更高更妙的物理：專題17--靜電場：原理與方法.doc

專題17 靜電場：原理與方法在這個專題里，我們探討有關(guān)靜電場的一些重要原理以及場強(qiáng)、電勢和電荷分布等問題的處理方法。 相對于觀察者靜止的電荷所產(chǎn)生的電場被我們稱為靜電場，靜電場最重要的外觀表現(xiàn)一是對進(jìn)入電場的任何帶電體都產(chǎn)生力的作用；一是當(dāng)帶電體在電場中移動時，電場力做功，說明靜電場具有能量。電荷守恒定律、庫侖定律、高斯定理、場疊加原理、唯一性原理都是反映靜電場這兩大表現(xiàn)所具性質(zhì)的基本規(guī)律。 在摩擦起電、接觸起電、感應(yīng)起電或其他方法使物體帶電的過程中，正、負(fù)電荷總是同時出現(xiàn)且量值一定相等，當(dāng)兩種等量異種電荷相遇發(fā)生中和時，物體不再帶電，即一種電荷消失時必然有相等量值的異種電荷同時消失。實驗證明：對一個孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變原來為零的始終為零，原來為某一量的，則始終為，此即電荷守恒定律，是物理學(xué)中的基本定律之一。在靜電場中，它與電場具有能量并遵從能量守恒是相承相容的。許多靜力學(xué)問題都須依據(jù)這一原理來解決?！纠?】一個金屬球借助導(dǎo)電薄板從起電機(jī)上獲得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機(jī)上帶電至電量為。如果球在第一次與板接觸后帶電量為，求球可獲得的最大電量?！痉治雠c解】球在第一次與板接觸后獲得的電量為，說明有量值為的正電荷從板上轉(zhuǎn)移到球上，由電荷守恒可知，此時板上電量為，即球與板這一系統(tǒng)中的總電量是按的比例分配到球上與板上的。那么，當(dāng)多次操作直至最終板上電量又一次為但不能向與之接觸的球遷移時（此時兩者等電勢），球上的電量達(dá)到最大，若設(shè)為，則應(yīng)有，故可求得球可獲得的最大電量。 點電荷間的庫侖定律，是靜電學(xué)的基本定律，庫侖定律給出點電荷間相互作用力與距離平方成反比，它的內(nèi)涵是很豐富的，它導(dǎo)致靜電場是“有源場”即我們熟悉的電場線總是從正電荷（源頭）出發(fā)、到負(fù)電荷（尾間）終止的結(jié)果；它導(dǎo)致靜電平衡的導(dǎo)體電荷分布在外表面而內(nèi)部場強(qiáng)為零；它可以導(dǎo)出下面將做介紹的揭示靜電場場強(qiáng)分布規(guī)律的高斯定理。 庫侖力與萬有引力均為平方反比力，點電荷電場與質(zhì)點引力場的許多性質(zhì)，具有可類比性。在專題中我們整理過的關(guān)于引力場的各種結(jié)論，往往通過平移對稱操作，對電場同樣適用，常用模型與方法也往往是相通的。如引力場中曾被牛頓證明過的一個均勻球殼，對球殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力為零，即球殼內(nèi)引力場處處為零。這個結(jié)論平移到一個均勻帶電球殼，則球殼內(nèi)電場強(qiáng)度處處為零；又如，對于一個質(zhì)量均勻半徑為的實心球，在距球心（）處質(zhì)點只受到半徑為的球內(nèi)質(zhì)量的萬有引力，“引力場強(qiáng)”，而以外的球殼（即為外徑為內(nèi)徑的球殼）則對質(zhì)點無引力的作用。這個結(jié)論平移到一個均勻帶電、半徑為的實心球，在距球心（）處的場強(qiáng)只由半徑為的球內(nèi)電荷貢獻(xiàn)：，而與以外的球殼所帶電荷無關(guān)，等等。【例2】把兩個相同的電量為的點電荷固定在相距為的地方，在二者中間放上第三個質(zhì)量為電量亦為的點電荷，現(xiàn)沿電荷連線方向給第三個點電荷一小擾動，證明隨之發(fā)生的小幅振動為簡諧運動并求其周期?！