保定市高陽縣2016年中考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析

河北省保定市高陽縣 2016 年中考數(shù)學(xué)一模試卷 （解析版） 一、選擇題（共 16 小題，每小題 3 分，滿分 42 分） 1計算： 3 2 （ 1） =（ ） A 5 B 1 C 1 D 6 2下列說法正確的是（ ） A 9 的倒數(shù)是 B 9 的相反數(shù)是 9 C 9 的立方根是 3 D 9 的平方根是 3 3如圖所示，將正方形紙片三次對折后，沿圖中 剪掉一個等腰直角三角形，展開鋪平得到的圖形是（ ） A B C D 4下列運算正確的是（ ） A + = B（ a+b） 2=a2+（ a） 3= 6（ x 2） =2 x 5某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（ ） A三棱柱 B圓柱 C 正方體 D三棱錐 6如圖，將 O 沿弦 疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心 O，點 P 是優(yōu)弧 上一點，則 ） A 45 B 30 C 75 D 60 7已知 是一元二次方程 x 1=0 較大的根，則下面對 的估計正確的是（ ） A 0 1 B 1 2 D 2 3 8已知：如圖， l m，等邊 頂點 B 在直線 m 上，邊 直線 m 所夾銳角 為 20，則 的度數(shù)為（ ） A 60 B 45 C 40 D 30 9為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)，則該坡道傾斜角 的正切值是（ ） A B C D 10在平面直角坐標系中，將拋物線 y=x+3 繞著它與 y 軸的交點旋轉(zhuǎn) 180，所得拋物線的解析式是（ ） A y=（ x+1） 2+2 B y=（ x 1） 2+4 C y=（ x 1） 2+2 D y=（ x+1） 2+4 11若方程組 的解是 ，則方程組 的解是（ ） A B C D 12若方程 36x+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m 的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A B CD 13將一質(zhì)地均勻的正方體骰子擲一次，觀察向上一面的點數(shù)，與點數(shù) 3 相差 2 的概率是（ ） A B C D 14如圖，在平面直角坐標系中， ，點 A、 B 分別在反 比例函數(shù) 的圖象上，則 k 的值是（ ） A B C 2 D 2 15對于實數(shù) a、 b，定義一種運 算 “ ”為 a b=，則下列命題： 2 4=1； 方程 x 2=0 的根為： ， 1； 不等式組 的解集為 1 x ； 點（ 2， 3）在函數(shù) y=x*2 的圖象上，其中正確的是（ ） A B C D 16如圖（ 1）是從邊長為 40為 30矩形鋼板的左上角截取一塊長為 20為 10矩形后，剩下的一塊下腳料，工人師傅要將它作適當(dāng)?shù)厍懈?，重新?接后焊成一個面積與原下腳料的面積相同，接縫盡可能短的正方形工件 甲師傅的作法如圖（ 2）所示，乙?guī)煾档淖鞣ㄈ鐖D（ 3）所示，單從接縫長短來看，滿足要求的操作是（ ） A甲師傅 B乙?guī)煾?C甲、乙?guī)煾稻?D甲、乙?guī)煾稻豢?二、填空題（共 4 小題，每小題 3 分，滿分 12 分） 17若 |a|=2 2，則 a= 18如果 =3，那么代數(shù)式 的值等于 19如圖，在菱形 ， C=120， ，以點 O 為圓心， 長為半徑畫弧，交延長線于點 D，則圖中陰影部分的面積為 20如圖，在平面直角坐標系中，過點 0， ）作 y 軸的垂線，交直線 y= x 于點過點 直線 y= x 的垂線，交 y 軸于點 過點 y 軸的垂線，交直線 y= x 于點 點 坐標為 三、解答題（共 6 小題，滿分 66 分） 21化簡 ，并求值，其中 a 與 2、 3 構(gòu)成 三邊，且 a 為整數(shù) 22如圖，在 ，按如下步驟作圖： 以點 A 為圓心， 為半徑畫??； 以點 C 為圓心， 為半徑畫弧，兩弧相交于點 D； 連接 于點 E，連接 （ 1）求證： （ 2）當(dāng) C 時，猜想四邊形 什么四邊形，并證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) 將四邊形 過割補，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？ 