3.5幾個(gè)著名不等式.doc

3.5 幾個(gè)著名不等式3.5.1 算術(shù)幾何平均值不等式教材：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)目的：要求學(xué)生掌握算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的意義，并掌握“平均不等式”及其推導(dǎo)過程。過程： 平均不等式在不等式理論中處于核心地位，AG不等式（算術(shù)平均-幾何平均不等式）是Hardy等名著的三大主題之一（另兩個(gè)主題是Holder不等式和Minkowski不等式）。定理3.5.1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”） 證明： 1指出定理適用范圍：2強(qiáng)調(diào)取“=”的條件定理3.5.2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明： 即： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 注意：1這個(gè)定理適用的范圍： 2語言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。三、推廣： 定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明1： 上式0 從而證明2：指出：這里 就不能保證 推論：如果，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”） 證明： ，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取。證完 四、關(guān)于“平均數(shù)”的概念定義3.5.1如果 則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)2點(diǎn)題：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理3.5.3 基本不等式： 這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明。上述定理也可表述為：設(shè)，則稱為的算術(shù)平均值，稱為的幾何平均值。則：即：，稱為AG不等式，僅當(dāng)時(shí)等號成立。 AG不等式是重要的基本不等式，利用這個(gè)不等式，可將和的形式縮小為積的形式，或?qū)⒎e的形式放大為和的形式，因此可以敘述成兩個(gè)等價(jià)的共軛命題；（1）其和為S的n個(gè)正數(shù)之積，在這些數(shù)都相等時(shí)為最大，最大值為；（2）其積為T的n個(gè)正數(shù)之和，在這些數(shù)都相等時(shí)為最小，最小值為因此，AG不等式有許多獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值，例如在幾何學(xué)中求最大最小問題時(shí)，給定表面積的所有長方體中，正方體具有最大的體積；而給定體積的所有長方體中，正方體具有最小的表面積等。AG不等式的證明：早在公元前500多年前的畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，就有了正數(shù)的算術(shù)平均和幾何平均等概念，而是歐幾里得證明的。1821年Cauchay對AG不等式用反向歸納法給出了一個(gè)精彩的證明。此后對AG不等式尋求各種不同的證法，一直是人們研究的一個(gè)熱點(diǎn)。證法1：用數(shù)學(xué)歸納法證明（分析法）：從證，即要證由，只要證只需證明成立即可，以上式子可以改寫為（兩端同除以）：令，則上式變成 （*）令則于是當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，即，所以（*）成立，從而命題成立。證法2：數(shù)學(xué)歸納法（構(gòu)造法）1、當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；2、假設(shè)時(shí)結(jié)論也成立，即：當(dāng)時(shí)由于該不等式關(guān)于是對稱的，任意調(diào)動(dòng)位置，的值都不變，所以不妨假設(shè)：顯然，從而有，故，展開可得（*）所以即兩邊同時(shí)乘以得利用前面的（*）可得，從而有，命題得證。證法3：數(shù)學(xué)歸納法（構(gòu)造法）1、當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；2、假設(shè)時(shí)結(jié)論也成立，即：當(dāng)時(shí)其中故命題得證。證法4：利用凸函數(shù)的Jensen不等式證明；設(shè)是上的凸函數(shù)，則在其中取，代入則有 又由于函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以，原命題成立。證明5：利用不等式，得到，對于，有n個(gè)式子相加可得所以所以，命題得證。證明6：使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有喬治克里斯托（George Chrystal）在其著作代數(shù)論（algebra）的第二卷中給出的2：由對稱性不妨設(shè) 是 中最大的，由于 ，設(shè)，則，并且有。根據(jù)二項(xiàng)式定理，于是完成了從 n 到 n + 1 的證明。推論3：由AG不等式，我們可以得出下面的一個(gè)不等式：設(shè)，則證明：證明很簡單，直接利用AG不等式就可得出這個(gè)不等式。也可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是比較復(fù)雜。語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。4的幾何解釋：ABDDCab以為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C， 過C作弦DDAB 則 從而而半徑五、例1、已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：證： 以上三式相加：例2 P82 3.5.1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：證明：與推理1的證明中間步驟一樣，利用均值不等式可得。例3 P82 3.5.1已知；，求證：（1）（2） 證明：（1） 令，則，又，所以，配方得：將代入，得，將代入，得所以，得：又由于，兩邊平方得由得，而，若，則，與題設(shè)矛盾。