痉治雠c解】如圖所示，為等量同種正電荷連線的中點，該點場強(qiáng)為零，則第三個電荷置于該點處于平衡，受擾動后，設(shè)其有一位移，此時電荷受、兩處點電荷的庫侖力方向如圖示，以位移方向為正，合力為，注意到小幅振動，是小量，則有，可見第三個點電荷所受合力為線性變化力且方向總與位移相反，故為簡諧運動，周期。 場強(qiáng)、電勢和電荷分布等問題由于數(shù)學(xué)計算的困難，能夠用初等數(shù)學(xué)精確求解的只在一些具有很強(qiáng)對稱性的情況下。例如點電荷及一對等量同種或異種點電荷形成的電場的場強(qiáng)與電勢分布；均勻帶電球體內(nèi)、外各點的場強(qiáng)與電勢分布；孤立帶電導(dǎo)體球的電荷分布，等等?！纠?】均勻帶電球殼半徑為，帶正電，電量為，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為（）。試求球殼的其余部分對它的作用力。【分析與解】這個問題中，待求力是帶電球殼的內(nèi)力，且對稱分布，宜用微元法求解。 如圖所示，是球面上劃出的很小一塊面積元，因帶電量，故可視作一點電荷，其在內(nèi)、外兩側(cè)引起的場強(qiáng)大小相等設(shè)為、方向相反?，F(xiàn)設(shè)球殼其余部分在處的場強(qiáng)為，則內(nèi)側(cè)面作為球殼內(nèi)部，場強(qiáng)應(yīng)為零，故有。 而外側(cè)，由均勻球殼場強(qiáng)公式，可得。 由以上兩式可得，則點電荷在處所受球殼其余部分對它的力為?！纠?】一個半徑為的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢為。將此環(huán)靠近半徑為的接地的球，只有環(huán)中心位于球面上，如圖所示。試求球上感應(yīng)電荷的電量。【分析與解】將帶電金屬絲環(huán)分成許多相同的小面元，每個電荷元所帶電量為、，它們在環(huán)中心處形成的電勢為，則金屬絲帶電量為。設(shè)接地的球上感應(yīng)電量為，由于接地，故整個球為一電勢為零的等勢體，那么環(huán)上電荷及球上感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電勢之和應(yīng)為零，即，得。 現(xiàn)在，我們從庫侖定律與場的疊加原理導(dǎo)出靜電學(xué)的另一條基本規(guī)律高斯定理。 我們知道，用電場線描述電場時，電場線的疏密表示電場的強(qiáng)弱，若場中某面元上有條電場線垂直穿過，則，稱為電通量，并以正、負(fù)表示電場線從該面穿出或穿入。先考察點電荷的電場，如圖所示，為以點電荷為中心包圍點電荷的球面，為包圍點電荷的任意封閉曲面，若球面半徑為，則球面上各處的場強(qiáng)大小均為，式中，稱為真空中的介電常數(shù)。顯然，從該球面穿出的電通量。根據(jù)電場線的性質(zhì)在電場中沒有電荷處的電場線是連續(xù)的、不相交的，可以肯定包圍點電荷的任意封閉曲面上的電通量也是。若如圖所示，電荷在閉合曲面之外，由電場線性質(zhì)可知穿入曲面的電場線條數(shù)與穿出該曲面的電場線條數(shù)相等，那么整個封閉曲面的總電通量為零。根據(jù)電場疊加原理，將上述結(jié)果推廣到任意點電荷系構(gòu)成的靜電場：若閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和為，則，在真空中的任何靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的，這就是真空中靜電場的高斯定理。 當(dāng)電荷分布具有某些特殊對稱性時，往往可應(yīng)用高斯定理簡便地計算場強(qiáng)。【例5】半徑為的圓板，在與其中心距離為處置一點電荷，試求板上的電通量。