三次數(shù)學(xué)危機(jī)的感想.doc

三次數(shù)學(xué)危機(jī)的感想數(shù)學(xué)文化與思維作業(yè)學(xué)號(hào)：20115261 姓名：劉奇 學(xué)院：計(jì)算機(jī) 年級(jí)：2011無(wú)理數(shù)的確認(rèn)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到了挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)同時(shí)反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。 什么是無(wú)窮第二次數(shù)學(xué)危機(jī)伴隨著十七世紀(jì)末牛頓和萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分而發(fā)生的激烈爭(zhēng)論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。以求速度為例，瞬時(shí)速度是當(dāng)趨近于零時(shí)的值。是零，是很小的量，還是什么東西？無(wú)窮小量究竟是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是擊中要害的。“無(wú)窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時(shí)的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清“無(wú)窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)，那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！?9世紀(jì)70年代初，魏爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理?！?”語(yǔ)言給出了極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語(yǔ)。雖然所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。這樣就使數(shù)學(xué)分析建立在了實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。羅素悖論的責(zé)難第三次數(shù)學(xué)危機(jī)這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論而造成的。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與集合論出發(fā)似乎可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。而羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。其實(shí)，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。但是，由于這那些悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同，它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。承認(rèn)無(wú)窮集合，承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，就好象一切災(zāi)難都出來(lái)了。這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。經(jīng)過(guò)“悖論”大辯論的洗禮，現(xiàn)代公理集合論的一大堆公理，簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。關(guān)于三次數(shù)學(xué)危機(jī)的感想三次數(shù)學(xué)危機(jī)都與無(wú)窮有關(guān)，也與人們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)有關(guān)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無(wú)窮個(gè)有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。所以，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決，是在危機(jī)產(chǎn)生二千年后的19世紀(jì)，建立了極限理論和實(shí)數(shù)理論之后。實(shí)際上，它差不多是與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)同時(shí)，才被徹底解決的。 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過(guò)渡到無(wú)窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在“無(wú)窮小量”上。由于無(wú)窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別，所以，極限的嚴(yán)格定義，極限的存在性，無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，這樣一些理論問(wèn)題就顯得特別重要。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是“所有不屬于自身的集合”這樣界定集合的說(shuō)法有毛病。而且這里可能涉及到無(wú)窮多個(gè)集合，人們犯了“自我指謂”、惡性循環(huán)的錯(cuò)誤。以上事實(shí)告訴我們，由于人們習(xí)慣于有窮，習(xí)慣于有窮情況下的思維，所以一旦遇到無(wú)窮時(shí)，要格外地小心；而高等數(shù)學(xué)則是經(jīng)常與無(wú)窮打交道的。從另一方面，數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)，危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)