2018年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

1 2018 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 浙江卷 選擇題部分 共 40 分 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 10 小題小題 每小題 每小題 4 分分 共 共 40 分分 在在每小題給出每小題給出的的四個(gè)四個(gè)選項(xiàng)中 選項(xiàng)中 只只 有有一項(xiàng)是符合題一項(xiàng)是符合題目目要求的要求的 1 已知全集 1 2 3 4 5U 1 3A 則 U C A A B 1 3 C 2 4 5 D 1 2 3 4 5 答案 C 解析 全集 1 2 3 4 5U 1 3A A的補(bǔ)集 2 4 5 U C A 正確答案為C 2 雙曲線 2 2 1 3 x y 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 A 2 0 2 0 B 2 0 2 0 C 0 2 0 2 D 0 2 0 2 答案 B 解析 雙曲線 2 2 1 3 x y 其中 2 3a 2 1b 222 3 14cab 雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2 0 和 2 0 正確答案是B 2 3 某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體的體積 單位 3 cm 是 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 由三視圖可知 原圖如下 VSh 底 注意有文字 12 2 2 2 6 正確答案為C 4 復(fù)數(shù) 2 1i i為虛數(shù)單位 的共軛復(fù)數(shù)是 A 1i B 1i C 1i D 1 i 答案 B 解析 2 22 1 2 1 1 1 1 1 1 ii i iiii 其共軛復(fù)數(shù)為1i 正確答案為B 3 5 函數(shù)2 sin2 x yx 的圖象可能是 A B C D 答案 D 解析 函數(shù)2 sin2 x yx 是奇函數(shù) 其函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 排除A B選項(xiàng) 又 當(dāng) 0 x 時(shí) 函數(shù)有零點(diǎn) 2 x 正確答案為D 6 已知平面 直線m n滿足m n 則 mn 是 m 的 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 答案 A 解析 m n mn 可以推出m mn 是 m 的充分條件 又 m n m 不能推出mn mn 不是 m 的必要條件 綜上 mn 是 m 的充分不必要條件 正確答案是A 4 7 設(shè)01p 隨機(jī)變量 的分布列 0 1 2 P 1 2 p 1 2 2 p 則當(dāng)p在 0 1 內(nèi)增大時(shí) A D 減小 B D 增大 C D 先減小后增大 D D 先增大后減小 答案 D 解析 111 012 2222 pp Ep 222 11111 012 222222 pp Dppp 2 1 4 pp 2 11 22 p p在 0 1 上增大時(shí) D 先增大后減小 正確答案為D 8 已知四棱錐SABCD 的底面是正方形 側(cè)棱長(zhǎng)均相等 E是線段AB上的點(diǎn) 不含端 點(diǎn) 設(shè)SE與BC所成的角為 1 SE與平面ABCD所成的角為 2 二面角SABC 的平 面角為 3 則 A 123 B 321 C 132 D 231 答案 D 解析 線線角大于或等于線面角 二面角大于或等于線面角 12 32 正確答案是D 9 已知a b e是平面向量 e是單位向量 若非零向量a與e的夾角為 3 向量b滿 足 2 430 be b 則 ab的最小值是 A 31 B 31 C 2 D 23 答案 A 解析 43 3 0be bbe be 5 設(shè) 1 0 e bx y 2 1 3 0 xxy 22 2 1xy 如圖abBA 而B(niǎo)A在OAOA 時(shí)最短 此時(shí) 31abBAOAOB 正確答案是A 10 已知 1 a 2 a 3 a 4 a成等比數(shù)列 且 1234123 ln aaaaaaa 若 1 1a 則 A 13 aa 24 aa B 13 aa 24 aa C 13 aa 24 aa D 13 aa 24 aa 答案 B 解析 若 0q 則 1234123 1aaaaaaa 12341234123 ln ln aaaaaaaaaaa 123 ln 0aaa 23 12341 1 0aaaaaqqq 4 1 0 1 q q 2 0a 2 113 aa qa 2 224 aa qa 正確答案是B 6 非選擇題部分 二二 填空題填空題 本大題共本大題共 7 小題小題 多空 多空題每題題每題 6 分分 單空題每題 單空題每題 4 分分 共 共 36 分分 11 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 張丘建算經(jīng) 中記載百雞問(wèn)題 今有雞翁一 值錢五 雞母一 值錢三 雞雛三 值錢一 凡百錢 