23某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按擬定的價格進行試銷，通過對 5 天的試銷情況進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)： 單價（元 /件） 30 34 38 40 42 銷量（件） 40 32 24 20 16 （ 1）計算這 5 天銷售額的平均數(shù)（銷售額 =單價 銷量）； （ 2）通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)銷量 y（件）與單價 x（元 /件）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍）； （ 3）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然存在（ 2）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 20 元 /件為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少？ 24表一是甲、乙兩名學(xué)生這學(xué)期的數(shù)學(xué)測試成績一覽表（單位：分） 表一 測試 類別 平時成績 期中 期末 測試 1 測試 2 測試 3 測試 4 測試 5 甲 m 99 100 99 98 96 95 乙 90 93 94 n 95 92 98 已知甲平時成績的平均分是 98 分，乙平時成績的眾數(shù)是 93 分，請你完成下列問題： （ 1）求表中 m 和 n 的值 （ 2）請求出甲、乙兩名學(xué)生平時成績的平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)和方差，并填寫表二 表二 學(xué)生 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差 甲 乙 （ 3）學(xué)校規(guī)定：學(xué)生平時成績的平均數(shù)、期中成績、期末成績?nèi)椃謩e按 40%、 20%、 40%的比例計入學(xué)期總評成績，如果總評成績不少以 90 分，平時成績的平均分和期中成績不變，那么，這兩名學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是多少？ 25如圖，已知二次函數(shù) x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于 B（ 2， 0）、 C 兩點，與 y 軸交于點 A（ 0， 6），直線 函數(shù)解析式為 y2=mx+n （ 1）求二次函數(shù)的解析式 及頂點坐標； （ 2）過線段 任意一點（不含端點）作 y 軸的平行線，交 點 E 與二次函數(shù)圖象交于點 F，求線段 最大值； （ 3）在拋物線上是否存在一點 P， 以 底邊的等腰三角形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，請說明理由 26某班課題學(xué)習(xí)小組對無蓋的紙杯進行制作與探究，所要制作的紙杯如圖 1 所示，規(guī)格要求是，杯口直徑 底直徑 壁母線 D=6你和他們一起解決下列問題： （ 1）小穎同學(xué)先畫出了 紙杯的側(cè)面展開示意圖（如圖 2，忽略拼接部分），得到的圖形是圓環(huán)的一部分 圖 2 中弧 長為 F= 要想準確畫出紙杯側(cè)面的設(shè)計圖，需要確定弧 在圓的圓心 O，如圖 3 所示，小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)若將弧 似地看做線段，類比相似三角形的性質(zhì)可得 = ，請你幫她證明這一結(jié)論 根據(jù) 中的結(jié)論，求弧 在圓的半徑 r 及它所對的圓心角的度數(shù) n （ 2）小穎同學(xué)計劃利用矩形，正方形紙各一張，分別按如圖 4 和圖 5 所示的方式剪出這個紙杯的側(cè)面，求矩形紙片的長和寬以及正方形紙片的邊長 2016 年河北省保定市高陽縣中考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 16 小題，每小題 3 分，滿分 42 分） 1計算： 3 2 （ 1） =（ ） A 5 B 1 C 1 D 6 【分析】 先算乘法，再算減法，由此順序計算即可 【解答 】 解：原式 =3（ 2） =3+2 =5 故選： A 【點評】 此題考查有理數(shù)的混合運算，掌握運算順序與符號的判定是解決問題的關(guān)鍵 2下列說法正確的是（ ） A 9 的倒數(shù)是 B 9 的相反數(shù)是 9 C 9 的立方根是 3 D 9 的平方根是 3 【分析】 根據(jù)倒數(shù)、相反數(shù)、立方根、平方根，即可解答 【解答】 解： A、 9 的倒數(shù)是 ，故錯誤； B、 9 的相反數(shù)是 9，正確； C、 9 的立方根是 ，故錯誤； D、 9 的平方根是 3，故錯誤； 故選： B 【點評】 本題考查了倒數(shù)、相反數(shù)、立方根、平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記倒數(shù)、相反數(shù)、立方根、平方根 3如圖所示，將正方形紙片三次對折后，沿圖中 剪掉一個等腰直角三角形，展開鋪平得到的圖形是（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)題意直接動手操作得出即可 【解答】 