概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題參考答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 1 頁頁 共共 101 頁頁 概率論與數(shù)理統(tǒng)計參考答案 附習(xí)題 第一章 隨機(jī)事件及其概率 1 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 1 同時擲兩顆骰子 記錄兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和 2 在單位圓內(nèi)任意一點(diǎn) 記錄它的坐標(biāo) 3 10 件產(chǎn)品中有三件是次品 每次從其中取一件 取后不放回 直到三件 次品都取出為止 記錄抽取的次數(shù) 4 測量一汽車通過給定點(diǎn)的速度 解 所求的樣本空間如下 1 S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 S x y x2 y20 2 設(shè) A B C 為三個事件 用 A B C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件 1 A 發(fā)生 B 和 C 不發(fā)生 2 A 與 B 都發(fā)生 而 C 不發(fā)生 3 A B C 都發(fā)生 4 A B C 都不發(fā)生 5 A B C 不都發(fā)生 6 A B C 至少有一個發(fā)生 7 A B C 不多于一個發(fā)生 8 A B C 至少有兩個發(fā)生 解 所求的事件表示如下 1 2 3 4 5 6 7 8 ABCABCABCABC ABCABC ABBCAC ABBCC A 3 在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名 若事件 A 表示被選學(xué)生是男生 事件 B 表示 該生是三年級學(xué)生 事件 C 表示該學(xué)生是運(yùn)動員 則 1 事件 AB 表示什么 2 在什么條件下 ABC C 成立 3 在什么條件下關(guān)系式是正確的 CB 4 在什么條件下成立 AB 解 所求的事件表示如下 1 事件 AB 表示該生是三年級男生 但不是運(yùn)動員 2 當(dāng)全校運(yùn)動員都是三年級男生時 ABC C 成立 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 2 頁頁 共共 101 頁頁 3 當(dāng)全校運(yùn)動員都是三年級學(xué)生時 關(guān)系式是正確的 CB 4 當(dāng)全校女生都在三年級 并且三年級學(xué)生都是女生時 成立 AB 4 設(shè) P A 0 7 P A B 0 3 試求 P AB 解 由于 A B A AB P A 0 7 所以 P A B P A AB P A P AB 0 3 所以 P AB 0 4 故 1 0 4 0 6 P AB 5 對事件 A B 和 C 已知 P A P B P C P AB P CB 0 P AC 1 4 求 A B C 中至少有一個發(fā)生的概率 1 8 解 由于故 P ABC 0 0 ABCAB P AB 則 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 11115 0 00 44488 6 設(shè)盒中有 只紅球和 b 只白球 現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球 試求下列事件的 概率 A 兩球顏色相同 B 兩球顏色不同 解由題意 基本事件總數(shù)為 有利于 A 的事件數(shù)為 有利于 B 2 a b A 22 ab AA 的事件數(shù)為 111111 2 abbaab A AA AA A 則 2211 22 2 abab a ba b AAA A P AP B AA 7 若 10 件產(chǎn)品中有件正品 3 件次品 1 不放回地每次從中任取一件 共取三次 求取到三件次品的概率 2 每次從中任取一件 有放回地取三次 求取到三次次品的概率 解 1 設(shè) A 取得三件次品 則 33 33 33 1010 16 120720 或者 CA P AP A CA 2 設(shè) B 取到三個次品 則 3 3 327 101000 P A 8 某旅行社 100 名導(dǎo)游中有 43 人會講英語 35 人會講日語 32 人會講日語和 英語 9 人會講法語 英語和日語 且每人至少會講英 日 法三種語言中 的一種 求 1 此人會講英語和日語 但不會講法語的概率 2 此人只會講法語的概率 解 設(shè) A 此人會講英語 B 此人會講日語 C 此人會講法語 根據(jù)題意 可得 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 3 頁頁 共共 101 頁頁 1 32923 100100100 P ABCP ABP ABC 2 P ABCP ABP ABC 01 P ABP AB 1 P AP BP AB 43353254 1 100100100100 9 罐中有 12 顆圍棋子 其中 8 顆白子 4 顆黑子 若從中任取 3 顆 求 1 取到的都是白子的概率 2 取到兩顆白子 一顆黑子的概率 3 取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率 4 取到三顆棋子顏色相同的概率 解 1 設(shè) A 取到的都是白子 則 3 8 3 12 14 0 255 55 C P A C 2 設(shè) B 取到兩顆白子 一顆黑子 21 84 3 12 0 509 C C P B C 3 設(shè) C 取三顆子中至少的一顆黑子 1 0 745 P CP A 4 設(shè) D 取到三顆子顏色相同 33 84 3 12 0 273 CC P D C 10 1 500 人中 至少有一個的生日是 7 月 1 日的概率是多少 1 年按 365 日 計算 2 6 個人中 恰好有個人的生日在同一個月的概率是多少 解 1 設(shè) A 至少有一個人生日在 7 月 1 日 則 500 500 364 1 10 746 365 P AP A 2 設(shè)所求的概率為 P B 412 612 6 11 0 0073 12 