證明余弦定理范文

證明余弦定理范文 怎么證明余弦定理 證明余弦定理： 因為過c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)2+(bsina)2=a2。 又因為b2-(bcosa)2=(bsina)2，所以(c-x)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+(bcosa)2+b2-(bcosa)2=a2， 所以c2-2cbcosa+b2=a2， 所以c2+b2-a2=2cbcosa， 所以cosa=(c2+b2-a2)/2bc 同理cosb=(a2+c2-b2)/2ac，cosc=(a2+b2-c2)/2ab 2 在任意abc中,作adbc. c對邊為c，b對邊為b，a對邊為a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點坐標(biāo)是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點坐標(biāo)是(acos(-c)，asin(-c)即d點坐標(biāo)是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可證b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表達(dá)式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表達(dá)式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 證畢。 用復(fù)數(shù)證明余弦定理 法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形ab，則bac=-b， c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb). 根據(jù)向量的運算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如圖5， ,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、( 推薦)作數(shù)量積，可知 ， 即 將(1)式改寫為 化簡得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4) 這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理. 2 在abc中，ab=c、bc=a、ca=b 則c2=a2+b2-2ab*cosc a2=b2+c2-2bc*cosa b2=a2+c2-2ac*cosb 下面在銳角中證明第一個等式，在鈍角中證明以此類推。 過a作adbc于d，則bd+cd=a 由勾股定理得： c2=(ad)2+(bd)2，(ad)2=b2-(cd)2 所以c2=(ad)2-(cd)2+b2 =(a-cd)2-(cd)2+b2 =a2-2a*cd+(cd)2-(cd)2+b2 =a2+b2-2a*cd 因為cosc=cd/b 所以cd=b*cosc 所以c2=a2+b2-2ab*cosc 題目中2表示平方。 2 談?wù)⒂嘞叶ɡ淼亩喾N證法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材數(shù)學(xué)(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合. 定理：在abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則 (1)(正弦定理)=; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcosc, b2=a2+c2-2aosb, a2=b2+c2-2bosa. 一、正弦定理的證明 證法一：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是abc的三條高。則有 ad=b?sinbca， be=c?sincab， cf=a?sinabc。 所以sabc=a?b?csinbca =b?c?sincab =c?a?sinabc. 證法二：如圖1，設(shè)ad、be、cf分別是abc的3條高。則有 ad=b?sinbca=c?sinabc， be=a?sinbca=c?sincab。 證法三：如圖2，設(shè)cd=2r是abc的外接圓 的直徑，則dac=90，abc=adc。 證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量ac垂直。 因為ab=ac+cb， 所以j?ab=j?(ac+cb)=j?ac+j?cb. 因為j?ac=0， j?cb=|j|cb|cos(90-c)=a?sinc， j?ab=|j|ab|cos(90-a)=c?sina. 二、余弦定理的證明 法一：在abc中，已知，求c。 過a作， 在rt中， 法二： ，即： 法三： 先證明如下等式： 證明： 故式成立，再由正弦定理變形，得 結(jié)合、有 即. 同理可證 . 三、正余弦定理的統(tǒng)一證明 法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc為鄰邊作平行四邊形ab，則bac=-b， c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb). 根據(jù)向量的運算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. =. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又|=a, a2=b2+c2-2bosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如圖5， ,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知 ， 即 將(1)式改寫為 化簡得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4) 這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理. 敘述并證明余弦定理 余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。 直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的余弦值 本段余弦定理性質(zhì) 對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c三角為a，b，c，則滿足性質(zhì) a2=b2+c2-2bccosa b2=a2+c2-2accosb c2=a2+b2-2abcosc cosc=(a2+b2-c2)/(2ab) cosb=(a2+c2-b2)/(2ac) cosa=(c2+b2-a2)/(2bc) (物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到) 第一余弦定理(任意三角形射影定理) 設(shè)abc的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是a、b、c，則有 a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc，c=acosb+bcosa。 本段余弦定理證明 平面向量證法 如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)cc=(a+b)(a+b) c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|cos(-) (以上粗體字符表示向量) 又cos(-)=-cos c2=a2+b2-2|a|b|cos(注意：這里用到了三角函數(shù)公式) 再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc 即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可證其他，而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosc移到左邊表示一下。 平面幾何證法 在任意abc中 做adbc. c所對的邊為c，b所對的邊為b，a所對的邊為a 則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 根據(jù)勾股定理可得： ac2=ad2+dc2 b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2 b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2 b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2 b2=c2+a2-2ac*cosb cosb=(c2+a2-b2)/2ac 本段作用 (1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角 (2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。 (3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。) 判定定理一(兩根判別法)： 若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號前取加號的值，c2為c的表達(dá)式中根號前取 減號的值 若m(c1,c2)=2,則有兩解 若m(c1,c2)=1,則有一解 若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。 注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。 判定定理二(角邊判別法): 一當(dāng)absina時 當(dāng)ba且cosa0(即a為銳角)時，則有兩解 當(dāng)ba且cosa0(即a為銳角)時，則有一解 當(dāng)b=a且cosa0(即a為銳角)時,則有一解 當(dāng)cosa bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右圖，在abc中，三內(nèi)角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a為原點，ac所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是c點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得b點坐標(biāo)是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).現(xiàn)將cb平移到起點為原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根據(jù)三角函數(shù)的定義知d點坐標(biāo)是(acos(-c)，asin(-c)即d點坐標(biāo)是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可證b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3abc的三邊分別為a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明: mb=(1/2) mc=(1/2)