解：找一張正方形的紙片，按上述順序折疊、裁剪，然后展開后得到的圖形如圖所示： 故選 A 【點評】 本題考查了剪紙問題，難點在于根據(jù)折痕逐層展開，動手操作會更簡便 4下列運算正確的是（ ） A + = B（ a+b） 2=a2+（ a） 3= 6（ x 2） =2 x 【分析】 分別 根據(jù)合并同類項的法則、完全平方公式及去括號的法則對各選項進行逐一分析即可 【解答】 解： A、 與 不是同類項，不能合并，故本選項錯誤； B、（ a+b） 2=a2+本選項錯誤； C、（ a） 3= 本選項錯誤； D、（ x 2） =2 x，故本選項正確 故選 D 【點評】 本題考查的是二次根式的加減法，熟知合并同類項的法則、完全平方公式及去括號的法則是解答此題的關(guān)鍵 5某幾何體 的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（ ） A三棱柱 B圓柱 C正方體 D三棱錐 【分析】 如圖所示，根據(jù)三視圖的知識可使用排除法來解答 【解答】 解：如圖，俯視圖為三角形，故可排除 C、 B 主視圖以及側(cè)視圖都是矩形，可排除 D 故選 A 【點評】 本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，難度一般，考生做此類題時可利用排除法解答 6如圖，將 O 沿弦 疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心 O，點 P 是優(yōu)弧 上 一點，則 ） A 45 B 30 C 75 D 60 【分析】 作半徑 D，連結(jié) 圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得 D，則 A，根據(jù)含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得到 0，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出 20， 然后根據(jù)圓周角定理計算 度數(shù) 【解答】 解：作半徑 D，連結(jié) 圖， 將 O 沿弦 疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心 O， D， 0， 又 B， 0， 20， 0 故選 D 【點評】 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的 圓心角的一半也考查了含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系和折疊的性質(zhì) 7已知 是一元二次方程 x 1=0 較大的根，則下面對 的估計正確的是（ ） A 0 1 B 1 2 D 2 3 【分析】 先求出方程的解，再求出 的范圍，最后即可得出答案 【解答】 解：解方程 x 1=0 得： x= ， a 是方程 x 1=0 較大的根， a= ， 2 3， 3 1+ 4， 2， 故選： C 【點評】 本題考查了解一元二次方程，估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，題目是一道比較典型的題目，難度適中 8已知：如圖， l m，等邊 頂點 B 在直線 m 上，邊 直線 m 所夾銳角為 20，則 的 度數(shù)為（ ） A 60 B 45 C 40 D 30 【分析】 過 C 作 直線 m，由 l m，推出 l m 據(jù)平行線的性質(zhì)得到 ， 0，即 + 0，即可求出答案 【解答】 解：過 C 作 直線 m l m， l m ， 0， 等邊 0， + 0， =40 故選 C 【點評】 本題主要考查對平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行公理及推論等知識點的理解和掌握，此題是一個比較典型的題目，題型較好 9為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)，則該坡道傾斜角 的正切值是（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)正切的定義，即所對的直角邊與鄰邊的比值，即可求解 【解答】 解：如圖， ， ， 則 = 故選： B 【點評】 本題主要考查了解直角三角形坡度坡角問題，正確理解正切定義是解題的關(guān)鍵 10在平面直角坐標系中，將拋物線 y=x+3 繞著它與 y 軸的交點旋轉(zhuǎn) 180，所得拋物線的解析式是（ ） A y=（ x+1） 2+2 B y=（ x 1） 2+4 C y=（ x 1） 2+2 D y=（ x+1） 2+4 【分析】 先將原拋物線化為頂點式，易得出與 y 軸交點，繞與 y 軸交點旋轉(zhuǎn) 180，那么根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點坐標，即可求得解析式 【解答】 解：由原拋物線解析式可變?yōu)椋?y=（ x+1） 2+2， 頂點坐標為（ 1， 2），與 y 軸交點的坐標為（ 0， 3）， 