CC P B 11 將 C C E E I N S 7 個字母隨意排成一行 試求恰好排成 SCIENCE 的概率 p 解 由于兩個 C 兩個 E 共有種排法 而基本事件總數(shù)為 因此有 22 22 A A 7 7 A 22 22 7 7 0 000794 A A p A 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 4 頁頁 共共 101 頁頁 12 從 5 副不同的手套中任取款 4 只 求這 4 只都不配對的概率 解 要 4 只都不配對 我們先取出 4 雙 再從每一雙中任取一只 共有 中取法 設(shè) A 4 只手套都不配對 則有 44 5 2C 44 5 4 10 280 210 C P A C 13 一實(shí)習(xí)生用一臺機(jī)器接連獨(dú)立地制造三只同種零件 第 i 只零件是不合格 的概率為 i 1 2 3 若以 x 表示零件中合格品的個數(shù) 則 1 1 i p i P x 2 為多少 解 設(shè) Ai 第 i 個零件不合格 i 1 2 3 則 1 1 ii P Ap i 所以 1 1 ii i P Ap i 123123123 2 P xP A A AP A A AP A A A 由于零件制造相互獨(dú)立 有 123123 P A A AP A P A P A 123123 P A A AP A P A P A 123123 P A A AP A P A P A 11112111311 2 23423423424 P x 所以 14 假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為 0 7 這時射擊命中目標(biāo)的概率為 0 6 試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率 p 解 設(shè) A 目標(biāo)出現(xiàn)在射程內(nèi) B 射擊擊中目標(biāo) Bi 第 i 次擊中目標(biāo) i 1 2 則 P A 0 7 P Bi A 0 6 另外 B B1 B2 由全概率公式 12 P BP ABP AB P ABP A P B A P A P BBA 另外 由于兩次射擊是獨(dú)立的 故 P B1B2 A P B1 A P B2 A 0 36 由加法公式 P B1 B2 A P B1 A P B2 A P B1B2 A 0 6 0 6 0 36 0 84 因此 P B P A P B1 B2 A 0 7 0 84 0 588 15 設(shè)某種產(chǎn)品 50 件為一批 如果每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為 0 35 有 1 2 3 4 件次品的概率分別為 0 25 0 2 0 18 0 02 今從某批產(chǎn)品中抽 取 10 件 檢查出一件次品 求該批產(chǎn)品中次品不超過兩件的概率 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 5 頁頁 共共 101 頁頁 解 設(shè) Ai 一批產(chǎn)品中有 i 件次品 i 0 1 2 3 4 B 任取 10 件檢查出一件 次品 C 產(chǎn)品中次品不超兩件 由題意 0 19 149 1 10 50 19 248 2 10 50 19 347 3 10 50 19 446 1 10 50 0 1 5 16 49 39 98 988 2303 P B A C C P B A C C C P B A C C C P B A C C C P B A C 由于 A0 A1 A2 A3 A4構(gòu)成了一個完備的事件組 由全概率公式 4 0 0 196 ii i P BP A P B A 由 Bayes 公式 00 0 11 1 22 2 0 0 255 0 333 P AP B A P AB P B P A P B A P AB P B P AP B A P AB P B 故 2 0 0 588 i i P CP AB 16 由以往記錄的數(shù)據(jù)分析 某船只運(yùn)輸某種物品損壞 2 10 和 90 的概 率分別為 0 8 0 15 0 05 現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件 發(fā)現(xiàn)三件全是好的 試分析這批物品的損壞率是多少 這里設(shè)物品件數(shù)很多 取出一件后不影 響下一件的概率 解 設(shè) B 三件都是好的 A1 損壞 2 A2 損壞 10 A1 損壞 90 則 A1 A2 A3是兩兩互斥 且 A1 A2 A3 P A1 0 8 P A2 0 15 P A2 0 05 因此有 P B A1 0 983 P B A2 0 903 P B A3 0 13 由全概率公式 3 1 333 0 80 980 150 900 050 100 8624 ii i P BP A P B A 由 Bayes 公式 這批貨物的損壞率為 2 10 90 的概率分別為 3 1 3 2 3 3 0 80 98 0 8731 0 8624 0 150 90 0 1268 0 8624 0 050 10 0 0001 0 8624 ii ii ii P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B 由于 P A1 B 遠(yuǎn)大于 P A3 B P A2 B 因此可以認(rèn)為這批貨物的損壞率為 0 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 6 頁頁 共共 101 頁頁 17 驗(yàn)收成箱包裝的玻璃器皿 每箱 24 只裝 統(tǒng)計資料表明 每箱最多有兩 只殘次品 且含 0 1 和 2 件殘次品的箱各占 80 15 和 5 現(xiàn)在隨意 抽取一箱 隨意檢查其中 4 只 若未發(fā)現(xiàn)殘次品 則通過驗(yàn)收 否則要逐 一檢驗(yàn)并更換殘次品 試求 1 一次通過驗(yàn)收的概率 2 通過驗(yàn)收的箱中確定無殘次品的概率 解 設(shè) Hi 箱中實(shí)際有的次品數(shù) A 通過驗(yàn)收 0 1 2 i 則 P H0 0 8 P H1 0 15 P H2 0 05 那么有 0 4 23 1 4 24 4 22 2 4 24 1 5 6 95 138 P A H