江西景德第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試

2017-2018學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.對于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，則下列集合中必為空集的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意畫出韋恩圖,由韋恩圖可直接分析出答案?！驹斀狻坑深}意，可畫出韋恩圖如下圖所示：由圖可知，所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了集合與集合的基本關(guān)系，用韋恩圖分析集合間包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。2.設(shè)，則()A. y3 y1 y2 B. y2 y1 y3 C. y1y2 y3 D. y1 y3 y2【答案】D【解析】試題分析：利用指數(shù)函數(shù)比較大小.，因?yàn)樵谏蠁卧觯杂?，故選D.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.3.正三棱錐的主視圖如圖所示，那么該正三棱錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由主視圖可得正三棱錐的底面三角形的邊長為2，正三棱錐的高為，再由高和斜高、斜高在底面的射影構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理和側(cè)面積公式，計(jì)算可得所求值。【詳解】由正三棱錐的主視圖可得空間結(jié)構(gòu)體如圖所示由正視圖可知正三棱錐的高為，底面等邊三角形的邊長為2即 則 根據(jù)三角形AOE為直角三角形可得 所以 所以正三棱錐的側(cè)面積為 所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的三視圖，根據(jù)三視圖還原空間結(jié)構(gòu)體并求側(cè)面積問題，屬于基礎(chǔ)題。4.過P（2，0），傾斜角為120的直線的方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直線的傾斜角為求出直線的斜率,由此可利用點(diǎn)斜式求出過,傾斜角為的直線的方程.【詳解】傾斜角為120的直線的斜率為k=tan120=，過P（2，0），傾斜角為120的直線的方程為：y0=（x+2），整理得：=0故選A【點(diǎn)睛】本題主要直線的傾斜角、考查點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，是基礎(chǔ)題.5.已知，那么c1與c2的位置關(guān)系是（）A. 內(nèi)含 B. 相切 C. 相交 D. 相離【答案】C【解析】【分析】將兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，比較圓心距與兩個(gè)半徑的大小關(guān)系即可?！驹斀狻恳?yàn)樗约磮A心坐標(biāo)為（-1,3），半徑因?yàn)樗约磮A心坐標(biāo)為（2,-1），半徑兩個(gè)圓的圓心距為 因?yàn)樗詢蓚€(gè)圓相交所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化，圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題。6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（-1，2，3），B（2，-2，3），則ABC是（）三角形A. 等腰 B. 銳角 C. 直角 D. 鈍角【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，分別算出AB、AC、BC的長，進(jìn)而利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀?！驹斀狻扛鶕?jù)兩點(diǎn)間距離公式可知 因?yàn)?所以三角形ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了空間中兩點(diǎn)距離公式的簡單應(yīng)用，勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題。7.設(shè)x、y、z均為正數(shù)，且，（）y=，（）z=log2z，則（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)與方程的關(guān)系，作出對應(yīng)的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可。【詳解】在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 的圖象如下圖所示由圖可知，所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過圖像比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題。8.已知平面平面，平面平面=L點(diǎn)A，AL，直線ABL，直線ACL，直線m，m，則下列結(jié)論中ABm，ACm，AC，正確的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)點(diǎn)、線、面放在正方體中，利用正方體的性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確?！驹斀狻恳?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?L點(diǎn)A，AL，直線ABL，直線ACL，直線m，m構(gòu)造一個(gè)正方體如下圖：由圖可知ABm，ACm，正確；AC不正確所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系及命題真假的判斷，關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造合適的空間幾何體，屬于基礎(chǔ)題。9.設(shè)，若f（a）+f（3a+1）0，則a的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，求出定義域。而為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式即可求得a的取值范圍?！驹斀狻恳?yàn)?，所以解不等式得又因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷可知在上為增函數(shù)因?yàn)閒（a）+f（3a+1）0，即f（a）- f（3a+1）所以f（a）f（-3a-1）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)所以 ，解不等式組得 所以選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析f（x）的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題。10.