【分析與解】如圖所示，以點電荷為球心，以為半徑作一球面，顯然，通過圓板的電通量與以圓板周界為周界的球冠面的電通量是相同的，球面上電通量，則球冠面上電通量，那么圓板上的電通量即為?！纠?】在相距的兩根平行細(xì)長導(dǎo)線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為及。求在對稱平面上與導(dǎo)線所在平面相距為的一點的電場強(qiáng)度?！痉治雠c解】我們先利用高斯定理求出與細(xì)長導(dǎo)線距離為處的電場強(qiáng)度。如圖所示，細(xì)長導(dǎo)線均勻帶電，由對稱性知各點場強(qiáng)方向均沿法向，電場線分布輻向均勻?，F(xiàn)取一以細(xì)導(dǎo)線為幾何軸、底面半徑為、高的圓柱面，由高斯定理得該面上的電通量，則距軸心的圓柱面上的電場強(qiáng)度。本題中，點場強(qiáng)是兩線電荷在該點電場的疊加，如圖所示，兩線電荷在點引起的場強(qiáng)大小相同：，方向如圖所示；合場強(qiáng)。 我們面對的各種具體問題，往往情況復(fù)雜、對稱破缺。解決這類復(fù)雜問題的一條重要途徑，便是依據(jù)靜電場問題的唯一性原：理進(jìn)行等效變換，設(shè)法將復(fù)雜問題化解為符合對稱性要求的基本問題，以便利用已知規(guī)律最終得解。 等效處理的辦法大致可分為兩類： 、對不具有對稱性的帶電體，用若干具有對稱性的帶電體做等效替代；或是對具有弱對稱性的帶電體，用具有更強(qiáng)對稱性的帶電體進(jìn)行等效替代。這種方法我們稱之為“等效對稱替代法”。、對實際導(dǎo)體面或電介質(zhì)面上的不均勻分布的電荷，用虛設(shè)的點電荷或均勻帶電球進(jìn)行等效替代，從而將一給定的靜電場變換成另一易于計算的等效靜電場。這種方法我們稱之為“等效電像變換法”先示例“等效對稱替代法”?！纠?】如圖所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠(yuǎn)的距離，設(shè)分開后的球表面仍均勻帶電，試比較點與點電場強(qiáng)度的大小?！痉治雠c解】球冠面上正電荷在點產(chǎn)生的電場以示，球?qū)用嫔险姾稍邳c產(chǎn)生的電場以示，由對稱性容易確定方向向右，方向向左，如圖所示。乍一看，卻似乎無法比較兩部分不規(guī)則帶電體產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小，須設(shè)法作等效替代，創(chuàng)造出可運用已知規(guī)律的條件。 如圖所示，設(shè)想以另一表面均勻分布正電荷的完全相同的半球，附在球?qū)由蠘?gòu)成球缺，顯然，球缺在點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大于；球缺和球冠構(gòu)成一完整球，由于均勻帶電球面內(nèi)電場強(qiáng)度處處為零，那么，與必然大小相等方向相反，于是，我們可確定球冠面電荷在點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大于球?qū)用骐姾稍邳c產(chǎn)生的電場強(qiáng)度?！纠?】如圖所示，正四面體各面為導(dǎo)體，但又彼此絕緣。已知帶電后四個面的靜電勢分別為、和，求四面體中心點的電勢?！痉治雠c解】若正四面體的四個面電勢相同，四面體就是一個等勢體，其中心點電勢即可確定?，F(xiàn)正四面體各面靜電勢均不同，其中心點的電勢難以直接確定，我們來進(jìn)行等效替代：另有同樣的三個四個面的靜電勢分別為、和的正四面體，將它們適當(dāng)?shù)丿B在一起，使四個面的電勢均為，中心點共點，這個疊加而成的四面體是等勢體，其中心點電勢為，于是求得和?！纠?】