C P A H C C P A H C 1 由全概率公式 2 0 0 96 ii i P AP HP A H 2 由 Bayes 公式 得 00 0 8 1 0 83 0 96 i P HP A H P HA P A 18 一建筑物內(nèi)裝有 5 臺同類型的空調(diào)設(shè)備 調(diào)查表明 在任一時刻 每臺設(shè) 備被 使用的概率為 0 1 問在同一時刻 1 恰有兩臺設(shè)備被使用的概率是多少 2 至少有三臺設(shè)備被使用的概率是多少 解 設(shè) 5 臺設(shè)備在同一時刻是否工作是相互獨(dú)立的 因此本題可以看作是 5 重 伯努利試驗(yàn) 由題意 有 p 0 1 q 1 p 0 9 故 1 223 155 2 0 1 0 9 0 0729 PPC 2 2555 3 4 5 PPPP 332441550 555 0 1 0 9 0 1 0 9 0 1 0 9 0 00856CCC 19 甲 乙兩個乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球單打比賽 如果每一局甲勝的概率為 0 6 乙勝的概率為 0 4 比賽時可以采用三局二勝制或五局三勝制 問在 哪一種比賽制度下甲獲勝的可能性較大 解 在三局兩勝時 甲隊(duì)獲勝的概率為 33 221330 33 2 3 0 6 0 4 0 6 0 4 0 648 A PPP CC 在五局三勝的情況下 甲隊(duì)獲勝的概率為 555 332441550 555 3 4 5 0 6 0 4 0 6 0 4 0 6 0 4 0 682 B PPPP CCC 因此 采用五局三勝制的情況下 甲獲勝的可能性較大 20 4 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 求在一次試驗(yàn)中 65 81 A 出現(xiàn)的概率 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 7 頁頁 共共 101 頁頁 解 設(shè)在一次獨(dú)立試驗(yàn)中 A 出現(xiàn)一次的概率為 p 則由題意 0044 44 65 0 1 1 81 PC p qp 解得 p 1 3 21 87 2 分 三個箱子 第一個箱子中有 4 只黑球 1 只白球 第二個箱子中 有 3 只黑球 3 只白球 第三個箱子有 3 只黑球 5 只白球 現(xiàn)隨機(jī)地取一個箱子 再從這個箱子中取出一個球 這個球?yàn)榘浊虻母怕实扔?已知取出的球 是白球 此球?qū)儆诘诙€箱子的概率為 解 設(shè) 取出白球 球取自第 個箱子 是 B i Ai 3 2 1 i 321 AAA 一個完全事件組 3 2 1 3 1 iAP i 5 1 1 ABP2 1 2 ABP 應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式8 5 3 ABP 120 53 8 5 2 1 5 1 3 1 3 1 i ii ABPAPBP 53 20 22 2 BP ABPAP BAP 22 89 2 分 已知隨機(jī)事件的概率 隨機(jī)事件 B 的概率A5 0 AP 及條件概率 則和事件的概率 6 0 BP8 0 ABPBA BAP 解 7 0 ABPAPBPAPABPBPAPBAP 23 90 2 分 設(shè)隨機(jī)事件 及其和事件的概率分別是 ABBA 4 0 和 若表示的對立事件 那么積事件的概率 3 06 0BBBA BAP 解 與互不相容 且 于是BAB BBABA 3 0 BPBAPBAP 24 92 3 分 已知 4 1 CPBPAP0 ABP 則事件 全不發(fā)生的概率為 16 1 BCPACPABC 解 從可知 0 ABP0 ABCP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 8 頁頁 共共 101 頁頁 ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 8 5 0 16 1 16 1 0 4 1 4 1 4 1 25 93 3 分 一批產(chǎn)品共有 10 件正品和兩件次品 任意抽取兩次 每次抽 一件 抽出后不再放回 則第二次抽出的是次品的概率為 解 設(shè)事件 第 次抽出次品 則 i Bi 2 1 i 12 2 1 BP 12 10 1 BP 應(yīng)用全概率公式 11 2 11 1 1212 BBPBBP 1211212 BBPBPBBPBPBP 6 1 11 2 12 10 11 1 12 2 26 94 3 分 已知 兩個事件滿足條件 且 AB BAPABP pAP 則 BP 解 因 故有 1 ABPBPAPBAPBAP BAPABP 1 1 1 pAPBPBPAP 27 06 4 分 設(shè) 為隨機(jī)事件 且 則必有 AB0 BP1 BAP A APBAP B BPBAP C APBAP D BPBAP 解 選 C 28 05 4 分 從數(shù) 1 2 3 4 中任取一個數(shù) 記為 再從 1 2 X 中任取一個數(shù) 記為 則 XY 2 YP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 9 頁頁 共共 101 頁頁 解 填 48 13 29 96 3 分 設(shè)工廠和工廠的產(chǎn)品的次品率分別為和 現(xiàn)從由AB 1 2 和的產(chǎn)品分別占和的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件 發(fā)現(xiàn)是次品 AB 60 40 則該產(chǎn)品屬生產(chǎn)的概率是 A 解 設(shè)事件 抽取的產(chǎn)品是次品 事件 抽取的產(chǎn)品是 A 生產(chǎn)的 C D 則表示 抽取的產(chǎn)品是工廠生產(chǎn)的 依題意有DB 02 0 01 0 40 0 60 0 DCPDCPDPDP 應(yīng)用貝葉斯可以求得條件概率 7 3 02 0 4 001 0 6 0 01 0 6 0 DCPDPDCPDP DCPDP CDP 30 97 3 分 袋中有 50 只乒乓球 其中 20 只是黃球 30 只是白球 今有兩 人依次隨機(jī)地從袋中各取一球 取后不放回 則第二個人取得黃球的概率是 解 設(shè)事件 第 個人取得黃球 根據(jù)題設(shè)條件可知 