高中數(shù)學 （主干知識+典例精析）3.1任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù)課件 理 新人教B版.ppt

第一節(jié)任意角的概念與弧度制 任意角的三角函數(shù) 三年3考高考指數(shù) 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能進行弧度與角度的互化 3 理解任意角的三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 的定義 1 三角函數(shù)的定義及應用是本節(jié)的考查重點 注意三角函數(shù)值符號的確定 2 同角三角函數(shù)關系式常用來化簡 求值 是高考的熱點 3 主要以選擇題 填空題的形式考查 1 角的有關概念 1 角的分類 按旋轉的方向 正角 按照 方向旋轉而成的角 角負角 按照 方向旋轉而成的角 射線沒有旋轉 逆時針 順時針 零角 2 象限角 第一象限角 2k 2k k z 第二象限角 2k 2k k z 第三象限角 2k 2k k z 第四象限角 2k 2k 2 k z 3 終邊相同的角所有與 終邊相同的角 包括 本身構成一個集合 這個集合可記為s 或 k 360 k z 2k k z 即時應用 1 思考 角 為銳角是角 為第一象限角的什么條件 提示 充分不必要條件 因為銳角為大于0小于的角 而第一象限角為 2k 2k k z 2 若 是第二象限角 判斷下列表述是否正確 在括號內(nèi)填 或 k 360 45 k z 90 180 k 360 90 k 360 180 k z k 180 135 k z 解析 k 360 45 k z表示的是與45 終邊相同的角 是第一象限的角 故不正確 90 180 不能表示所有第二象限的角 故不正確 正確 k 180 135 表示的是當k為偶數(shù)時 與135 終邊相同的角 當k為奇數(shù)時 與315 終邊相同的角 不能表示第二象限的角 故不正確 答案 2 弧度的定義和公式 1 定義 長度等于 的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 弧度記作rad 2 公式 半徑長 角的弧度數(shù)公式 弧長用l表示 角度與弧度的換算 1 rad 弧長公式 弧長l 扇形面積公式 s 1rad 即時應用 1 337 30 的弧度數(shù)是 2 的度數(shù)為 3 扇形半徑為45 圓心角為120 則弧長為 解析 1 337 30 表示的弧度數(shù)為 2 的度數(shù)為 75 3 圓心角120 的弧度數(shù)為 故弧長l 45 30 答案 1 2 75 3 30 3 任意角的三角函數(shù) 1 任意角的三角函數(shù)的定義 為任意角 的終邊上任意一點p 異于原點 的坐標 x y 它與原點的距離 op r r 0 則sin cos tan cot sec csc 2 三角函數(shù)在各象限的符號 象限 函數(shù) 符號 3 三角函數(shù)線三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示 正弦線的起點都在x軸上 余弦線的起點都是原點 正切線的起點都是 1 0 如圖中有向線段mp om at分別叫做角 的 角 的 和角 的 正弦線 余弦線 正切線 即時應用 1 已知角 終邊上一點a 2 2 則sin cos tan cot sec csc 2 判斷下列三角函數(shù)值的符號 sin tan csc 解析 1 r sin cos tan cot sec csc 2 是第二象限角 sin 是第三象限角 tan 是第四象限角 csc 答案 1 2 正 正 負 弧度制的應用 方法點睛 弧度制的應用 1 引進弧度制后 實現(xiàn)了角度與弧度的相互轉化 在弧度制下可以應用弧長公式 l r 扇形面積公式 s lr r2 計算弧長和扇形的面積利用弧度制比角度制更簡捷 方便 2 應用上述公式時 要先把角統(tǒng)一為用弧度制表示 提醒 弧度制和角度制不能混用 解決問題時要先統(tǒng)一 例1 已知扇形的圓心角是 半徑為r 弧長為l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧長l 2 若扇形的周長為20cm 當扇形的圓心角 為多少弧度時 這個扇形的面積最大 3 若 r 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面積 解題指南 1 可直接用弧長公式 但要注意用弧度制 2 可用弧長或半徑表示出扇形面積 然后確定其取最大值時的半徑和弧長 進而求出圓心角 3 利用s弓 s扇 s 這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積 規(guī)范解答 1 l 10 cm 2 由已知得 l 2r 20 所以s lr 20 2r r 10r r2 r 5 2 25 所以r 5時 s取得最大值25 此時l 10 2rad 3 設弓形面積為s弓 由題知l cms弓 s扇 s 2 22 sin cm2 互動探究 將本例第 1 小題中的r 10cm改為扇形的弦ab cm 再求弧長l 解析 因為圓心角 60 ab cm 所以r cm l cm 反思 感悟 1 弧度制下的弧長 扇形面積公式與角度制下的弧長公式l 扇形面積公式s 有著必然的內(nèi)在聯(lián)系 2 