高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法2學(xué)案含解析新人教A版.docx

2.3數(shù)學(xué)歸納法(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)與步驟，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式、整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題等數(shù)學(xué)命題2掌握證明nk1成立的常見(jiàn)變形技巧：提公因式、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、合并項(xiàng)、配方等知識(shí)鏈接1數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟有何關(guān)系？答案使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，兩個(gè)步驟缺一不可，步驟(1)是遞推的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)2用數(shù)學(xué)歸納法證明的問(wèn)題通常具備怎樣的特點(diǎn)？答案與正整數(shù)n有關(guān)的命題 預(yù)習(xí)導(dǎo)引1歸納法歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明2數(shù)學(xué)歸納法(1)應(yīng)用范圍：作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；(2)基本要求：它的證明過(guò)程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可；(3)注意點(diǎn)：在第二步遞推歸納時(shí)，從nk到nk1必須用上歸納假設(shè)要點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(n2，nN*)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左式，右式1.因?yàn)?，所以不等式成?2)假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，111成立證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左1，右，左右，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2且kN*)時(shí)，不等式成立，即，那么當(dāng)nk1時(shí)，nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立要點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)(2n7)3n9能被36整除證明當(dāng)n1時(shí)，f(1)(217)3936，能被36整除假設(shè)nk(kN*)時(shí)，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，由歸納假設(shè)3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶數(shù)，所以18(3k11)能被36整除，所以f(k1)能被36整除由可知，對(duì)任意的nN*，f(n)能被36整除規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法，也可以說(shuō)將式子“硬提公因式”，即將nk時(shí)的項(xiàng)從nk1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來(lái)”，構(gòu)成nk的項(xiàng)，后面的式子相對(duì)變形，使之與nk1時(shí)的項(xiàng)相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的跟蹤演練2用數(shù)學(xué)歸納法證明62n11(nN*)能被7整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，62117能被7整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且k1)時(shí)，62k11能被7整除那么當(dāng)nk1時(shí)，62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，當(dāng)nk1時(shí)，62(k1)11能被7整除由(1)，(2)知命題成立要點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例3用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線有n(n3)條證明當(dāng)n3時(shí)，n(n3)0，這就說(shuō)明三角形沒(méi)有對(duì)角線，故結(jié)論正確假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)結(jié)論正確，即凸k邊形的對(duì)角線有k(k3)條，當(dāng)nk1時(shí)，凸(k1)邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)為Ak1，增加的對(duì)角線是頂點(diǎn)Ak1與不相鄰頂點(diǎn)的連線再加上原k邊形一邊A1Ak，共增加了對(duì)角線的條數(shù)為k21k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)知，對(duì)任意n3，nN*，命題成立規(guī)律方法用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，關(guān)鍵在于分析由nk到nk1的變化情況，即分點(diǎn)(或頂點(diǎn))增加了多少，直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了幾部分等，或先用f(k1)f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)明，幾何問(wèn)題的證明：一要注意數(shù)形結(jié)合；二要注意要有必要的文字說(shuō)明跟蹤演練3平面內(nèi)有n(nN*，n2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n).證明(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，又f(2)2(21)1，當(dāng)n2時(shí)，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k2)時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)k(k1)，那么，當(dāng)nk1時(shí)，任取一條直線l，除l以外其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1)，l與其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k，從而k1條直線共有f(k)k個(gè)交點(diǎn)，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)，(2)可知，對(duì)任意nN*(n2)命題都成立要點(diǎn)四歸納猜想證明例4在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：.(1)解由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可以得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測(cè)ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，結(jié)論成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)1，bk1(k2)2(k1)12，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立(2)證明.n2時(shí)，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.