1 圓n x 1 2 y2 9 動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切 則圓心p的軌跡方程為 解題導(dǎo)引 1 根據(jù)題設(shè)條件 尋找動(dòng)點(diǎn)c與兩定點(diǎn)a b距離的差滿足的等量關(guān)系 ca cb 6 由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分 再求其方程 2 可依據(jù)兩圓的位置關(guān)系 得出圓心距與兩圓半徑的和 差的絕對(duì)值之間的關(guān)系 進(jìn)而得出軌跡方程 規(guī)范解答 1 如圖 ad ae 8 bf be 2 cd cf 所以 ca cb 8 2 6 根據(jù)雙曲線的定義 所求軌跡是以a b為焦點(diǎn) 實(shí)軸長為6的雙曲線的右支 方程為 1 x 3 答案 1 x 3 2 因?yàn)閳Ap與圓m外切且與圓n內(nèi)切 pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 由橢圓的定義可知 曲線c是以m n為左右焦點(diǎn) 長半軸長為2 短半軸長為的橢圓 左頂點(diǎn)除外 其方程為 1 x 2 答案 1 x 2 母題變式 1 若本例 2 中的條件 動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切 改為 動(dòng)圓p與圓m 圓n都外切 則圓心p的軌跡方程為 解析 因?yàn)閳Am與圓n相內(nèi)切 設(shè)其切點(diǎn)為a 又因?yàn)閯?dòng)圓p與圓m 圓n都外切 所以動(dòng)圓p的圓心在mn的連線上 且經(jīng)過點(diǎn)a 因此動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是射線am的反向延長線 不含切點(diǎn)a 其方程為 y 0 x 2 答案 y 0 x 2 2 若本例 2 中的條件 動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切 改為 動(dòng)圓p與圓m 圓n都內(nèi)切 則圓心p的軌跡方程為 解析 因?yàn)閳Am與圓n相內(nèi)切 設(shè)其切點(diǎn)為a 又因?yàn)閯?dòng)圓p與圓m 圓n都內(nèi)切 所以動(dòng)圓p的圓心在mn的連線上 且在點(diǎn)n的右側(cè) 因此動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是射線na的反向延長線 不含圓心n 其方程為 y 0 x 1 答案 y 0 x 1 易錯(cuò)警示 解答本例 1 會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤 忽視 abc的內(nèi)切圓與邊ab的切點(diǎn)為 3 0 這一隱含條件 從而造成找不到解題的突破口 再者是忽視頂點(diǎn)c始終在x 3的右側(cè) 從而得出是整個(gè)雙曲線而錯(cuò) 規(guī)律方法 定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵 1 適用條件動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn) 定直線之間的某些關(guān)系滿足直線 圓 橢圓 雙曲線 拋物線的定義 2 關(guān)鍵定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是由題意找到動(dòng)點(diǎn)所適合的常見曲線的幾何特征 變式訓(xùn)練 2016 長春模擬 設(shè)圓 x 1 2 y2 25的圓心為c a 1 0 是圓內(nèi)一定點(diǎn) q為圓周上任一點(diǎn) 線段aq的垂直平分線與cq的連線交于點(diǎn)m 則m的軌跡方程為 解析 選d 因?yàn)閙為aq垂直平分線上一點(diǎn) 則 am mq 所以 mc ma mc mq cq 5 故m的軌跡為橢圓 所以a c 1 則b2 a2 c2 所以橢圓的方程為 1 加固訓(xùn)練 1 若動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)f 1 1 的距離與到直線l x 1 0的距離相等 則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是 a 橢圓b 雙曲線c 拋物線d 直線 解析 選d 因?yàn)槎c(diǎn)f 1 1 在直線l x 1 0上 所以軌跡為過f 1 1 與直線l垂直的一條直線 2 2016 太原模擬 在 abc中 4 abc的內(nèi)切圓切bc于點(diǎn)d 且若以bc的中點(diǎn)為原點(diǎn) 中垂線為y軸建立坐標(biāo)系 則頂點(diǎn)a的軌跡方程為 解析 依題意 設(shè)點(diǎn)e f分別為ab ac邊上的切點(diǎn) 則 be bd cd cf ae af 所以 ab ac 所以點(diǎn)a的軌跡為以b c為焦點(diǎn)的雙曲線的右支 y 0 且a c 2 所以b 所以頂點(diǎn)a的軌跡方程為答案 考向二相關(guān)點(diǎn) 代入 法 參數(shù)法求軌跡方程 典例2 1 p是橢圓 1上的任意一點(diǎn) f1 f2是它的兩個(gè)焦點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn) 則動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方程是 2 設(shè)a1 a2是橢圓 1長軸的兩個(gè)端點(diǎn) p1 p2是垂直于a1a2的弦的端點(diǎn) 則直線a1p1與a2p2的交點(diǎn)m的軌跡方程是 解題導(dǎo)引 1 先設(shè)q點(diǎn)的坐標(biāo) 再依據(jù)已知條件 用點(diǎn)q的坐標(biāo)來表示點(diǎn)p 利用點(diǎn)p在橢圓上即可得出軌跡方程 2 注意到點(diǎn)m既在直線a1p1上又在直線a2p2上 消去兩直線方程中的參數(shù)即可得出點(diǎn)m的軌跡方程 規(guī)范解答 1 由又設(shè)q x y 則 即p點(diǎn)坐標(biāo)為又p在橢圓上 則有 1 即 1 答案 1 2 由已知 a1 3 0 a2 3 0 設(shè)p1 x1 y1 則p2 x1 y1 交點(diǎn)m x y 則由a1 p1 m三點(diǎn)共線 得又a2 p2 