2015年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-上海卷

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試上海 數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對4分，否則一律得零分1設(shè)全集若集合，則 2若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則 3若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則 4若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 5拋物線（）上的動點到焦點的距離的最小值為，則 6若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為 7.方程的解為 8.在報名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）9.已知點和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和若的漸近線方程為，則的漸近線方程為 10.設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為 11.在的展開式中，項的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）12.賭博有陷阱某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的倍作為其獎金（單位：元）若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則 （元）13.已知函數(shù)若存在，滿足，且（，），則的最小值為 14.在銳角三角形中，為邊上的點，與的面積分別為和過作于，于，則 二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15設(shè)，則“、中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“是虛數(shù)”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分又非必要條件16已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的縱坐標(biāo)為（ ）A B C D17記方程：，方程：，方程：，其中，是正實數(shù)當(dāng)，成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程無實根的是（ ）A方程有實根，且有實根 B方程有實根，且無實根C方程無實根，且有實根 D方程無實根，且無實根18設(shè)是直線（）與圓在第一象限的交點，則極限（ ）A B C D三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟19.（本題滿分12分）如圖，在長方體中，、分別是、的中點證明、四點共面，并求直線與平面所成的角的大小.20.（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時，乙的路線是，速度為千米/小時.乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是千米.當(dāng)時，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過？說明理由.21.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.22.（本題滿分16分）本題共有3個小題.第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分. 已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的第項是最大項，即（），求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.對于定義域為的函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為.設(shè)單