又由拋物線繞著它與 y 軸的交點旋轉(zhuǎn) 180， 新的拋物線的頂點坐 標與原拋物線的頂點坐標關(guān)于點（ 0， 3）中心對稱， 新的拋物線的頂點坐標為（ 1， 4）， 新的拋物線解析式為： y=（ x 1） 2+4 故選 B 【點評】 本題主要考查了拋物線一般形式及于 y 軸交點，同時考查了旋轉(zhuǎn) 180后二次項的系數(shù)將互為相反數(shù)，難度適中 11若方程組 的解是 ，則方程組 的解是（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)加減法，可得（ x+2）、（ y 1）的解，再根據(jù)解方程，可得答案 【解答】 解： 方程組 的解是 ， 方程組 中 故選： C 【點評】 本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是先求（ x+2）、（ y 1）的解，再求 x、 y 的值 12若方程 36x+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m 的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A B CD 【分析】 首先根據(jù)題意可得 0，代入相應(yīng)的數(shù)可得 （ 6） 2 4 3 m 0，再解不等式即可 【解答】 解： 方程 36x+m=0 有兩個不相等的實數(shù)根， 0， （ 6） 2 4 3 m 0， 解得： m 3， 在數(shù)軸上表示為： ， 故選： B 【點評】 此題主要考查了根的判別式，以及解一元一次不等式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判 別式 的關(guān)系： （ 1） 0方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2） =0方程有兩個相等的實數(shù)根； （ 3） 0方程沒有實數(shù)根 13將一質(zhì)地均勻的正方體骰子擲一次，觀察向上一面的點數(shù)，與點數(shù) 3 相差 2 的概率是（ ） A B C D 【分析】 由一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個 面上分別刻有 1 到 6 的點數(shù)，擲一次這枚骰子，向上的一面的點數(shù)為與點數(shù) 3 相差 2 的有 2 種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有 1 到 6 的點數(shù)，擲一次這枚骰子，向上的一面的點數(shù)為點數(shù) 3 相差 2 的有 2 種情況， 擲一次這枚骰子，向上的一面的點數(shù)為點數(shù) 3 相差 2 的概率是： = 故選 B 【點評】 此題考查了概率公式的應(yīng)用注意用到的知識點為：概率 =所求情況 數(shù)與總情況數(shù)之比 14如圖，在平面直角坐標系中， ，點 A、 B 分別在反比例函數(shù) 的圖象上，則 k 的值是（ ） A B C 2 D 2 【分析】 作 x 軸， x 軸易得 據(jù)比例式求出 得出點 B 的坐標，代入 y= 即可求出 k 的值 【解答】 解：如圖，作 x 軸， x 軸 0， 0， 0， = = ， ， 0， = ， 設(shè) A（ x， ） x， ， B（ ， x） k= = 故選： A 【點評】 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形 15對于實數(shù) a、 b，定義一種運算 “ ”為 a b=，則下列命題： 2 4=1； 方程 x 2=0 的根為： ， 1； 不等式組 的解集為 1 x ； 點（ 2， 3）在 函數(shù) y=x*2 的圖象上，其中正確的是（ ） A B C D 【分析】 直接根據(jù)新定義對 進行判斷；根據(jù)新定義得到 2x+3=0，然后根據(jù)判別式的意義對 進行判斷；根據(jù)新定義得到 ，然后解不等式組可對 進行判斷；根據(jù)新定義得函數(shù)解析式為 y=2x+3，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征對 進行判斷 【解答】 解： 2 4=4 2 4+3= 1，所以 錯誤； 方程 x 2=0 化為 2x+3=0， =4 4 3 0，方程沒有實數(shù)解，所以 錯誤； 不等式組 化為 ，解得 1 x ，所以 正確； 函數(shù) y=x*2 化為 y=2x+3，當(dāng) x=2 時， y=4 2 2+3=3，所以點（ 2， 3）在函數(shù) y=x*2的圖象上，所以 正確 故選 D 【點評】 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項 推出的事項，一個命題可以寫成 “如果 那么 ”形式有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理 16如圖（ 1）是從邊長為 40為 30矩形鋼板的左上角截取一塊長為 20為 10矩形后，剩下的一塊下腳料，工人師傅要將它作適當(dāng)?shù)厍懈睿匦缕唇雍蠛赋梢粋€面積與原下腳料的面積相同，接縫盡可能短的正方形工件 甲師傅的作法如圖（ 2）所示，乙?guī)煾档淖鞣ㄈ鐖D（ 3）所示，單從接縫長短來看，滿足要求的操作是（ ） A甲師傅 B乙 師傅 C甲、乙?guī)煾稻?D甲、乙?guī)煾稻豢?