故，即，所以，得（2）首先，容易證明，令，則，所以，又，而，所以，整理可得 又由可得，從而得。證法2：其中函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞減的，所以，命題得證六、小結(jié)：算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念，最難的是算術(shù)-幾何不等式的證明，讓學(xué)掌握一定的證明方法?；静坏仁剑雌骄坏仁剑┢?、作業(yè)： 補(bǔ)充：1已知，分別求的范圍 (8,11) (3,6) (2,4)2試比較 與（作差）3求證：證： 三式相加化簡即得3.5.2 柯西不等式定理3.5.4 柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。證明1：證明過程參照課本P83證明2：利用均值不等式證明柯西不等式。要證柯西不等式成立，只要證;（1）令，（2）式中，則（1）即即（3）下面證明不等式（3），由均值不等式即同理：，將以上各式相加（4）根據(jù)（2）（4）式即因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得證。證明3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：由柯西不等式，易得到下面的兩個(gè)推論：（1） 設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。（2）設(shè)同號且不為零，則，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號。證明4：所以從而命題得證?？挛鞑坏仁降耐茝V：設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)例：設(shè)，證明：證明：設(shè)，所以 = 所以， 由柯西不等式的推論2可得只需證明很現(xiàn)然此不等式成立。等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。例3.5.3：例3.5.4：例題參照課本P83例3.5.5 設(shè)，且，求證：分析：首先要證明的不等式的左端是平方和的形式，且從左到右是縮小的，所以，大致符合柯西不等式，這是再看柯西不等式的右端需要兩組平方和的積，現(xiàn)只有一組，剩余的一組需要去 “湊”，為了簡便起見就湊成所以證明過程為證明：從不等式的左端入手可得： 從證明可以看出，共用了兩次Cauchy不等式，兩次都是經(jīng)過“湊”才得以施行，另外證明中巧妙地應(yīng)用了條件去湊第二次Cauchy不等式。下面我們可以對此例題中所提到的命題進(jìn)行一系列的推廣，得到新的結(jié)果，具體推廣如下：推廣1：設(shè)，則：證明：推廣2：設(shè)，且，則：證明： 推廣3：設(shè)，則：證明：推廣4：引入加權(quán)系數(shù)設(shè)，則：證明： 3.5.3三角形不等式引理：holder不等式設(shè)：是個(gè)正實(shí)數(shù)，則證明：令 ，那么因?yàn)槔肑ensen不等式所以所以即得證。定理：Minkowski不等式設(shè)均為實(shí)數(shù)，則證明：由holder不等式可知定理3.5.5 ,此不等式稱為三角不等式。證明1：從幾何的方面來考慮，在直角坐標(biāo)系中引入向量來證明比較簡單一些。證明2：用數(shù)學(xué)歸納法證明1、當(dāng)，命題得證；2、假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立故，命題成立。即作業(yè)：P85 習(xí)題3.5 3，4小結(jié)：幾個(gè)著名不等式是不等式系列中重要的不等式，另外通過創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，使得學(xué)生掌握一種數(shù)學(xué)思想。附加知識點(diǎn)（1課時(shí)）教材：極值定理目的：要求學(xué)生在掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)而掌握極值定理，并學(xué)會(huì)初步應(yīng)用。過程：一. 復(fù)習(xí)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式二 若，設(shè) （加權(quán)平均） （算術(shù)平均） （幾何平均）（調(diào)和平均） 求證：證：即：（俗稱冪平均不等式）由平均不等式即：綜上所述：例一、若 求證證：由冪平均不等式：三、 極值定理 已知都是正數(shù)，求證：1 如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)和有最小值2 如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)積有最大值證： 1當(dāng) (定值)時(shí)， 上式當(dāng)時(shí)取“=” 當(dāng)時(shí)有2當(dāng) (定值)時(shí)， 上式當(dāng)時(shí)取“=” 當(dāng)時(shí)有注意強(qiáng)調(diào)：1最值的含義（“”取最小值，“”取最大值） 2用極值定理求最值的三個(gè)必要條件：一“正”、二“定”、三“相等”四、 例題1證明下列各題： 證： 于是若上題改成，結(jié)果將如何？解： 于是從而若 則解：若則顯然有若異號或一個(gè)為0則 2求函數(shù)的最大值求函數(shù)的最大值解： 當(dāng)即時(shí) 即時(shí) 當(dāng)時(shí) 3若，則為何值時(shí)有最小值，最小值為幾？解： =當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)例題：4求函數(shù)的最大值，下列解法是否正確？為什么？解一： 解二：當(dāng)即時(shí) 答：以上兩種解法均有錯(cuò)誤。解一錯(cuò)在取不到“=”，即不存在使得；解二錯(cuò)在不是定值（常數(shù)）正確的解法是：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)5若，求的最值解： 從而 即6設(shè)且，求的最大值解： 又即7已知且，求的最小值解： 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)一、 關(guān)于應(yīng)用題1P11例（即本章開頭提出的問題）（略）2將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為則其容積為當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“