（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)第九章平面解析幾何9.8.2圓錐曲線的最值問題練習(xí)新人教B版.docx

9.8.2 圓錐曲線的最值問題核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一幾何法求最值1.設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn),M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,122.已知點(diǎn)A是拋物線C:y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A到直線x-y+3=0的距離為d1,到直線x=-2的距離為d2,則d1+d2的最小值為()A.+2B.2C.+3D.2+1【解析】1.選C.如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)A,B,由橢圓定義知|PA|+|PB|=2a=10,連接PA,PB分別與圓相交于兩點(diǎn),此時(shí)|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長(zhǎng),分別與圓相交于兩點(diǎn),此時(shí)|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分別為8,12.2.選D.拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,則d2=|AF|+1.故d1+d2=|AF|+d1+1.顯然,當(dāng)點(diǎn)A為點(diǎn)F到直線x-y+3=0的垂線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí),|AF|+d1取到最小值d=2.故d1+d2的最小值為2+1.幾何方法求解圓錐曲線中的最值問題,即通過圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)將最值轉(zhuǎn)化,利用平面幾何中的定理、性質(zhì),結(jié)合圖形的直觀性求解最值問題.常用的結(jié)論有:(1)兩點(diǎn)間線段最短;(2)點(diǎn)到直線的垂線段最短.考點(diǎn)二代數(shù)法求最值問題命題精解讀考什么:(1)考查圓錐曲線中相關(guān)最值問題的求解;(2)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理的核心素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.怎么考:(1)涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;(2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.新趨勢(shì):最值問題與函數(shù)、不等式等其他知識(shí)相結(jié)合學(xué)霸好方法1.代數(shù)法求解最值問題的解題思路首先需要根據(jù)題目的條件和結(jié)論找出明確的函數(shù)關(guān)系,建立起目標(biāo)函數(shù),然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解,最值常用基本不等式法、配方法、函數(shù)單調(diào)性法等求解.2.交匯問題求解函數(shù)最值,要根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征靈活變形,采用相應(yīng)的方法求解利用基本不等式求最值【典例】已知橢圓+=1(ab0),F1,F2為它的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),已知F1PF2=60,=,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓方程.(2)已知T(-4,0),過T的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn),求MNF1面積的最大值.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b利用橢圓的定義和幾何性質(zhì),轉(zhuǎn)化已知,建立方程組求解.(2)求M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)直線方程,直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立坐標(biāo)的關(guān)系式求MNF1的面積利用點(diǎn)F1,把所求三角形的面積用兩個(gè)三角形面積之差表示,從而進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,建立面積模型求面積的最值根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,通過化簡(jiǎn)構(gòu)造基本不等式求解最值【解析】(1)由已知,得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=4c2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,|PF1|PF2|sin 60=,即|PF1|PF2|=4,聯(lián)立解得a2-c2=3.又=,所以c2=1,a2=4,b2=a2-c2=3,橢圓方程為+=1.(2)根據(jù)題意可知直線MN的斜率存在,且不為0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=my-4,代入橢圓方程整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,則=(-24m)2-436(3m2+4)0,所以m24.y1+y2=,y1y2=,則MNF1的面積=|-|=|TF1|y1-y2|=18=6=6=.當(dāng)且僅當(dāng)=,即m2=時(shí)(此時(shí)適合0的條件)取得等號(hào).故MNF1面積的最大值為.利用函數(shù)單調(diào)性求最值【典例】已知橢圓C:+=1(ab0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,A為橢圓C上一點(diǎn),AF1與y軸交于點(diǎn)B,|AB|=|F2B|,|OB|=.(1)求橢圓C的方程.(2)過右焦點(diǎn)F2的直線y=k(x-2)(k0)交橢圓于P、Q兩點(diǎn),若PQ的中點(diǎn)為N,O為原點(diǎn),直線ON交直線x=3于點(diǎn)M.