如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，則異面直線BB1與CD1所成的角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取BC中點(diǎn)M，鏈接A1C1，A1M，MC1從而A1MC1是異面直線BB1與CD1所成的角，由此利用余弦定理能求出異面直線BB1與CD1所成的角的余弦值。【詳解】取BC中點(diǎn)M，鏈接A1C1，A1M，MC1在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4BC=AB=4，MC=2，A1D1=2A1D1MC為平行四邊形A1MD1C，同理，B1C1BM，B1C1=BM=2，BB1C1C為平行四邊形，BB1C1M，A1MC1是異面直線BB1與CD1所成的角，C1D1DC為等腰梯形，CC1=C1D1=D1D=2，DC=4，CC1D1=120， 又 即為異面直線BB1與CD1所成的角的余弦值為所以選A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，注意運(yùn)算，屬于中檔題。11.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，則二面角C-B1D-C1的大小的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量，求出平面CB1D、平面C1B1D的法向量，再計(jì)算法向量的夾角，即可得出二面角C-B1D-C1的余弦值?！驹斀狻坑深}意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1所以 所以 設(shè)平面CB1D的法向量為 所以 ，代入坐標(biāo)令y=1，代入可求得法向量為同理可設(shè)平面C1B1D的法向量為 所以 ，代入坐標(biāo)令i=1，代入可求得法向量為所以 由圖可知，二面角C-B1D-C1為銳二面角，所以所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求平面與平面形成的二面角，空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，屬于中檔題。12.已知函數(shù)，則方程|f（x）+g（x）|=1實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=-f（x）1，分別作出函數(shù)的圖象，即可得出解?！驹斀狻坑蓔f（x）+g（x）|=1可得g（x）=-f（x）1令h（x）=-f（x）+1，g（x）與h（x）=-f（x）+1的圖象如下圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)令（x）=-f（x）-1，則g（x）與（x）=-f（x）-1的圖象如下圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；所以方程|f（x）+g（x）|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為5所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問題中的應(yīng)用，對分析、解決問題的能力要求較高，屬于難題。二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.方程log3（1-23x）=2x+1的解x=_【答案】【解析】【分析】由log3（1-23x）=2x+1，知1-23x=32x+1，故3（3x）2+23x-1=0，進(jìn)而求出方程的解【詳解】log3（1-23x）=2x+1，1-23x=32x+1，3（3x）2+23x-1=0，（33x-1）（3x+1）=0，所以 或解得x=-1所以方程的解為x=-1【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。14.若圓C：x2+y2-2x-2y+m=0被直線L：（2m+1）x-（m+1）y-m=0截得的弦長為2，則m的值等于_【答案】【解析】【分析】將x2+y2-2x-2y+m=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心為和半徑，由于直線過定點(diǎn)M（1，1），當(dāng)圓被直線截得的弦長為2時(shí)，可知此弦長為直徑，即可求出m的值?！驹斀狻繄AC：x2+y2-2x-2y+m=0可化為（x-1）2+（y-1）2=2-m圓心為（1，1），半徑為 直線過定點(diǎn)M（1，1），圓被直線截得的弦長為2，圓的直徑為2，即又2-m0，m2，m的值為1【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題。15.當(dāng)x=_時(shí)，函數(shù)y=x4-2x3+x+2018取得最小值【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求得導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)區(qū)間，可判斷使函數(shù)取得極小值的x值?！驹斀狻坑蓎=x4-2x3+x+2018，得y=4x3-6x2+1，由y=4x3-6x2+1=0，得4x3-6x2+1=（2x2-2x-1）（2x-1）=0解方程可得或當(dāng) 或時(shí)，y0所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或單調(diào)遞增區(qū)間為 或所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值而當(dāng)時(shí)，函數(shù)值當(dāng)時(shí)，函數(shù)值所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值，化簡求值過程較為復(fù)雜，屬于難題。16.已知空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的面上，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EFAB，EFCD，若AB=8，CD=EF=4，則球O的表面積為_【答案】【解析】【分析】由題意，球心O必在EF上，則OF2+22=R2=（4-OF）2+42，即可求得球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積?！驹斀狻坑深}意可知，球心O必在EF上，則OF2+22=R2=（4-OF）2+42所以，由球的表面積公式可得S=4R2=65【點(diǎn)睛】本題考查了空間結(jié)構(gòu)體的外接球的半徑、表面積求法，主要是通過分析得出各量之間的關(guān)系，屬于中檔題。三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知直線L1：（3-a）x+（2a-1）y+10=0，直線L2：（2a+1）x+（a+5）y-6=0（1）若L1L2，求a的值；（2）若L1L2，求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）兩直線垂直，則A1A2+B1B2=0，代入兩條直線方程中的A、B即可求得a的值。（2）兩條直線平行，則A1 B2 =B1 A2，且截距不等，代入即可求得a的值。