如圖所示，在半徑為、體密度為的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為的一個小球，小球球心與大球球心相距為，試求點的場強(qiáng)，并證明空腔內(nèi)電場均勻?！痉治雠c解】挖去一個小球而帶有空腔的帶電體球?qū)ΨQ性被破壞，故難以直接運用庫侖定律求出處的電場強(qiáng)度，須通過等效變換，將該帶電體轉(zhuǎn)化為若干個具有球?qū)ΨQ性的帶電體。 設(shè)想空腔部分的靜電場構(gòu)成是由體電荷密度為與的兩個小均勻帶電球復(fù)合而成，于是原帶電體便被體電荷密度為半徑為的均勻帶正電大球與位于空腔部分的、體密度為半徑為的均勻帶負(fù)電小球替代，即：將空腔中的電場視作上述兩個帶電球引起的電場的疊加。由于此兩球的電場均具有輻向?qū)ΨQ性，故問題可解。體電荷密度為的小球在其球心產(chǎn)生的場強(qiáng)為零；體電荷密度為的大球在處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為，則點的電場強(qiáng)度，方向由點指向點。 為了證明空腔內(nèi)電場均勻，我們?nèi)稳】涨粌?nèi)一點，點對的矢徑為，對的矢徑為，如圖所示，圖中是大球在點引起的場強(qiáng)，是小球在點引起的場強(qiáng)，則點場強(qiáng)為，可知空腔內(nèi)任一點的場強(qiáng)方向均沿矢徑，即從點指向點，大小均為，可見為一勻強(qiáng)場?！纠?0】如圖所示，在半徑為的細(xì)圓環(huán)上分布有不能移動的正電荷，總電量為，是它的一條直徑，如果要使上的場強(qiáng)處處為零，則圓環(huán)上的電荷應(yīng)該如何分布？【分析與解】由于要求直徑上的場強(qiáng)處處為零，而圓環(huán)只對圓心具有對稱性，故可知欲滿足題設(shè)條件，圓環(huán)上的電荷分布是不均勻的。我們知道，均勻帶電球殼內(nèi)部的場強(qiáng)處處為零，那么其直徑上各點的場強(qiáng)自然為零了，現(xiàn)要使帶電圓環(huán)在其直徑上各點場強(qiáng)具有同樣的效果，那么環(huán)上的電荷分布一定與均勻帶電球面的電荷分布有著某種等效關(guān)系。 我們對直徑上場強(qiáng)的構(gòu)成作一分析，如圖所示，在均勻帶電球面的直徑上任取一點，若用與垂直的平面分割球面，可得一系列的圓環(huán)帶，根據(jù)對稱性可知，每一均勻帶電小環(huán)在點產(chǎn)生的場強(qiáng)矢量必沿，而所有小環(huán)在點的合場強(qiáng)為零?，F(xiàn)設(shè)想把原均勻分布在每一小環(huán)帶上的電荷均對半“擼”到該小環(huán)帶上兩弧線元和上，整個電量對稱地分布到直徑兩側(cè)的半圓環(huán)上，則點的場強(qiáng)不變，直徑上的電場強(qiáng)度仍處處為零，不過細(xì)圓環(huán)上電荷的分布顯然是不均勻的。如圖所示，任取圓環(huán)上一點，與的夾角為。取處極小段弧長，其上分布的電量對應(yīng)于半徑為、電量為的均勻帶電球面上用垂直于直徑的平面截出的寬、周長的小環(huán)帶上所帶電量的一半，即， 那么，該元弧段上的電荷線密度為。這就是令半徑為的細(xì)圓環(huán)一直徑上場強(qiáng)處處為零，電量在環(huán)上分布應(yīng)遵從的規(guī)律。 下面展示“電像變換法”。 【例11】如圖所示，無限大的接地導(dǎo)體板，在距板處的點有一個電量為的正電荷，求板上的感應(yīng)電荷對點電荷的作用力?！痉治雠c解】由于導(dǎo)體板接地，板上的電勢為零，在點電荷的作用下，板的右側(cè)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，但其電量及分布未知，故無法直接求出它們對電荷的作用力。