【分析】 拼接后正方形的邊長為 恰是以 30 10兩直角邊的直角三角形的斜邊的長，為此可考慮設(shè)法在原鋼板上構(gòu)造兩直角邊長分別為 30 10直角三角形，這是解本例的關(guān)鍵； 分別求出圖 1、圖 2 和圖 3 的接縫長，比較得出最優(yōu)方案 【解答】 解：圖 2 的方案好些 圖 1 的接縫長為： 30+30+10=70 2 的接縫長為： 20+10 +30+10+10 =70 3 的接縫長為： 30+30+10 +10 +10=80 2 的方案好些， 故選 A 【點評】 本題綜合考查正方形的判定、勾股定理的應(yīng)用和正方形的性質(zhì)近年中考中涌現(xiàn)的設(shè)計新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問題，注重對學(xué)生動手實踐操作、應(yīng)用意識、學(xué)習(xí)潛能的考查 二、填空題（共 4 小題，每小題 3 分，滿分 12 分） 17若 |a|=2 2，則 a= 【分析】 利用負整數(shù)指數(shù)冪法則，以及絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可確定出 a 的值 【解答】 解： |a|=2 2= ， a= ， 故答案為： 【點評】 此題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵 18如果 =3，那么代數(shù)式 的值等于 【分析】 先根據(jù)題意得出 a=3b，再由分式混合運算的法則把原式進行化簡，把 a=3b 代入進行計算即可 【解答】 解： =3， a=3b 原式 = =1 =1 = 故答案為： 【點評】 本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵 19如圖，在菱形 ， C=120， ，以點 O 為圓心， 長為半徑畫弧，交延長線于點 D，則圖中陰影部分的面積為 5 【分析】 首先過點 B 作 點 E，由在菱形 ， C=120， ，可求得 長， 度數(shù)，然后由 S 陰影 =S 扇形 S 得答案 【解答】 解：過點 B 作 點 E， 在菱形 ， C=120， ， 80 C=60， C=120， A=2， 0， 80 0， 2 = ， 80 50， ， S ， S 扇形 =5， S 陰影 =S 扇形 S 故答案為： 5 【點評】 此題考查了菱形的性質(zhì)、扇形的面積公式以及含 30的直角三角形的性質(zhì)注意求得 扇形 面積是關(guān)鍵 20如圖，在平面直角坐標系中，過點 0， ）作 y 軸的垂線，交直線 y= x 于點過點 直線 y= x 的垂線，交 y 軸于點 過點 y 軸的垂線，交直線 y= x 于點 點 坐標為 （ ， ） 【分析】 根據(jù) y= x 圖象上的性質(zhì)，分別得出 坐標，進而得出答案 【解答】 解： 點 0， ）作 y 軸的垂線，交直線 y= x 于點 則 ， 由題意可得： ， ）， 則 0， ），同理可得： ， ）， 則 0， ）同理可得： ， ）， 則 0， ）同理可得： ， ） 故答案為：（ ， ） 【點評】 此題主要考查了點的坐標以及一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確得出各點坐標是解題關(guān)鍵 三、解答題（共 6 小題，滿分 66 分） 21化簡 ，并求值，其中 a 與 2、 3 構(gòu)成 三邊，且 a 為整數(shù) 【分析】 原式第一項約分后，兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，把a 的值代入計算即可求出值 【解答】 解：原式 = + = += = = ， a 與 2、 3 構(gòu)成 三邊，且 a 為整數(shù)， 1 a 5，即 a=2， 3， 4， 當(dāng) a=2 或 a=3 時，原式?jīng)]有意義， 則 a=4 時，原式 =1 【點評】 此題考查了分 式的化簡求值，以及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵 22如圖，在 ，按如下步驟作圖： 以點 A 為圓心， 為半徑畫?。?以點 C 為圓心， 為半徑畫弧，兩弧相交于點 D； 連接 于點 E，連接 （ 1）求證： （ 2）當(dāng) C 時，猜想四邊形 什么四邊形，并證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) 將四邊形 過割補，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？ 