【詳解】解：（1）L1L2則（2a+1）+（2a-1）（a+5）=0，解得a=，（2）L1L2則（3-a）（a+5）=（2a-1）（2a+1），解得a=或a=-2，、當(dāng)a=-2時(shí)，l1與l2重合，不滿足題意，故a=【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行、垂直時(shí)一般方程中系數(shù)的的相互關(guān)系，注意平行時(shí)對截距也有要求，屬于基礎(chǔ)題。18.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分別是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中點(diǎn)（1）求證EG平面A1BC1；（2）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得FGCD1，CD1A1B，從而FGA1B，進(jìn)而FG平面A1BC1，再求出EF平面A1BC1，從而平面EFG平面A1BC1，由此能證明EG平面A1BC1。（2）延長FG，交DC于M，連結(jié)MH，交BC于N，可得出NHEF，進(jìn)而可證明E、F、G、H四點(diǎn)共面【詳解】證明：（1）正方體ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分別是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中點(diǎn)，F(xiàn)GCD1，CD1A1B，F(xiàn)GA1B，F(xiàn)G平面A1BC1，A1B平面A1BC1，F(xiàn)G平面A1BC1，同理，EF平面A1BC1，EFEG=E，平面EFG平面A1BC1，EG平面EFG，EG平面A1BC1（2）延長FG，交DC于M，連結(jié)MH，交BC于N，則N是BC的中點(diǎn)，NHACA1C1，NHEF，E、F、G、H四點(diǎn)共面【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、四點(diǎn)共面的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題。19.已知（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；（2）設(shè)g（x）=f（x）-a，若函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先求出函數(shù)的定義域，分析可得f（-x）+f（x）=0，由函數(shù)奇偶性的定義分析即可；（2）根據(jù)題意，分析可得函數(shù)g（x）=f（x）-a沒有零點(diǎn)，則方程f（x）=a沒有實(shí)根，求出函數(shù)f（x）的值域，即可得a的取值范圍。【詳解】解：（1）根據(jù)題意，其定義域?yàn)椋?，0）（0，+），則f（-x）=+=+，則f（x）+f（-x）=+=1-1=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；（2）函數(shù)g（x）=f（x）-a沒有零點(diǎn)，則方程f（x）=a沒有實(shí)根，對于f（x）=+，當(dāng)x0時(shí)，2x1，則2x-10，則有+，則在（0，+）上，f（x），又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）-，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，-）（，+）；則當(dāng)-a時(shí)，f（x）=a無實(shí)根，此時(shí)函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，關(guān)鍵是分析函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題。20.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AB=1，DC=2，E是棱DC的中點(diǎn)；側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD底面ABCD（1）求證：PEBD；（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，取AD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，交BD于點(diǎn)G，連結(jié)PG，推導(dǎo)出ACBD，EFBD，PFAD，從而PF平面ABCD，進(jìn)而PFBD，又EFBD，從而BD平面PEF，由此能證明BDPE。（2）根據(jù)題意易得BDPG，由等體積法VP-ABD=VA-PBD，可求出點(diǎn)A到平面PBD的距離。【詳解】證明：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，取AD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，交BD于點(diǎn)G，連結(jié)PG，在梯形ABCD中，AB=1，BC=，CD=2，ABC=DCB=90，tanACB=，tanBDC=，ACB=BDC，ACBD，EFAC，EFBD又平面PAD平面ABCD，PFAD，PF平面ABCD，PFBD，又EFBD，PEEF=E，BD平面PEF，BDPE解：（2）由（1）可知，又BD平面PEF，BDPG，F(xiàn)G=，PF=，PG=，=，VP-ABD=VA-PBD，點(diǎn)A到平面PBD的距離h=【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，點(diǎn)到平面的距離的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題。21.已知二次函數(shù)（1）求f（x）在0，1上的最小值g（a）的解析式；（2）時(shí)，比較g（a）與g（1-a）的大小并說明理由【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）二次函數(shù)f(x)x22(2a1)x+5a24a+2的圖象是開口向上，且以直線x=2a-1為對稱軸的拋物線。分類討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，分析出函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在0，1上的最小值g（a）的解析式；（2）時(shí)，結(jié)合中結(jié)論，利用作差法，可比較g（a）與g（1-a）的大小?！驹斀狻拷猓海?）二次函數(shù)的圖象是開口朝上，且以直線x=2a-1為對稱軸的拋物線，當(dāng)2a-10時(shí)，函數(shù)在0，1上為增函數(shù)，此時(shí)g（a）=f（0）=；當(dāng)02a-11時(shí)，函數(shù)在0，2a-1上為減函數(shù)，在2a-1，1上為增函數(shù)，此時(shí)g（a）=f（2a-1）=；當(dāng)2a-11時(shí)，函數(shù)在0，1上為減函數(shù)，g（a）=f（1）=；綜上可得：g（a）=；（2）時(shí)，1-a，故g（1-a）=，當(dāng)時(shí)，g（a）=；g（a）-g（1-a）=-2（2a-1）（a-1）0，此時(shí)g（a）g（1-a）當(dāng)a1時(shí)，g（a）=；g（a）-g（1-a