綜上，原不等式成立規(guī)律方法探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此種問(wèn)題未給出問(wèn)題的結(jié)論，往往需要由特殊情況入手，歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對(duì)探索出的結(jié)論進(jìn)行證明，而證明往往用到數(shù)學(xué)歸納法這類題型是高考的熱點(diǎn)之一，它對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓(xùn)練作用跟蹤演練4已知數(shù)列，計(jì)算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明解S1；S2；S3；S4.可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n1.于是可以猜想Sn(nN*)下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊S1，右邊，猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)猜想成立，即，那么，所以，當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對(duì)任何nN*都成立1某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得()An6時(shí)該命題不成立Bn6時(shí)該命題成立Cn4時(shí)該命題不成立Dn4時(shí)該命題成立答案C解析nk(kN*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題成立若n5時(shí)，該命題不成立，則n4時(shí)該命題不成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，第一步驗(yàn)證n1時(shí)，命題成立，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成()A假設(shè)n2k1(kN*)時(shí)命題正確，再推證n2k3時(shí)命題正確B假設(shè)n2k1(kN*)時(shí)命題正確，再推證n2k1時(shí)命題正確C假設(shè)nk(kN*)時(shí)命題正確，再推證nk2時(shí)命題正確D假設(shè)nk(kN*)時(shí)命題正確，再推證nk2時(shí)命題正確答案B解析因n為正奇數(shù)，所以否定C、D項(xiàng)；當(dāng)k1時(shí)，2k11,2k13，故選B.3用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN*)第一步應(yīng)驗(yàn)證_答案n3時(shí)是否成立解析n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3時(shí)是否成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明123(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，從“nk”到“nk1”，左邊需增添的代數(shù)式是_答案(2k2)(2k3)解析當(dāng)nk時(shí)，左邊是共有2k1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即123(2k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)，左邊共有2k3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k2)(2k3)1數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，包括等式、不等式、數(shù)列問(wèn)題、整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題等2證明問(wèn)題的初始值n0不一定，可根據(jù)題目要求和問(wèn)題實(shí)際確定n0.3從nk到nk1要搞清“項(xiàng)”的變化，不論是幾何元素，還是式子，一定要用到歸納假設(shè)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1 B12 C123 D1234答案D解析等式左邊的數(shù)是從1加到n3.當(dāng)n1時(shí)，n34，故此時(shí)左邊的數(shù)為從1加到4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3 C5 D6答案C解析當(dāng)n取1、2、3、4時(shí)2nn21不成立，當(dāng)n5時(shí)，253252126，第一個(gè)能使2nn21的n值為5，故選C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(nN*)的過(guò)程中，由nk遞推到nk1時(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)和C增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng)D增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng)答案C解析當(dāng)nk時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)nk1時(shí)，不等式左邊為，故選C.5用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時(shí)的情況，只需展開(kāi)_答案(k3)3解析假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snn2an(nN*)依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為_(kāi)答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正數(shù)數(shù)列an(nN*)中，前n項(xiàng)和為Sn，且2Snan，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an.證明(1)當(dāng)n1時(shí)a1S1，a1(an0)，a11，又1，n1時(shí)，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak.當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk.a2ak110，解得ak1(an0)，nk1時(shí)，結(jié)論成立由(1)(2)可知，對(duì)nN*都有an.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2答案A解析三棱柱有0個(gè)對(duì)角面，四棱柱有2個(gè)對(duì)角面020(31)；五棱柱有5個(gè)對(duì)角面232(41)；六棱柱有9個(gè)對(duì)角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k1)棱柱有f(k)k1個(gè)對(duì)角面9對(duì)于不等式n1(nN*)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立假設(shè)nk(nN*)時(shí)，不等式成立，即k1，則nk1時(shí)，.假設(shè)nk時(shí)，不等式成立則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案解析觀察不等式中的分母變化知，.11求證：(n2，nN*)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)命題成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式對(duì)一切n2，nN*均成立12已知數(shù)列an中，a1，其前n項(xiàng)和Sn滿足anSn2(n2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1Sn2.Sn(n2)則有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，S1a1，猜想成立(2)假設(shè)nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1時(shí)，Sk1.即nk1時(shí)猜想成立由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，猜想結(jié)論均成立三、探究與創(chuàng)新13已知遞增等差數(shù)列an滿足：a11，且a1，a2，a4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若不等式對(duì)任