高中數(shù)學(xué) 第一講 絕對值不等式的解法2課件 新人教A版選修45.ppt

2 絕對值不等式的解法 1 含絕對值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x r x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c 2 ax b c c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 利用絕對值不等式的幾何意義求解 體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想 理解絕對值的幾何意義 給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋 2 以絕對值的零點為分界點 將數(shù)軸分為幾個區(qū)間 利用 零點分段法 求解 體現(xiàn)分類討論的思想 確定各個絕對值符號內(nèi)多項式的 性 進(jìn)而去掉絕對值符號 3 通過構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)的圖象求解 體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 正確求出函數(shù)的 并畫出函數(shù)圖象 有時需要考查函數(shù)的增減性 是關(guān)鍵 正 負(fù) 零點 1 x 的幾何意義是什么 提示 x 表示數(shù)軸上的點x到原點o的距離 2 不等式 x 1 2的解集是 解析 由 x 1 2得 2 x 1 2 解得 1 x 3 答案 1 3 3 不等式 4 3x 2的解集是 解析 4 3x 2 3x 4 2 3x 4 2或3x 4 2 解得或x 2 答案 解含絕對值不等式的核心任務(wù)解含絕對值不等式的核心任務(wù)是 去絕對值 將不等式恒等變形為不含絕對值的常規(guī)不等式 然后利用已經(jīng)掌握的解題方法求解 注意不可盲目平方去絕對值符號 類型一簡單絕對值不等式的解法 典型例題 1 不等式的解集是 2 不等式的解集為 解題探究 1 不等式的幾何意義是什么 2 不等式等價于什么 探究提示 1 可化為 x 4 2 它的幾何意義是數(shù)軸上到坐標(biāo)為4的點的距離不大于2的點的集合 2 解析 1 解得2 x 6 答案 2 6 2 所以原不等式的解集是 2 0 答案 2 0 拓展提升 絕對值不等式的常見類型及其解法 1 形如 f x a a r 型不等式 此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法 即 當(dāng)a 0時 f x a f x a或f x a f x 0 當(dāng)aa f x 有意義即可 2 形如 f x g x 型不等式 此類問題的簡單解法是利用平方法 即 f x g x f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0 3 形如 f x g x 型不等式 此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法 即 f x g x f x g x 或f x g x 其中g(shù) x 可正也可負(fù) 若此類問題用分類討論法來解決 就顯得較復(fù)雜 4 形如aa 0 型不等式 此類問題的簡單解法是利用等價轉(zhuǎn)化法 即af x 型不等式 此類問題的簡單解法是利用絕對值的定義 即 f x f x f x 0 變式訓(xùn)練 解不等式2 2x 3 4 解析 原不等式等價于所以原不等式的解集是 類型二含多個絕對值不等式的解法 典型例題 1 不等式 x 1 x 2 的解集為 2 不等式 x 1 x 1 3的解集為 解題探究 1 題1中如何去掉絕對值號 2 解決題2的關(guān)鍵是什么 探究提示 1 題1中可采用不等式兩邊同時平方的方式去掉絕對值符號 2 解決題2的關(guān)鍵是理解絕對值的幾何意義 解析 1 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2所以原不等式的解集為答案 2 方法一 如圖 設(shè)數(shù)軸上與 1 1對應(yīng)的點分別為a b 那么a b兩點間的距離為2 因此區(qū)間 1 1 上的數(shù)都不是不等式的解 設(shè)在a點左側(cè)有一點a1到a b兩點的距離和為3 a1對應(yīng)數(shù)軸上的x 所以 1 x 1 x 3 得同理設(shè)b點右側(cè)有一點b1到a b兩點的距離和為3 b1對應(yīng)數(shù)軸上的x 所以x 1 x 1 3 所以 從數(shù)軸上可看到 點a1 b1之間的點到a b的距離之和都小于3 點a1的左邊或點b1的右邊的任何點到a b的距離之和都大于3 所以原不等式的解集是 方法二 當(dāng)x 1時 原不等式可以化為 x 1 x 1 3 解得當(dāng) 1 x 1時 原不等式可以化為x 1 x 1 3 即2 3 不成立 無解 