m三點(diǎn)共線 得 得又 1 即從而即 1 答案 1 規(guī)律方法 1 相關(guān)點(diǎn) 代入 法求軌跡方程的適用條件兩動(dòng)點(diǎn)間存在關(guān)聯(lián)或相關(guān)關(guān)系 且其中的一動(dòng)點(diǎn)存在確定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 2 參數(shù)法求軌跡方程的適用條件動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式 也沒有明顯的相關(guān)點(diǎn) 但卻較易發(fā)現(xiàn) 或經(jīng)過分析可發(fā)現(xiàn) 這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與某一個(gè)量或某兩個(gè)變量 角 斜率 比值 截距等 有關(guān) 變式訓(xùn)練 已知點(diǎn)p是直線2x y 3 0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 定點(diǎn)m 1 2 q是線段pm延長線上的一點(diǎn) 且 pm mq 則q點(diǎn)的軌跡方程是 a 2x y 1 0b 2x y 5 0c 2x y 1 0d 2x y 5 0 解析 選d 設(shè)q x y 則可得p 2 x 4 y 代入2x y 3 0 得2x y 5 0 加固訓(xùn)練 1 在平面直角坐標(biāo)系中 o為坐標(biāo)原點(diǎn) a 1 0 b 2 2 若點(diǎn)c滿足其中t r 則點(diǎn)c的軌跡方程是 解析 設(shè)c x y 則所以消去參數(shù)t得點(diǎn)c的軌跡方程為y 2x 2 答案 y 2x 2 2 已知實(shí)數(shù)m n滿足m2 n2 1 求p m n m n 的軌跡方程 解析 令得又因?yàn)閙2 n2 1 得x2 y2 2 考向三直接法求軌跡方程 考情快遞 考題例析 命題方向1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程 或判斷軌跡 典例3 2016 成都模擬 動(dòng)點(diǎn)p與兩定點(diǎn)a a 0 b a 0 連線的斜率的乘積為k 試求點(diǎn)p的軌跡方程 并討論軌跡是什么曲線 解題導(dǎo)引 可依據(jù)連線的斜率乘積為k 直接得出點(diǎn)p的軌跡方程 通過分類討論得出軌跡曲線 規(guī)范解答 設(shè)點(diǎn)p x y 則由題意得 k 即kx2 y2 ka2 所以點(diǎn)p的軌跡方程為kx2 y2 ka2 x a 1 當(dāng)k 0時(shí) 式即y 0 點(diǎn)p的軌跡是直線ab 除去a b兩點(diǎn) 2 當(dāng)k 0時(shí) 式即 1 若k 0 點(diǎn)p的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 除去a b兩點(diǎn) 若k 0 式可化為 1 當(dāng) 1 k 0時(shí) 點(diǎn)p的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 除去a b兩點(diǎn) 當(dāng)k 1時(shí) 式即x2 y2 a2 點(diǎn)p的軌跡是以原點(diǎn)為圓心 a 為半徑的圓 除去a b兩點(diǎn) 當(dāng)k 1時(shí) 點(diǎn)p的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 除去a b兩點(diǎn) 易錯(cuò)警示 解答本例會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時(shí) 僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷 由于已知條件中 直線pa pb的斜率存在 因此軌跡曲線應(yīng)除去a b兩點(diǎn) 命題方向2 無明確等量關(guān)系求軌跡方程 典例4 設(shè)動(dòng)圓m與y軸相切且與圓c x2 y2 2x 0相外切 則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為 a y2 4xb y2 4xc y2 4x或y 0 x 0 d y2 4x或y 0 解題導(dǎo)引 可依據(jù)動(dòng)圓m與y軸相切且與圓c相外切得出等式 進(jìn)而得出圓心的軌跡方程 規(guī)范解答 選c 設(shè)動(dòng)圓圓心m x y 半徑為r 根據(jù)已知條件得 r x mc 1即 x x 0時(shí) x 1 2 x 1 2 y2 即y2 4x x 0時(shí) x 1 2 x 1 2 y2 即y 0 綜合 得 圓心m的軌跡方程為y2 4x或y 0 x 0 技法感悟 1 由動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程的步驟 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 2 將已知關(guān)系坐標(biāo)化 3 化簡并注明范圍 2 無明確等量關(guān)系求軌跡方程的關(guān)鍵關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上找到與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的代數(shù)或幾何等量關(guān)系 題組通關(guān) 1 2016 南寧模擬 動(dòng)點(diǎn)p到直線x 1的距離與它到點(diǎn)a 4 0 的距離之比為2 則p點(diǎn)的軌跡是 a 中心在原點(diǎn)的橢圓b 中心在 5 0 的橢圓c 中心在原點(diǎn)的雙曲線d 中心在 5 0 的雙曲線 解析 選b 設(shè)p x y 根據(jù)題意 有化簡可得 1 是中心在 5 0 的橢圓 2 2016 蘭州模擬 設(shè)點(diǎn)a為圓 x 1 2 y2 1上的動(dòng)點(diǎn) pa是圓的切線 且 pa 1 則p點(diǎn)的軌跡方程為 a y2 2xb x 1 2 y2 4c y2 2xd x 1 2 y2 2 解析 選d 如圖 設(shè)p x y 圓心為m 1 0 連接ma pm 則ma pa 且 ma 1 又因?yàn)?pa 1 所以 pm 即 pm 2 2 所以 x 1 2 y2 2 3 2016 咸陽模擬 已知兩定點(diǎn)a 1 1 b