然而，由于導(dǎo)體為一等勢面，從點電荷出發(fā)的電場線應(yīng)處處與導(dǎo)體面正交而終止，因而導(dǎo)體板右側(cè)電場線分布大致如圖所示。這使我們聯(lián)想到等量異種電荷的電場：兩點電荷聯(lián)線的垂直平分面為一零電勢面，電場線還包括圖中用虛線畫出的另一半。因此，導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對板右側(cè)電場的影響，可用與點電荷關(guān)于導(dǎo)體面成鏡像對稱的另一虛設(shè)點電荷替代，板上感應(yīng)電荷對的作用亦等效于像電荷對發(fā)生的作用，于是，由庫侖定律容易得到，板上感應(yīng)電荷對點電荷的作用力大小為。 這里求解所用的方法，多用于接地導(dǎo)體或保持電勢不變的導(dǎo)體外有一個或多個點電荷的情況。通常根據(jù)導(dǎo)體面及點電荷的幾何位置關(guān)系，推斷在所考察區(qū)域適當(dāng)放置一個或多個量值合適的電荷，使之能夠滿足導(dǎo)體面上給定的場強(qiáng)及電勢條件、模擬感應(yīng)電荷對空間電場的貢獻(xiàn)。這些虛擬的電荷稱為像電荷，通過等效電像變換的方法，使實際問題易于解決，而其可靠性則源于靜電學(xué)的重要原理唯一性原理?！纠?2】如圖所示，設(shè)在一接地導(dǎo)體球的右側(cè)點，有一點電荷，它與球心的距離為，球的半徑為，求導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為多少？點電荷受到的電場力為多大？【分析與解】先來確定導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷的像電荷電量及位置。如圖所示，感應(yīng)電荷在球上的分布不均勻，靠近點一側(cè)較密，關(guān)于對稱，故大致位置在連線上，距為的點。由于導(dǎo)體球接地，球心處的電勢為零，根據(jù)電勢疊加原理可知，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電量在點引起的電勢與點電荷在點引起的電勢之和為零，即有，根據(jù)唯一性原理可知，等效的像電荷電量即此。像電荷位置，令其在球面上任意點引起的電勢與在同一點的電勢疊加為零，即滿足，將代入，兩邊平方后有，對于任意的角，等式均成立，則，這樣確定了像電荷的位置，于是可求出球表面感應(yīng)電荷對的作用力它等同于像電荷對的庫侖力，是引力。 電荷與電場的相互關(guān)系包括兩個方面：靜電荷產(chǎn)生靜電場及電荷在靜電場中受力。電荷在給定電場中受到力的作用將發(fā)生運動，在經(jīng)典物理范疇內(nèi)，帶電質(zhì)點的運動遵守牛頓運動定律。帶電粒子在靜電場中的運動有著廣泛的科技應(yīng)用背景，如利用電子槍或離子槍加速帶電粒子、示波器和電子顯微鏡中采用靜電場來聚焦粒子束、用電子束或離子束做技術(shù)加工、靜電除塵與靜電噴漆，等等。這里援引第屆的一道試題，介紹帶電粒子在靜電場中運動的一種實際應(yīng)用。【例13】如圖所示，速調(diào)管用于甚高頻信號的放大。速調(diào)管主要由兩個相距為的腔組成，每個腔有一對平行板。初始速度為的一束電子通過板上的小孔橫穿整個系統(tǒng)。要放大的高頻信號以一定的相位差（一個周期對應(yīng)于相位）分別加在兩對電極板上，從而在每個腔中產(chǎn)生交變水平電場。當(dāng)輸入腔中的電場方向向右時，進(jìn)入腔中的電子被減速；反之，電場方向向左時，電子被加速，這樣，從輸入腔中射出的電子經(jīng)過一定的距離后將疊加成短電子束。如果輸出腔位于該短電子束形成處，那么，只要加于其上的電壓相位選擇恰當(dāng)，輸出腔中的電場將從電子束中吸收能量。設(shè)電壓信號為周期、電壓的方波。