在解決弧長問題和扇形面積問題時要注意合理地利用圓心角所在的三角形 變式備選 扇形oab的面積是1cm2 它的周長是4cm 求圓心角的弧度數(shù)和弦ab的長 解析 設扇形的半徑為rcm 弧長為lcm 圓心角的弧度數(shù)2r l 4r 1為 則有 解得lr 1l 2 由 得 2 ab 2sin1 cm 弦長ab為2sin1cm 終邊相同角的表示 方法點睛 1 角 與所在象限的關系 第一或第三象限 第二或第四象限 2 正確區(qū)分 是第一象限角 與 0 是第一象限角 則有2k 2k k z 顯然 若 是第一象限角 不一定是0 若0 則 必為第一象限角 例2 已知角 是第一象限角 確定2 終邊所在的象限位置 解題指南 確定 的范圍 并求出2 的范圍 由2 的范圍討論終邊所在位置 規(guī)范解答 是第一象限角 k 2 k 2 k z k 4 2 k 4 k z 即2k 2 2 2k 2 k z 2 的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負半軸上 當k 2n n z 時 的終邊在第一或第三象限 當k 2n 1 n z 時 即 的終邊在第二或第四象限 綜上 2 的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負半軸上 的終邊在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限 反思 感悟 1 是第一象限的角 是指 的終邊落在第一象限內(nèi) 可表示為2 解答本題時容易出現(xiàn)把 第一象限的角 與 銳角 混為一談 誤認為第一象限角就是銳角而出現(xiàn)錯誤 變式訓練 若角 與 的終邊在一條直線上 則 與 的關系是 解析 當 的終邊重合時 k 2 k z 當 的終邊互為反向延長線時 k 2 2k 1 k z 答案 k 2 k z或 2k 1 k z 三角函數(shù)的定義 方法點睛 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 1 已知角 終邊上一點p的坐標 則可先求出點p到原點的距離r 然后利用三角函數(shù)的定義求解 2 已知角 的終邊所在的直線方程 則可先設出終邊上一點的坐標 求出此點到原點的距離 然后利用三角函數(shù)的定義求解相關的問題 若直線的傾斜角為特殊角 也可直接寫出角 的三角函數(shù)值 例3 已知角 的終邊在直線3x 4y 0上 sin cos tan 的值 解題指南 在直線上設出點 求出所設點到原點的距離 求得三角函數(shù)值 因為所設點可在不同象限 所以需要討論 規(guī)范解答 角 的終邊在直線3x 4y 0上 在角 的終邊上任取一點p 4t 3t t 0 則x 4t y 3t r po 當t 0時 r 5t sin tan 當t 0時 r 5t sin cos tan 綜上可知 sin cos tan 或sin cos tan 反思 感悟 1 利用三角函數(shù)定義解題時 方法比較靈活 若是角 的終邊落到一條直線上 一般要分類討論 2 任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關系 1 聯(lián)系 銳角三角函數(shù)是任意角的三角函數(shù)的一種特例 它們的基礎是建立于相似或直角三角形的性質 r 同為正值 2 區(qū)別 銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的 任意角的三角函數(shù)是以坐標與距離 坐標與坐標的比來定義的 它也適合銳角三角函數(shù)的定義 3 實質 由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認識和研究過程 變式訓練 2012 濟南模擬 已知角 的終邊經(jīng)過點p m m 0 且sin 試判斷角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由題意 得r m 0 m 故角 是第二或第三象限角 當m 時 r 點p的坐標為 cos tan 當m 時 r 點p的坐標為 cos tan 變式備選 已知角 的終邊過點 a 2a a 0 求 的三角函數(shù)值 解析 因為角 的終邊過點 a 2a a 0 所以 r x a y 2a 當a 0時 sin cos tan 2 當a 0時 sin cos tan 2 易錯誤區(qū) 三角函數(shù)的定義應用誤區(qū) 典例 2011 江西高考 已知角 的頂點為坐標原點 始邊為x軸的正半軸 若p 4 y 是角 終邊上一點 且sin 則y 解題指南 根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程求出y值 注意y的符號 規(guī)范解答 由p 4 y 是角 終邊上一點 且sin 可知y 0 op 根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義得化簡得y2 64 解得y 8 答案 8 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 上海高考 若三角方程sinx 0與sin2x 0的解集分別為e f 則 a e f b e f c e f d e f 解析 選a 因為sinx 0 sin2x 0 所以角x和角2x的終邊都在x軸上 所以e x x k k z f x x k z