i Ai2 1 i 49 20 49 19 50 30 50 20 121211 AAPAAPAPAP 應(yīng)用全概率公式 5 2 49 20 50 30 49 19 50 20 1211212 AAPAPAAPAPAP 31 87 2 分 設(shè)在一次試驗(yàn)中 事件發(fā)生的概率為 現(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試Apn 驗(yàn) 則至少發(fā)生一次的概率為 而事件至多發(fā)生一次的概率為 AA 解 由于每次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的概率都是 并且次試驗(yàn)相互獨(dú)立 這是pn 重伯努利試驗(yàn)概型 若 次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生次 則n i Bnk 2 1 0 1 nkqpCBP knkk nk 事件 A 至少發(fā)生一次的概率為 1 1 1 0 n pBP 事件 A 至多發(fā)生一次的概率為 1 1 1 10 nn pnppBPBP 32 88 2 分 設(shè)三次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中 事件出現(xiàn)的概率相等 若已知至少出AA 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 10 頁頁 共共 101 頁頁 現(xiàn)一次的概率等于 則事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 27 19 A 解 設(shè)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 這是一個 3 重伯努利試驗(yàn)概型 Ap 因此在三次獨(dú)立試驗(yàn)中 事件至少出現(xiàn)一次的概率為 依題意 A 1 1 3 p 有 27 19 1 1 3 p 解之得 3 1 p 33 89 2 分 甲 乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次 其命中率分別為 0 6 和 0 5 現(xiàn)已知目標(biāo)被命中 則它是甲射中的概率為 解 設(shè)事件 甲射中 乙射中 依題意 A B 與相互獨(dú)立 因此ABPAP 5 0 6 0 B 3 0 BPAPABP 8 0 ABPBPAPBAP 75 0 BAP AP BAP BAAP BAAP 34 98 3 分 設(shè) 是兩個隨機(jī)事件 且 AB1 0 AP0 BP 則必有 ABPABP A BAPBAP B BAPBAP C BPAPABP D BPAPABP 解 應(yīng)用條件概率定義 從可得 ABPABP AP BAP AP ABP 即 1 ABPBPAPABPAP 化簡得 應(yīng)選 C BPAPABP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 11 頁頁 共共 101 頁頁 35 99 3 分 設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件 和滿足條件 ABC ABC 且已知 則 2 1 CPBPAP 16 9 CBAP AP 解 由于 兩兩獨(dú)立 且 所以ABC CPBPAP 2 2 2 APCPBPBCP APCPAPACP APBPAPABP ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 3 3 3APAP 依題意 有 16 9 3 3 2 APAP0 16 3 2 APAP 解之 得 舍去 4 3 4 1 APAP 36 00 3 分 設(shè)兩個相互獨(dú)立的事件和都不發(fā)生的概率為 發(fā)生AB 9 1 A 不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等 則 BBA AP 解 依題意 故 即 BAPBAP BAPABPBAPABP BPAP 又因與獨(dú)立 故與獨(dú)立 ABAB 9 1 2 APBPAPBAP 解得 3 2 3 1 APAP 37 07 4 分 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊 每次射擊命中目標(biāo)的概率為 p 則此人第 4 次射擊恰好第二次命中目標(biāo)的概率為 10 p A 2 1 3pp B 2 1 6pp C 22 1 3pp D 22 1 6pp 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 12 頁頁 共共 101 頁頁 解 選 C 38 88 2 分 在區(qū)間中隨機(jī)取兩個數(shù) 則事件 兩數(shù)之和小于 的 1 0 5 6 概率為 解 這是一個幾何概型的計算問題 設(shè)分別表示在區(qū)間中隨機(jī)地取yx 1 0 兩個數(shù) 則試驗(yàn)的樣本空間為第一象限中的單位正方形區(qū)域 即 設(shè)事件 兩個數(shù)之和小于 則 10 10 yxyx A 5 6 由于點(diǎn)落在內(nèi)的任何區(qū)域的概率 10 1 0 5 6 yxyxyxA 與區(qū)域的面積成正比 故 25 17 5 4 2 1 1 2 S S AP A 其中與分別表示集合與集合的面積 A S SA 39 91 3 分 隨機(jī)地向半圓 為正常數(shù) 內(nèi)擲一點(diǎn) 點(diǎn) 2 20 xaxy a 落在半圓內(nèi)的任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比 則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與 軸的夾角小于的概率為 x 4 解 設(shè)事件 擲的點(diǎn)和原點(diǎn)連線與軸夾角小于 這是一個幾何概型 Ax 4 的計算問題 由幾何概率公式 S S AP D 其中 2 1 4 1 2 1 222 4 1 aSaaSSS circleABCD 故 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 