求的最大值.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b利用橢圓的幾何性質(zhì),轉(zhuǎn)化已知,建立方程組求解(2)求N點(diǎn)坐標(biāo)直線和橢圓方程聯(lián)立方程組,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系求N點(diǎn)坐標(biāo)求M點(diǎn)坐標(biāo)求直線ON方程,與直線x=3聯(lián)立,即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)求利用坐標(biāo)分別表示出兩條線段的長(zhǎng)度,構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值根據(jù)目標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征,通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解【解析】(1)連接AF2,由題意得|AB|=|F2B|=|F1B|,所以BO為F1AF2的中位線,又因?yàn)锽OF1F2,所以AF2F1F2,且|AF2|=2|BO|=,又e=,a2=b2+c2,得a2=6,b2=2,故所求橢圓方程為+=1.(2)聯(lián)立 ,可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,所以PQ的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為,|PQ|=,因此直線ON的方程為y=-x,從而點(diǎn)M為,|MF2|=,設(shè)I=,令u=3k2+1,則I=8=-=-,因此當(dāng)u=4,即k=1時(shí)取得最大值.1.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直線x-y-9=0的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng).(1)求橢圓C的方程.(2)若圓P的圓心為P(0,t)(t0),且經(jīng)過F1,F2,Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外,過點(diǎn)Q作圓P的切線,切點(diǎn)為M,當(dāng)|QM|的最大值為時(shí),求t的值.【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為+=1(ab0).依題意可知,2b=4,所以b=2.又c=1,故a2=b2+c2=5,故橢圓C的方程為+=1.(2)由題意,圓P的方程為x2+(y-t)2=t2+1.設(shè)Q(x0,y0),因?yàn)镻MQM,所以|QM|= .若-4t-2, 即t,當(dāng)y0=-2時(shí),|QM|取得最大值,|QM|max=,解得t=-2,即0t|FF|=2,由橢圓的定義知,2a=4,c=1,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E為+=1.(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)(n0),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-n),且3m2+4n2=12,所以直線QA:y=(x-4),即nx-(4-m)y-4n=0,直線PF:y=(x-1),即nx-(m-1)y-n=0.聯(lián)立方程組解得xB=,yB=,則+=+=1,所以點(diǎn)B恒在橢圓E上.設(shè)直線PF:x=ty+1,P(x1,y1),B(x2,y2),則由消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,所以|y1-y2|=,從而SPAB=|FA|y1-y2|=.令=(1),則函數(shù)g()=3+在1,+)上單調(diào)遞增,故g()min=g(1)=4,所以SPAB=,即當(dāng)t=0時(shí),PAB的面積取得最大值,且最大值為.1.(2019菏澤模擬)拋物線E:x2=2py(0p,過P作圓C的兩條切線分別交y軸于M,N兩點(diǎn),求PMN面積的最小值,并求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).【解析】(1)由題意知,F,C(0,1),因?yàn)?p,所以1,設(shè)兩切線斜率為k1,k2,則k1+k2=,k1k2=,所以SPMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|x0|=|k1-k2|,因?yàn)閨k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2=-=,所以|k1-k2|=,則SPMN=, 令2y0-1=t(t0),則y0=,所以SPMN=f(t)=+1,而+12+1=2, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=1時(shí),“=”成立.所以SPMN的最小值為2,此時(shí)P(,1).2.(2020濟(jì)南模擬)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B,O為橢圓中心,=1,斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),這兩點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)若拋物線y2=4x上存在兩個(gè)點(diǎn)M,N,橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)P,Q,滿足M,N,F2三點(diǎn)共線,P,Q,F2三點(diǎn)共線,且PQMN,求四邊形PMQN面積的最小值.【解析】(1)已知橢圓方程為:+=1(ab0),利用數(shù)量積運(yùn)算=1,可得a2-c2=1,直線l的方程為y=x,當(dāng)x=c時(shí),y=c,代入橢圓方程可得+=1,聯(lián)立解得a2=2,c2=1,橢圓方程為+y2=1.(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),直線PQ的斜率為0,得到|MN|=4,|PQ|=2,S四邊形PMQN=4.當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線MN方程為y=k(x-1)(k0),與拋物線y2=4x聯(lián)立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=