高二數(shù)學教學論文 遞推數(shù)列求解 滬教版.doc

本文檔系作者精心整理編輯，實用價值高。遞推數(shù)列的求解策略及技巧近年的高考中出現(xiàn)了給出數(shù)列的解析式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)系式）求通項公式的問題.對于這類問題學生感到困難較大.本文以例子介紹這類問題求通項公式的初等方法和技巧，以供參考。1、 多式相加法 （疊加法） 數(shù)列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.例1.在數(shù)列an中，a1=1，an+1= an+2n，求an（n2）.解：由條件，a2=a1+21,a3=a2+22，an= an1+2(n+1)，以上n1個式子相加化簡得： an=a1+n(n1)=n2n1.訓練：例4 已知數(shù)列an中，an =1，且an+1an=3n-n，求數(shù)列an的通項公式。2、多式相乘法 （疊乘法）數(shù)列有形如an=f(n)an1的解析關(guān)系，而f(1)f(2)f(n)的積是可求的，可用多式相乘法求得an.例2在數(shù)列an中，2），求.解：由條件an1,這n1個式子相乘化簡得：.訓練：例4 已知數(shù)列an中，an=1，且an+1an =3n-n，求數(shù)列an的通項公式。迭代法 根據(jù)遞推的特殊關(guān)系，迭代后可以得到通項。例4、在數(shù)列an中，求an。3、待定系數(shù)法 （轉(zhuǎn)化等差等比）數(shù)列有形如、b為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系，可用待定系數(shù)法求得an.例3在數(shù)列an中，求.解：在的兩邊同加待定數(shù)，得+（1）/3），令得數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,an=訓練：在數(shù)列an中，求.4、分解因式法當數(shù)列的關(guān)系式較復雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得an.例4已知數(shù)列滿足（n），且有條件。解：由題得：對n，再由待定系數(shù)法得： 5、求差法 數(shù)列有形如的關(guān)系（非遞推關(guān)系），可考慮用求差后，再用其它初等方法求得例5設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項和為，并且對于所有的自然數(shù)與2的等差中項等于與2的等比中項：（1）寫出數(shù)列的前3項；（2）求數(shù)列的通項公式.出題者的意圖是：通過（1）問求出數(shù)列前3項再猜想出通項公式；（2）再用數(shù)學歸納法證明猜想正確.實際上用求差法求通項公式更簡單.解：（1）略（2）由條件，得 即 得，即分解因式得 對于0，是公差為4的等差數(shù)列， 6、倒數(shù)法 數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求再求得an例6設(shè)數(shù)列滿足求解：原條件變形為兩邊同乘以得. 練習：例7設(shè)數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，求構(gòu)造法 有些數(shù)列直觀上不符合以上各種形式，可對其結(jié)構(gòu)進行適當?shù)淖冃?，以利于使用其他方法? 正整數(shù)列中，求通項公式 7、復合數(shù)列構(gòu)成等差、等比數(shù)列法數(shù)列有形如的關(guān)系，可把復合數(shù)列化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再用其它初等方法求得例7在數(shù)列中，求解：由條件 再用多式相加法可得：8、循環(huán)法 數(shù)列有形如的關(guān)系，如果復合數(shù)列構(gòu)不成等差、等比數(shù)列，有時可考慮構(gòu)成循環(huán)關(guān)系而求出例8在數(shù)列中，解：由條件即即每間隔6項循環(huán)一次.1998=6333，9、開方法 對有些數(shù)列，可先求再求例9有兩個數(shù)列它們的每一項都是正整數(shù)，且對任意自然數(shù)、成等差數(shù)列，、成等比數(shù)列，解：由條件有： 2bn=an+an+1, a2n+1=bnbn+1 .由式得： 把、代入得：，變形得）.0，. 是等差數(shù)列.因 故針對練習：1、已知a1=1,an+1an=2n-n,求an2、在數(shù)列an中，a1