【分析】 （ 1）由 明 出對應(yīng)角相等即可； （ 2）證出 C=D，即可得出結(jié)論； （ 3）由等腰三角形的性質(zhì)得出 出四邊形 面積，即可得出拼成的正方形的邊長 【解答】 （ 1）證明：在 ， ， （ 2）解：四邊形 菱形，理由如下： D， C， C， C=D， 四邊形 菱形； （ 3）解： D， 四邊形 面積 = 6=24（ 拼成的正方形的邊長 = =2 （ 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵 23某工廠為了對新研 發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按擬定的價格進行試銷，通過對 5 天的試銷情況進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)： 單價（元 /件） 30 34 38 40 42 銷量（件） 40 32 24 20 16 （ 1）計算這 5 天銷售額的平均數(shù)（銷售額 =單價 銷量）； （ 2）通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)銷量 y（件）與單價 x（元 /件）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍）； （ 3）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然存在（ 2）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 20 元 /件為使工廠獲得最大 利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少？ 【分析】 （ 1）根據(jù)題中表格中的數(shù)據(jù)列出算式，計算即可得到結(jié)果； （ 2）設(shè) y=kx+b，從表格中找出兩對值代入求出 k 與 b 的值，即可確定出解析式； （ 3）設(shè)定價為 x 元時，工廠獲得的利潤為 W，列出 W 與 x 的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出 W 最大時 x 的值即可 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意得： =）； （ 2）根據(jù)題意設(shè) y=kx+b， 把（ 30， 40）與（ 40， 20）代入得： ， 解得： k= 2， b=100， 則 y= 2x+100； （ 3）設(shè)定價為 x 元時，工廠獲得的利潤為 W， 根據(jù)題意得： W=（ x 20） y=（ x 20）（ 2x+100） = 240x 2000= 2（ x 35） 2+450， 當(dāng) x=35 時， W 最大值為 450， 則為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為 35 元 【點評】 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵 24表一是甲、乙兩名學(xué)生這學(xué)期的數(shù)學(xué)測試成績一覽表（單位 ：分） 表一 測試 類別 平時成績 期中 期末 測試 1 測試 2 測試 3 測試 4 測試 5 甲 m 99 100 99 98 96 95 乙 90 93 94 n 95 92 98 已知甲平時成績的平均分是 98 分，乙平時成績的眾數(shù)是 93 分，請你完成下列問題： （ 1）求表中 m 和 n 的值 （ 2）請求出甲、乙兩名學(xué)生平時成績的平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)和方差，并填寫表二 表二 學(xué)生 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差 甲 98 99 99 乙 93 93 93 （ 3）學(xué)校規(guī)定：學(xué)生平時成績的平均數(shù)、期中成績、期末成績?nèi)椃謩e按 40%、 20%、 40%的比例計入學(xué)期總評成績，如果總評成績不少以 90 分，平時成績的平均分和期中成績不變，那么，這兩名學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是多少？ 