22 a aa AP 40 07 4 分 在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個數(shù) 則這兩個數(shù)之差的絕對值小 1 0 于的概率為 2 1 解 參考 38 題解得這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為 2 1 4 3 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第一章第一章 第第 13 頁頁 共共 101 頁頁 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 14 頁頁 共共 101 頁頁 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 1 有 10 件產(chǎn)品 其中正品 8 件 次品兩件 現(xiàn)從中任取兩件 求取得次品數(shù) X 的分 律 解 X 的分布率如下表所示 X012 p28 4 5 16 4 5 1 4 5 2 進(jìn)行某種試驗(yàn) 設(shè)試驗(yàn)成功的概率為 失敗的概率為 以 X 表示試驗(yàn)首次成 3 4 1 4 功所需試驗(yàn)的次數(shù) 試寫出 X 的分布律 并計算 X 取偶數(shù)的概率 解 X 的分布律為 1 13 1 2 3 44 k P Xkk X 取偶數(shù)的概率 21 13 2 44 1 11 16 33 1 165 1 16 k k P XP Xk k 1k 1 k 1 為偶數(shù) 3 從 5 個數(shù) 1 2 3 4 5 中任取三個為數(shù) 求 123 x x x X max 的分布律及 P X 4 123 x x x Y min 的分布律及 P Y 3 123 x x x 解 基本事件總數(shù)為 3 5 10C 1 X 的分布律為 P X 4 P 3 P 4 0 4 2 Y 的分布律為 P X 3 0 4 C 應(yīng)取何值 函數(shù) f k k 1 2 0 成為分布律 k C k X345 p0 1 0 3 0 6 Y123 p0 6 0 3 0 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 15 頁頁 共共 101 頁頁 解 由題意 即 1 1 k f x 0 110 1 1 0 kkk kkk CCCC e kkk 解得 1 1 C e 5 已知 X 的分布律 X 112 P 1 6 2 6 3 6 求 1 X 的分布函數(shù) 2 3 1 2 P X 3 1 2 PX 解 1 X 的分布函數(shù)為 k k xx F xP Xxp 0 1 1 6 11 1 2 12 1 2 x x F x x x 2 11 1 26 P XP X 3 3 1 0 2 PXP 6 設(shè)某運(yùn)動員投籃投中的概率為 P 0 6 求一次投籃時投中次數(shù) X 的分布函數(shù) 并 作出其圖形 解 X 的分布函數(shù) 00 0 601 11 x F xx x 7 對同一目標(biāo)作三次獨(dú)立射擊 設(shè)每次射擊命中的概率為 p 求 1 三次射擊中恰好命中兩次的概率 2 目標(biāo)被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀 目標(biāo)被擊毀的概率是多少 解 設(shè) A 三次射擊中恰好命中兩次 B 目標(biāo)被擊毀 則 1 P A 223 22 33 2 1 3 1 PC pppp 2 P B 223 2333 323 3333 2 3 1 1 32PPC ppC pppp F x 0 x 1 0 6 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 16 頁頁 共共 101 頁頁 8 一電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為 4 的泊松分布 求 1 每分鐘恰有 6 次呼喚的概率 2 每分鐘的呼喚次數(shù)不超過 10 次的概率 解 1 P X 6 或者 6 4 4 0 104 6 k ee k P X 6 0 21487 0 11067 0 1042 k e k 44 67 44 kk kk ee kk 2 P X 10 0 99716 10 44 011 44 11 0 00284 kk kk ee kk 9 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從泊松分布 且 P X 1 P X 2 求 P X 4 解 由已知可得 12 1 2 ee 解得 2 0 不合題意 0 09 4 2 2 4 4 P Xe 因此 10 商店訂購 1000 瓶鮮橙汁 在運(yùn)輸途中瓶子被打碎的概率為 0 003 求商店收到的玻 璃瓶 1 恰有兩只 2 小于兩只 3 多于兩只 4 至少有一只的概率 解 設(shè) X 1000 瓶鮮橙汁中由于運(yùn)輸而被打破的瓶子數(shù) 則 X 服從參數(shù)為 n 1000 p 0 003 的二項(xiàng)分布 即 X B 1000 0 003 由于 n 比較大 p 比較小 np 3 因此可以 用泊松分布來近似 即 X 3 因此 1 P X 2 2 3 3 0 224 2 e 2 3 2 3 2 1 2 11 0 80080 1992 k k P XP Xe k 3 3 3 3 2 2 0 5768 k k P XP Xe k 4 3 1 3 1 0 9502 k k P Xe k 11 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 2 0 0 01 1 1 x F xkxx x 求 1 系數(shù) k 2 P 0 25 X 0 75 3 X 的密度函數(shù) 4 四次獨(dú)立試 驗(yàn)中有三次恰好在區(qū)間 0 25 0 75 內(nèi)取值的概率 解 1 由于當(dāng) 0 x 1 時 有 F x P X x P X 0 P 0 X x kx2 又 F 1 1 所以 k 12 1 因此 k 1 2 P 0 25 X 0 75 F 0 75 F 0 25 0 752 0 252 0 5 3 X 