買雞百只 問(wèn)雞翁 母 雛各幾何 設(shè)雞翁 雞母 雞 雛個(gè)數(shù)分別為x y z 則 100 1 53100 3 xyz xyz 當(dāng)81z 時(shí) x y 答案 8x 11y 解析 將81z 代入 得 19 5373 xy xy 8 11 x y 12 若x y滿足約束條件 0 26 2 xy xy xy 則3zxy 的最小值是 最大值是 答案 2 8 解析 通過(guò)不等式組 畫(huà)出可行域 如圖 2 2 A 4 2 B 3zxy 的最小值是2 最大值是8 7 13 在ABC 中 角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 若7a 2b 60A 則sinB c 答案 21 7 3 解析 7a 2b 60A 3 sin 2 A sinsin ab AB 21 sin 7 B 32 7173 21 sinsin 272714 CAB 2 21 sinsin3 ca CA 3c 14 二項(xiàng)式 8 3 1 2 x x 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 答案 7 解析 由通項(xiàng)公式 83 18 1 2 r rr r TCx x 求常數(shù)項(xiàng)可得 8 0 3 r r 2r 常數(shù)項(xiàng)是 2 8 1 7 4 C 15 已知R 函數(shù) 2 4 43 xx f x xxx 當(dāng)2 時(shí) 不等式 0f x 的解集是 若函數(shù) f x恰有2個(gè)零點(diǎn) 則 的取值范圍是 答案 14x 13 或4 解析 當(dāng)2 時(shí) 2 42 432 xx f x xxx 圖象如下 8 則 0f x 的解集為14x 若函數(shù) f x恰有2個(gè)零點(diǎn) 二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) 一次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn) 則4 二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn) 一次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn) 則13 綜上可得13 或4 16 從1 3 5 7 9中任取2個(gè)數(shù)字 從0 2 4 6中任取2個(gè)數(shù)字 一共可以組 成 個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) 用數(shù)字作答 答案 1260 解析 分兩種情況 包含0的四位數(shù) 2143 5343 540CCAA 不包含0的四位數(shù) 224 534 720CCA 一共有1260種 17 已知點(diǎn) 0 1 P 橢圓 2 2 1 4 x ym m 上兩點(diǎn)A B滿足2APPB 則當(dāng)m 時(shí) 點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大 答案 5 解析 設(shè)直線 1AB ykx 2 2 4 1 x ym ykx 2 22 210 4 x k xkxm 12 2 8 14 k xx k 12 2 44 14 m x x k 2APPB 9 12 2xx 1 2 16 14 k x k 2 2 8 14 k x k 22 32 1 14 kmk 若B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大 則 2 2 88 2 1 14 4 x k k k 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 k 時(shí) 5m 三 三 解答題 本大題共解答題 本大題共 5 5 小題小題 共 共 7474 分分 解答解答應(yīng)寫出應(yīng)寫出文字說(shuō)明文字說(shuō)明 證明過(guò)程證明過(guò)程或或驗(yàn)算驗(yàn)算步驟步驟 18 本題滿分 14 分 已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合 始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 它的終 邊過(guò)點(diǎn) 34 55 P 求sin 的值 若角 滿足 5 sin 13 求cos 的值 解析 1 22 4 4 5 sin 5 34 55 3 cos 5 4 sin sin 5 2 5 sin 13 12 cos 13 當(dāng) 12 cos 13 時(shí) coscos cos cossin sin 12354 135135 56 65 當(dāng) 12 cos 13 時(shí) 12354 cos 135135 10 16 65 綜上 56 cos 65 或 16 65 19 本題滿分 15 分 如圖 已知多面體 111 ABCABC 1 A A 1 B B 1 C C均垂直于平面ABC 120ABC 1 4A A 1 1CC 1 2ABBCB B 證明 1111 ABABC 平面 求直線 1 AC與平面 1 ABB所成的角的正弦值 解析 1 過(guò) 