電子束的初始速度，電子荷質(zhì)比。假定間距很小，電子渡越腔的時間可忽略不計。保留位有效數(shù)字，計算：使電子能疊加成短電子束的距離；由相移器提供的所需的輸出腔與輸入腔之間的相位差?！痉治雠c解】通過輸入腔的電子在電場方向向左時被電場加速，在電場方向向右時被減速，由動能定理得電子離開輸入腔時速度；要形成短電子束，應(yīng)使后半周期通過輸入腔被加速的電子經(jīng)過一段距離在輸出腔“追”上前半周期通過輸入腔被減速的電子，從而疊加成短電子束，故此應(yīng)有。即 為使輸出腔中的電場從短電子束中吸收能量，應(yīng)使電場方向向右，電場力對電子束做負(fù)功。當(dāng)輸入腔電場方向向右時滿足，則，或。1、如圖所示，正點電荷和正點電荷分別放置在、兩點，兩點間相距?，F(xiàn)以為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最小的位置，設(shè)與的夾角為，則_。（用三角函數(shù)表示）2、如圖所示，有“無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為，電荷面密度為，試求其場強(qiáng)，并作圖。3、在一厚度為的無窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為，求在平板層內(nèi)及平板層外的電場強(qiáng)度，并作圖。4、一點電荷位于一立方體中心，立方體邊長為，試問通過立方體一面的電通量是多少？如果點電荷移至立方體的一個角上，這時通過立方體每個面的電通量各是多少？5、如圖所示，電場線從正點電荷出發(fā)，與正點電荷及負(fù)點電荷的連線成角，則該電場線進(jìn)入負(fù)點電荷的角度是多大？6、準(zhǔn)確地畫出兩點電荷及的電場線分布示意圖。7、電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心處的電場強(qiáng)度等于。兩個平面通過同一條直徑，夾角為，從半球中分出一部分球面，如圖所示。試求所分出的這部分球面上（在“小瓣”上）的電荷在處的電場強(qiáng)度。8、半徑為的導(dǎo)電球殼包圍半徑為的金屬球，金屬球原來具有的電勢為，如果讓球殼接地，則金屬球的電勢變?yōu)槎嗌伲?、有兩個異種點電荷，其電量之比為，相互間距離為。試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等勢面的半徑及其中心與電量較小電荷的距離。10、兩個電量為的正點電荷位于一無窮大導(dǎo)體平板的同一側(cè)，且與板的距離均為，兩點電荷之間的距離為。求在兩點電荷聯(lián)線的中點處電場強(qiáng)度的大小與方向。11、半徑分別為和的兩個同心半球相對放置，如圖所示，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為和，試求大的半球面所對應(yīng)底面圓直徑上電勢的分布。12、有一半徑為、帶電量為的均勻帶電球面，試求其上的表面張力系數(shù)，定義為面上單位長度線段兩側(cè)各向?qū)Ψ绞┘拥淖饔昧Α?3、兩個半球合在一起組成一個完整的金屬球，球的半徑為，如圖所示，求這兩個半球間斥力。14、如圖所示，在一開口的原不帶電的導(dǎo)體球殼中心點有一點電荷。球殼內(nèi)、外表面的半徑分別為和。欲將電荷通過小孔緩慢地從移到無窮遠(yuǎn)處，應(yīng)做多少功？15、如圖所示，兩個以為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是、?，F(xiàn)在離為（）的地方放一個點電荷。問兩個球殼上的感應(yīng)電荷的電量各是多少？16、如圖所示，半徑相同的兩個金屬球、相距很遠(yuǎn)，原來不帶電，球先與遠(yuǎn)處