的密度函數(shù)為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 17 頁頁 共共 101 頁頁 2 01 0 xx f xF x Other 4 由 2 知 P 0 25 X80 100 P Z 0 8 1 2 0 812 1 0 0272xx dx 如果供電量只有 80 萬千瓦 供電量不夠用的概率為 P Z 90 100 P Z 0 9 1 2 0 912 1 0 0037xx dx 14 某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號電子元件 其壽命 單位 小時 都服從同一指數(shù) 分布 分布密度為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 18 頁頁 共共 101 頁頁 600 1 0 600 0 x ex F x x 0 試求在儀器使用的最初 200 小時以內(nèi) 至少有一只電子元件損壞的概率 解 設(shè) X 表示該型號電子元件的壽命 則 X 服從指數(shù)分布 設(shè) A X 200 則 P A 1 200 6003 0 1 1 600 x edxe 設(shè) Y 三只電子元件在 200 小時內(nèi)損壞的數(shù)量 則所求的概率為 1 003 03 3 3 1 1 1 0 1 1 1 1P YP YC P AP Ae e 15 設(shè) X 為正態(tài)隨機(jī)變量 且 X N 2 又 P 2 X 4 0 3 求 P X 0 2 解 由題意知 222422 24 00 3 X PXP 即 2 0 30 50 8 故 20222 0 10 2 X P XP 16 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N 10 4 求 a 使 P X 10 0 時 222 222 112 22 yyy YXX fyfyyfyyeee 當(dāng) y 0 時 0 Y fy 2 X 4046 p1 7 1 7 3 7 2 7 X 2 049 p1 7 4 7 2 7 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 20 頁頁 共共 101 頁頁 因此有 2 2 2 0 0 0 y Y ey fy y 22 若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 2 3 01 0 xx f x 其他 求 Y 的分布函數(shù)和密度函數(shù) 1 x 解 y 在 0 1 上嚴(yán)格單調(diào) 且反函數(shù)為 h y y 1 h y 1 x 1 y 2 1 y 2224 11113 3 YXX fyfh yh yf yyyyy 因此有 4 3 1 0 Y y yfy other Y 的分布函數(shù)為 433 1 31 1 1 0 y Y y y dyyyy Fy other 23 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 2 2 0 1 0 0 x xf x x 試求 Y lnX 的密度函數(shù) 解 由于嚴(yán)格單調(diào) 其反函數(shù)為 則lnyx yy h yeh ye 且 2 2 1 2 yy YXX y y yy fyfh yh yfee e e y ee 24 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 N 分布 求 Y 的分布密度 2 x e 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 21 頁頁 共共 101 頁頁 解 由于嚴(yán)格單調(diào) 其反函數(shù)為y 0 則 x ye 1 ln h yyh y 且 y 2 2 1 ln 2 1 ln 1 0 2 YXX y fyfh yh yfy y ey y 當(dāng)時 0 Y fy 0y 因此 2 2 1 ln 2 1 0 2 0 0 y Y ey fy y y 25 假設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2 的指數(shù)分布 證明 Y 在區(qū)間 0 1 上服從 2 1 x e 均勻分布 解 由于在 0 上單調(diào)增函數(shù) 其反函數(shù)為 2 1 x ye 1 ln 1 01 2 h yyy 并且 則當(dāng) 1 2 1 h y y 01y 1 2 ln 1 2 11 ln 1 22 1 1 21 2 1 YX X y fyfh yh y fy y e y 當(dāng) y 0 或 y 1 時 0 Y fy 因此 Y 在區(qū)間 0 1 上服從均勻分布 26 把一枚硬幣連擲三次 以 X 表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù) Y 表示三次中出現(xiàn)正 面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對值 試求 X Y 的聯(lián)合概率分布 解 根據(jù)題意可知 X Y 可能出現(xiàn)的情況有 3 次正面 2 次正面 1 次反面 1 次正 面 2 次反面 3 次反面 對應(yīng)的 X Y 的取值及概率分別為 P X 3 Y 3 P X 2 Y 1 1 8 2 2 3 113 228 C P X 1 Y 1 P X 0 Y 3 3 1 1 3 113 228 C 3 11 28 于是 X Y 的聯(lián)合分布表如下 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 22 頁頁 共共 101 頁頁 X Y 0123 103 83 80 31 8001 8 27 在 10 件產(chǎn)品中有 2 件一級品 7 件二級品和 1 件次品 從 10 件產(chǎn)品中無放回抽取 3 件 用 X 表示其中一級品件數(shù) Y 表示其中二級品件數(shù) 求 1 X 與 Y 的聯(lián)合概率分布 2 X Y 的邊緣概率分布 3 X 與 Y 相互獨(dú)立嗎 解 根據(jù)題意 X 只能取 0 1 2 Y 可取的值有 0 1 2 3 由古典概型公式得 1 其中 271 3 10 ijk ij C C C pP Xi Yj C 3 