當(dāng)x 1時 原不等式可以化為x 1 x 1 3 所以綜上 可知原不等式的解集為 方法三 將原不等式轉(zhuǎn)化為 x 1 x 1 3 0 構(gòu)造函數(shù)y x 1 x 1 3 即作出函數(shù)的圖象 如圖 函數(shù)的零點是 從圖象可知當(dāng)或時 y 0 即 x 1 x 1 3 0 所以原不等式的解集為答案 互動探究 若將題1中的不等式改為求它的解集 解析 又2 x 0 所以x 2 所以原不等式的解集為 誤區(qū)警示 本題易忽視隱含條件2 x 0而致誤 拓展提升 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 x a x b c x a x b c c 0 型不等式有三種解法 分區(qū)間 分類 討論法 圖象法和幾何法 分區(qū)間討論的方法具有普遍性 但較麻煩 幾何法和圖象法直觀 但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況 2 分區(qū)間 分類 討論的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解 即也即x r x為非負(fù)數(shù)時 x 為x x為負(fù)數(shù)時 x 為 x 即x的相反數(shù) 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的圖象解法和畫出函數(shù)f x x a x b c的圖象是密切相關(guān)的 其圖象是折線 正確地畫出其圖象的關(guān)鍵是寫出f x 的分段表達(dá)式 不妨設(shè)a b 于是這種圖象法的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù) 正確畫出函數(shù)的圖象 求出函數(shù)的零點 體現(xiàn)了函數(shù)與方程結(jié)合 數(shù)形結(jié)合的思想 變式訓(xùn)練 解不等式 x 1 2 x 2 解析 原不等式可等價轉(zhuǎn)化為或或解不等式組得或所以原不等式的解集為或 其他類型的絕對值不等式 典型例題 1 不等式 2x 3 3x 1的解集是 2 設(shè)函數(shù)f x x 1 x a 如果對任意x r f x 2 則a的取值范圍是 3 解不等式 x2 3 2x 解析 1 2x 3 0 原不等式轉(zhuǎn)化為 3x 1 2x 3 3x 1 以上不等式等價于所以原不等式的解集為答案 2 若a 1 則f x 2 x 1 不滿足題設(shè)條件 若a1 則 f x 的最小值為a 1 綜上可知 所求a的取值范圍是 1 3 答案 1 3 3 因為 x2 3 2x 所以x 0 所以 x2 3 2x 2x x2 3 2x 解不等式組得 拓展提升 含參數(shù)的不等式問題分類及解題策略 1 一類要對參數(shù)進(jìn)行討論 另一類對參數(shù)并沒有進(jìn)行討論 而是去絕對值時對變量進(jìn)行討論 得到兩個不等式組 最后把兩不等式組的解集合并 即得該不等式的解集 2 解絕對值不等式的基本思想是想方設(shè)法去掉絕對值符號 去絕對值符號的常用手段有以下幾種 形如 f x g x 或 f x g x 的求解方法 根據(jù)實數(shù)的絕對值的意義分類討論 即 根據(jù)公式 x 0 f x a x a或xg x f x g x 或f x g x 根據(jù) a 2 a2 a r 若不等式兩邊非負(fù) 可在不等式兩邊同時平方 如 f x g x f2 x g2 x 規(guī)范解答 含參數(shù)的絕對值不等式的解法 典例 規(guī)范解答 因為a r 故分以下兩種情況討論 1 當(dāng)a 1 0 即a 1時 條件分析 原不等式無解 即不等式的解集為 4分 2 當(dāng)a 1 0 即a 1時 6分原不等式可變?yōu)?a 1 1時 原不等式的解集為 當(dāng)a 1時 原不等式的解集為 12分 失分警示 防范措施 含參數(shù)的絕對值不等式解含參數(shù)的絕對值不等式的題型 容易忽略對參數(shù)的符號進(jìn)行討論 如本例需對a 1的符號進(jìn)行討論 否則易導(dǎo)致錯誤結(jié)果 類題試解 解關(guān)于x的不等式 x2 a 0時 原不等式等價于 a0時 原不等式的解集為 1 不等式 x 1 1的解集為 a 0 2 b 2 c 1 2 d 0 2 解析 選a x 1 1 1 x 1 1 0 x 2 2 不等式 2x log2x 1d x 2 解析 選c 由 a b a b 其中等號成立的條件為 ab 0 所以原不等式成立 即2x log2x 0 所以x 1 3 的解集是 a x 3 x 5 b x 3 x 5且x 2 c x 3 x 5 d x 3 x 5且x 2 解析 選b 因為分母 x 2 0且x 2 所以原不等式等價于 x 1 4 0 即 x 1 4 所以 4 x 1 4 即 3 x 5 4 不等式 x 3 2 x 的解集是 解析 由 x 3 2 x 得 x 3 2 2 x 2 所以10 x 5 即答案 5 若不等式