【分析】 （ 1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出 m 的值；再根據(jù)眾數(shù)的定義即可求出 n 的值； （ 2）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)和方差的計算公式分別進行計算 即可； （ 3）設(shè)甲學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是 x 分，乙學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是 y 分，根據(jù)平時成績的平均數(shù)、期中成績、期末成績?nèi)椃謩e按 40%、 20%、 40%的比例計入學(xué)期總評成績，列出不等式求解即可 【解答】 解：（ 1） m=98 5 99 100 99 98=94（分）， 乙平時成績的眾數(shù)是 93 分， n=93 分； （ 2）根據(jù)（ 1）得：甲的平均數(shù)是 98， 把甲的成績從小到大排列，最中間的數(shù)是 99，則中位數(shù)是 99； 99 出現(xiàn)了 2 次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是 99， 甲的方差是： （ 94 98） 2+（ 99 98） 2+（ 100 98） 2+（ 99 98） 2+（ 98 98） 2= 乙的平均數(shù)是（ 90+93+94+93+95） 5=93， 把乙的成績從小到大排列，最中間的數(shù)是 93，則中位數(shù)是 93； 93 出現(xiàn)了 2 次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是 93， 乙的方差是： （ 90 93） 2+（ 93 93） 2+（ 94 93） 2+（ 93 93） 2+（ 95 93） 2= 故答案為： 98， 99， 99， 93， 93， 93， （ 3）設(shè)甲學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是 x 分，根據(jù)題意得： 98 40%+96 20%+40%x 90， 解得： x 79， 設(shè)乙學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是 y 分，根據(jù)題意得： 93 40%+92 20%+40%y 90， 解得： y 86 答：甲學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是 79 分，乙學(xué)生的期末成績至少應(yīng)是 86 分 【點評】 本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、方差，平均數(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大 小的量 25如圖，已知二次函數(shù) x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于 B（ 2， 0）、 C 兩點，與 y 軸交于點 A（ 0， 6），直線 函數(shù)解析式為 y2=mx+n （ 1）求二次函數(shù)的解析式及頂點坐標； （ 2）過線段 任意一點（不含端點）作 y 軸的平行線，交 點 E 與二次函數(shù)圖象交于點 F，求線段 最大值； （ 3）在拋物線上是否存在一點 P， 以 底邊的等腰三角形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，請說明理由 【分析】 （ 1）將 A（ 0， 6）， B（ 2， 0）代入 x2+bx+c，得到關(guān)于 b、 c 的二元一次方程組，求解即可得到二次函數(shù)的解析式；再利用配方法把一般式化為頂點式，即可求出頂點坐標； （ 2）先根據(jù)拋物線的對稱性求出 C 點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線 函數(shù)解析式，再設(shè) E（ x， x 6），則 F（ x， 2x 6），用含 x 的代數(shù)式表示 后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可 求出 最大值； （ 3）假設(shè)在拋物線上存在一點 P， 以 底邊的等腰三角形先根據(jù)中點坐標公式求出 點 Q 的坐標，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出 互相垂直的兩直線斜率之積為 1 得到直線 斜率是 1，再求出直線 解析式，將它與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立得到方程組，求出方程組的解即可 【解答】 解：（ 1） 二次函數(shù) x2+bx+c 的圖象過點 A（ 0， 6）， B（ 2， 0）， ，解得 ， 二次函數(shù)的解析式為 2x 6； 2x 6= （ 4x+4） 2 6= （ x 2） 2 8， 頂點坐標為（ 2， 8）； （ 2） 2x 6 的對稱軸為直線 x=2， B（ 2， 0）與 C 關(guān)于直線 x=2 對稱， C（ 6， 0） 將 A（ 0， 6）， C（ 6， 0）代入直線 函數(shù)解析式 y2=mx+n， 得 ，解得 ， 直線 函數(shù)解析式 y2=x 6 設(shè) E（ x， x 6），則 F（ x， 2x 6）， 0 x 6， x 6）（ 2x 6） = x= （ x 3） 2+ ， 當(dāng) x=3 時， 最大值 ； （ 3）假設(shè)在拋物線上存在一點 P， 以 底邊的等腰三角形