0 1 2 ijki 0 1 2 3j 可以計算出聯(lián)合分布表如下 0 1k Y X 0123 i p 000 21 12 0 35 12 0 56 12 0 10 14 12 0 42 12 0 0 56 12 0 2 1 12 0 7 12000 8 120 j p 1 12 0 21 12 0 63 12 0 35 12 0 2 X Y 的邊緣分布如上表 3 由于 P X 0 Y 0 0 而 P X 0 P Y 0 0 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 因 此 X Y 不相互獨(dú)立 28 袋中有 9 張紙牌 其中兩張 2 三張 3 四張 4 任取一張 不放回 再任 取一張 前后所取紙牌上的數(shù)分別為 X 和 Y 求二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律 以及概率 P X Y 6 解 1 X Y 可取的值都為 2 3 4 則 X Y 的聯(lián)合概率分布為 Y X 234 i p 2 22 29 1 36AA 112 239 1 12A AA 112 249 1 9A AA 2 9 3 112 329 1 12A AA 22 39 1 12AA 112 349 1 6C CA 1 3 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 23 頁頁 共共 101 頁頁 4 112 429 1 9A AA 112 439 1 6A AA 22 49 1 6AA 4 9 j p 2 9 1 34 9 2 P X Y 6 P X 3 Y 4 P X 4 Y 3 P X 4 Y 4 1 6 1 6 1 6 1 2 29 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 arctanarctan 23 xy F x yA BC 求 1 系數(shù) A B 及 C 2 X Y 的聯(lián)合概率密度 3 X Y 的邊緣分 布函數(shù)及邊緣概率密度 4 隨機(jī)變量 X 與 Y 是否獨(dú)立 解 1 由 X Y 的性質(zhì) F x 0 F y 0 F 0 F 1 可以得到如下方程組 arctan0 22 arctan0 23 0 22 1 22 x A BC y A BC A BC A BC 解得 2 1 22 ABC 2 2 222 6 4 9 F x y f x y x yxy 3 X 與 Y 的邊緣分布函數(shù)為 2 11 arctanarctan 222222 X xx FxF x 2 11 arctanarctan 222322 Y yy FyFy X 與 Y 的邊緣概率密度為 2 2 4 XX fxFx x 2 3 9 YY fyFy y 4 由 2 3 可知 所以 X Y 相互獨(dú)立 XY f x yfx fy 30 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合概率密度為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 24 頁頁 共共 101 頁頁 x y e 0 0 x f x y 其他 1 求分布函數(shù) F x y 2 求 X Y 落在由 x 0 y 0 x y 1 所圍成的三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率 解 1 當(dāng) x 0 y 0 時 00 1 1 yx u vxy F x yedudvee 否則 F x y 0 2 由題意 所求的概率為 11 1 00 120 2642 G x x y P x yGf x y dxdy dxedye 31 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合概率密度為 3x 4y Ae 0 0 0 xy f x y 其他 求 1 常數(shù) A 2 X Y 的邊緣概率密度 3 01 02 PXY 解 1 由聯(lián)合概率密度的性質(zhì) 可得 34 00 1 12 xy f x y dxdyAedxdyA 解得 A 12 2 X Y 的邊緣概率密度分別為 34 3 0 123 0 0 xyx X edyex fxf x y dy other 34 4 0 124 0 0 xyy Y edxey fyf x y dx other 3 01 02 Pxy 21 34 00 38 12 1 1 xy edxdy ee 32 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合概率密度為 2 01 02 3 0 xy xxy f x y 其他 求 P X Y 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 25 頁頁 共共 101 頁頁 解 由題意 所求的概率就是 X Y 落入由直線 x 0 x 1 y 0 y 2 x y 1 圍的區(qū)域 G 中 則 12 2 01 23 1 0 3 4565 32672 G x P x yGf x y dxdy xy dxxdy xxx dx 33 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 在圖 2 20 所示的區(qū)域 G 上服從均勻分布 試求 X Y 的聯(lián)合 概率密度及邊緣概率密度 解 由于 X Y 服從均勻分布 則 G 的面積 A 為 2 11 2 00 1 6 x x G Af x y dxdydxdyxxdx X Y 的聯(lián)合概率密度為 6 01 0 x f x y other X Y 的邊緣概率密度為 2 2 66 01 0 x x X dyxxx fxf x y dy other 66 01 0 y y Y dyyyy fyf x y dx other 34 設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 在 0 0 2 上服從均勻分布 Y 的概率密 度是 5 5 0 0 0 y y ey fy y 求 1 X 和 Y 和聯(lián)合概率密度 2 P Y X 解 由于 X 在 0 0 2 上服從均勻分布 所以 1 0 25 X fx 1 由于 X Y 相互獨(dú)立 因此 X Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為 5 25 0 00 2 0 y XY eyx f x yfx fy other 2 由題意 所求的概率是由直線 x 0 x 0 2 y 0 y x 所圍的區(qū)域 y x 0 0 2 x y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 26 頁頁 共共 101 頁頁 如右圖所示 因此 0 2 5 00 0 2 511 0 25 5111 x y G x P YXf x y dxdydxedy edxee 35 設(shè) X Y 的聯(lián)合概率密度為 1 01 02 2 0 xy f x y 其他 求 X 與 Y 中至少有一個小于的概率 1 2 解 所求的概率為 0 50 5 12 0 50 5 11 22 11 1 22 1 15 1 28 PXY P XY f x y dxdy dxdy 36 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立 且 X 113 Y 31 P P 1 2 1 5 3 10 1 4 3 4 求二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律 解 由獨(dú)立性 計算如下表 X Y 113 j p 31 81 203 40 1 4 13 83 209 40 3 4 i p 1 21 56 20 37 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律為 X123 Y 1 1 6 1 9 1 18 2 abc 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 27 頁頁 共共 101 頁頁 1 求常數(shù) a b c 應(yīng)滿足的條件 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立 求常數(shù) a b c 解 由聯(lián)合分布律的性質(zhì) 有 即 a b c 111 1 6918 abc 12 1 33 又 X Y 相互獨(dú)立 可得 1 11 6 9 18 a b c 從而可以得到 121 399 abc 38 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 2 2 23 2 0 1 1 0 01 1 0 x xy x x y F x yxy x 其他 求邊緣分布函數(shù)與 并判斷隨機(jī)變量 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 x F x y Fy 解 由題意 邊緣分布函數(shù) 22 22 lim 0 11 0 0 y X xx x FxF x xx x 下面計算 FY y 23 3 2 2 2 0 0 lim 01 1 lim1 1 1 Y x x y x y FyFyyy x x y x 可以看出 F x y Fx x FY y 因此 X Y 相互獨(dú)立 39 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 1 3 2 1 1 0 y exy f x yx 其他 求邊緣概率密度與 并判斷隨機(jī)變量 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 X fx Y fy 解 先計算 當(dāng) x 1 時 X fx 0 X fx 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 28 頁頁 共共 101 頁頁 當(dāng) x 1 時 11 333 1 222 1 yy X fxedye xxx 再計算 當(dāng) y 1 時 Y fy 0 Y fy 當(dāng) y 1 時 111 32 1 21 1 yyy Y fyedxee xx 可見 所以隨機(jī)變量 X Y 相互獨(dú)立 XY f x yfx fy 40 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 0 xyx y f x y 其他 求邊緣概率密度與 并判斷隨機(jī)變量 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 X fx Y fy 解 先計算 當(dāng) x1 時 X fx 0 X fx 當(dāng) 1 x 0 時 1 2 1 2 0 1 1 02 X fxxydyxyyx 再計算 當(dāng) y1 時 Y fy 0 Y fy 當(dāng) 1 y 0 時 1 2 0 1 11 022 Y fyxydxxyxy 由于 所以隨機(jī)變量 X Y 不獨(dú)立 11 22 XY f x yxyfx fyxy 41 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 2 2 00 0 xy exy f x y 其他 求隨機(jī)變量 Z X 2Y 的分布密度 解 先求 Z 的分布函數(shù) F z 2 2 D XYz F zP ZzP XYzf x y dxdy 當(dāng) z0 y 0 x 2y z 求得 2 2 2 0 2 z zy xy F zdyedx 2 24 1 2 2 z yy zz eedye 當(dāng) z 0 時 積分區(qū)域?yàn)?D x y x 0 y 0 x 2y z 2 2 00 2 zy xy F zdyedx 0 z x y z x y x y y x 2y z x 2y z z x y x y 0 z x y D y y D y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案 僅供參考 習(xí)題參考答案 僅供參考 第二章第二章 第第 29 頁頁 共共 101 頁頁 24 0 1 21 2 yy zz eedye 由此 隨機(jī)變量 Z 的分布函數(shù)為 1 1 0 2 1 0 2 z z ez F z ez 因此 得 Z 的密度函數(shù)為 1 0 2 1 0 2 z z ez f z ez 42 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y