1 B作 11 B EAA 于點(diǎn)E 過(guò) 1 C作 11 C FBB 于點(diǎn)F 1 2B EAB 1 2AEBB 1 2AE 22 1111 2 2ABAEB E 22 11 2 2ABBBAB 11 1 4AA 222 1111 ABABAA 111 ABAB 又 1 2C FBC 1 1B F 22 1111 5BCC FB F 2 3AC 22 11 13ACACCC 222 11111 ABBCAC 111 ABBC 11 BC 平面 211 A BC 11 AB 平面 111 ABC 1 AB 平面 111 ABC 2 以A為原點(diǎn) AC為y軸 1 AA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 0 0 0 A 1 0 0 4 A 1 3 0 B 1 1 3 2 B 1 0 2 3 1 C 1 0 2 3 1 AC 1 1 3 2 AB 1 0 0 4 AA 設(shè) z nx y 的法向量 320 xyz 12 40z 3 1 0 n sin AC n AC n ACn 2 3 2 13 39 13 正弦值是 39 13 20 本題滿分 15 分 已知等比數(shù)列 n a的公比1q 且 345 28aaa 4 2a 是 3 a 5 a 的等差中項(xiàng) 數(shù)列 n b滿足 1 1b 數(shù)列 1 nnn bba 的前n項(xiàng)和為 2 2nn 求q的值 求數(shù)列 n b的通項(xiàng)公式 解析 1 345 28aaa 435 2 2 aaa 2 333 28aa qa q 2 333 24a qaa q 3 4a 2q 1 2n n a 2q 2 設(shè) n S為 1 nnn bba 的前n項(xiàng)和 即 2 2 n Snn 11 2111 2 3 1 nnnnn bbaSSn bbaSn 1 41 nnn bban 13 1 1 41 2 nn n n bb 1 2 45 2 nn n n bb 21 0 3 2 bb 累加得 11 011 3741 222 n n n bb 令 011 3741 222 n n n T 121 1374541 22222 n nn nn T 1 47 14 2 n n n T 1 1 47 15 2 n n n b 2 43 15 2 n n n b 21 本題滿分 15 分 如圖 已知點(diǎn)P是y軸左側(cè) 不含y軸 一點(diǎn) 拋物線 2 4C yx 上 存在不同的兩點(diǎn)A B滿足PA PB的中點(diǎn)均在C上 設(shè)AB中點(diǎn)為M 證明 PM垂直于y軸 若P是半橢圓 2 2 1 0 4 y xx 上的動(dòng)點(diǎn) 求PAB 面積的取值范圍 14 解析 設(shè) 11 A x y 22 B xy mm M xy pp P xy 2 11 2 22 4 1 4 2 yx yx 1 2 得 121212 4 yyyyxx 12 1212 442 2 mm yy xxyyyy 又 11 22 pp xxyy E 22 22 pp xxyy F E F在拋物線上 2 11 4 42 pp yyxx 22 111 28 ppp yy yyxx 2 11 4yx 2 21 248 ppp y yyxx 3 同理 2 22 248 ppp y yyxx 4 3 4 1212 2 y 4 p yyxx 12 12 2 p yy xxy 22 mp yy mp yy PMy 軸 12 1 2 PABmp Sxxyy 22 12 12 1 28 p yy xyy 15 2 1212 2 1212 2 8 1 4 28 p yyy yx yyy y 由第 問(wèn)可知 22 2 11 1 2 2 42 pp p yy yy y x 22 2 22 2 2 2 42 pp p yy yy y x 可知 12 2 p yyy 2 1200 8yyxy 3 2 2 3 2 4 4 pp Syx 又 2 2 1 4 p p x y 1 0 p x 2 6 21 pp Sxx PAB 面積的取值范圍是 15 10 6 2 4 22 本題滿分 15 分 已知函數(shù) lnf xxx 若 f x在 1 xx 2 x 12 xx 處倒數(shù)相等 證明 12 88ln2f xf x 若34ln2a 證明 對(duì)于任意0k 直線ykxa 與曲線 yf x 有唯一公共點(diǎn) 解析 x lnfxx 1112 22 x fx xxx 當(dāng)4x 時(shí) f x單調(diào)遞增 04x 時(shí) f x單調(diào)遞減 12 fxfx 12 12 22 22 xx xx 1212 2 x xxx 121212 4 2 x xxxx x 12121212 84 x 8x xx xxx x 12 xx 1212 16x xx x 12 16x x 16 121212 x x lnlnffxxxx 1212 1 ln x 2 x xx 令 12 16x xt 12 f xf xg t 2 1 t ln 2 gtt 4 t 2 t g t 當(dāng)4t 時(shí) t g單調(diào)遞增 t 16 88ln2gg 12 88ln2f xf x 設(shè)函數(shù) lng xxxkx 則 1122 22 kxx g xk xxx 當(dāng)1 160k 時(shí) 即 1 16 k 此時(shí)