中考數(shù)學(xué)押軸題型-費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)問題.doc

費(fèi)馬點(diǎn)及其在中考中的應(yīng)用一、費(fèi)馬點(diǎn)的由來費(fèi)馬(PierredeFermat，16011665)是法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家費(fèi)馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過是業(yè)余愛好然而，在17世紀(jì)的法國還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵他是解析幾何的發(fā)明者之一；概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人；以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人一代數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬堪稱是17世紀(jì)法國最偉大的數(shù)學(xué)家尤其他提出的費(fèi)馬大定理更是困惑了世間智者358年費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問題：在ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”二、探索費(fèi)馬點(diǎn)1當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120的時(shí)候，則費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)下面來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論：如圖1，對三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P，延長BA至點(diǎn)C，使得AC=AC，作CAP=CAP，并且使得AP=AP即把APC以A為中心做旋轉(zhuǎn)變換則APCAPC，BAC120，PAP60在等腰三角形PAP中，APPP，PA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是費(fèi)馬點(diǎn) 2如果三個(gè)內(nèi)角都在120以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是三角形內(nèi)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120的點(diǎn)如圖2，以B點(diǎn)為中心，將APB旋轉(zhuǎn)60到ABP因?yàn)樾D(zhuǎn)60，且PB=PB，所以PPB為正三角形因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC由此可知當(dāng)A，P，P，C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC=PA+PP+PC為最小當(dāng)A，P，P共線時(shí)，BPP=60，APB=APB=120同理，若P，P，C共線時(shí)，則BPP=60，BPC=120所以點(diǎn)P為滿足APB=BPC=CPA=120的點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)問題等腰直角三角形,已知在直角平分線上的一點(diǎn)P,PA+PB+PC最小值為6+2，求直角邊的長度？解答：如圖將三角形PAC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得三角形DEC，則角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)E、D、P、B在一條直線上時(shí)，DE+PD+PB最小，這時(shí)角BPC=120度，角APC=EDC=120。下證這時(shí)的點(diǎn)P就在角ACB的平分線上。在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，點(diǎn)P在角ACB的平分線上。所以點(diǎn)P是這樣一個(gè)點(diǎn)：它使角APC=BPC=APB=120度（這個(gè)點(diǎn)叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn)）。延長CP交AB于F，則CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，設(shè)PF=x，則PA=PB=2x，AF=CF=3*x，PC=(3-1)x，有2x+2x+(3-1)x=6+2，x=1/36。所以AF=CF=2，AC=2*CF=2*2=2。向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)求角CBN 90度的方法：1.四邊形內(nèi)角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題費(fèi)爾馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)費(fèi)爾馬的結(jié)論：對于一個(gè)各角不超過120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120的點(diǎn)，對于有一個(gè)角超過120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)下面簡單說明如何找點(diǎn)P使它到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最??？這就是所謂的費(fèi)爾馬問題解析：如圖1，把APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP=PP，PC=PC，所以PA+PB+PC=PP+PB+PC點(diǎn)C可看成是線段AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60而得的定點(diǎn)，BC為定長，所以當(dāng)B、P、P、C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小這時(shí)BPA=180-APP=180-60=120，APC=APC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120因此，當(dāng)ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于120時(shí)，所求的點(diǎn)P對三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法:是